28.与圆有关的位置关系（包括切线的性质与判定）A

一、选择题1.（2016山东临沂，10，3分）如图，AB是⊙O的切线，B为切点，AC经过点O，与⊙O分别相交于点D，C．若∠ACB＝30°，AB＝，则阴影部分的面积为()A．B．C．－D．－第10题图第10题图DOCBA【答案】C9．（2016·山西，9，3分）如图，在ABCD中，AB为的直径，与DC相切于点E，与AD相交于点F，已知AB=12，，则的长为（）A．B．C．D．【答案】C2.（2016江苏无锡，6，3分）如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于A，BC交⊙O于点D，若∠C＝70°，∠AOD则的度数为（）A．70°B．35°C．20°D．40°【答案】D．10．（2016台州，10，4分）如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，以边AB的中点O为圆心，作半圆与AC相切，点P，Q分别是边BC和半圆上的动点，连接PQ，则PQ长的最大值与最小值的和是（）A．6B．C．9D．【答案】C3.（2016山东德州，11，3分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著.书中有下列问题“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）直径是多少？”A.3步 B.5步 C.6步 D.8步思路分析：∵BC=8,AC=15,∴AB=.由,∴，所以直径为6.故选C.4.5.6.7.8.9.6.17.18.19.6.27.28.29.6.37.38.39.二、填空题.(2016山东泰安，22，3分)如图，半径为3的⊙O与Rt△AOB的斜边AB切于点D，交OB于点C，连接CD交直线OA于点E，若∠B=30°，则线段AE的长为_______.答案：.（2016，山东淄博，17，4分）如图，⊙O的半径为2，圆心O到直线l的距离为4，有一内角为60°的菱形，当菱形的一边在直线l上，另有两边所在的直线恰好与⊙O相切，此时菱形的边长为．【答案】41.(2016湖南益阳，13，5分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，过C点的切线与AB的延长线交于P点，若∠P=40°，则∠D的度数为．【答案】115°；2.（2016江苏无锡，18，2分）如图，△AOB中，∠O＝90°，AO＝8cm，BO＝6cm，点C从A点出发，在边AO上以2cm/s的速度向O点运动；与此同时，点D从点B出发，在边BO上以1.5cm/s的速度向O点运动．过OC的中点E作CD的垂线EF，则当点C运动了▲s时，以点C为圆心、1.5cm为半径的圆与直线EF相切．FEAOBCD【答案】FEAOBCD.7.8.9.6.17.18.19.6.27.28.29.6.37.38.39.三、解答题22．（2016四川南充，22，8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC的平分线交BC于点O，OC=1，以点O为圆心OC为半径作半圆． （1）求证：AB为⊙O的切线； （2）如果tan∠CAO=，求cosB的值． 【解答】解：（1）如图作OM⊥AB于M， ∵OA平分∠CAB，OC⊥AC，OM⊥AB， ∴OC=OM， ∴AB是⊙O的切线， （2）设BM=x，OB=y，则y2﹣x2=1①， ∵cosB==， ∴=， ∴x2+3x=y2+y②， 由①②可以得到：y=3x﹣1， ∴（3x﹣1）2﹣x2=1， ∴x=，y=， ∴cosB==． 24、（2016广东，24，9分）如图11，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，∠ABC=30°，过点B作⊙O的切线BD，与CA的延长线交于点D，与半径AO的延长线交于点E，过点A作⊙O的切线AF，与直径BC的延长线交于点F.2-1-c-n-j-y（1）求证：△ACF∽△DAE；（2）若，求DE的长；（3）连接EF，求证：EF是⊙O的切线.图11解析：（1）∵BC为⊙O的直径，∴∠BAC=90°，又∠ABC=30°，∴∠ACB=60°，又OA=OC，∴△OAC为等边三角形，即∠OAC=∠AOC=60°，∵AF为⊙O的切线，∴∠OAF=90°，∴∠CAF=∠AFC=30°，∵DE为⊙O的切线，∴∠DBC=∠OBE=90°，∴∠D=∠DEA=30°，∴∠D=∠CAF，∠DEA=∠AFC，∴△ACF∽△DAE；（2）∵△AOC为等边三角形，∴S△AOC==，∴OA=1，∴BC=2，OB=1，又∠D=∠BEO=30°，∴BD=，BE=，∴DE=；（3）如图，过O作OM⊥EF于M，∵OA=OB，∠OAF=∠OBE=90°，∠BOE=∠AOF，∴△OAF≌△OBE，∴OE=OF，∵∠EOF=120°，∴∠OEM=∠OFM=30°，∴∠OEB=∠OEM=30°，即OE平分∠BEF，又∠OBE=∠OME=90°，∴OM=OB，∴EF为⊙O的切线.24．（2016湖南长沙，24，6分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DC，DF． （1）求∠CDE的度数； （2）求证：DF是⊙O的切线； （3）若AC=2DE，求tan∠ABD的值． 【解答】（1）解：∵对角线AC为⊙O的直径， ∴∠ADC=90°， ∴∠EDC=90°； （2）证明：连接DO， ∵∠EDC=90°，F是EC的中点， ∴DF=FC， ∴∠FDC=∠FCD， ∵OD=OC， ∴∠OCD=∠ODC， ∵∠OCF=90°， ∴∠ODF=∠ODC+∠FDC=∠OCD+∠DCF=90°， ∴DF是⊙O的切线； （3）解：如图所示：可得∠ABD=∠ACD， ∵∠E+∠DCE=90°，∠DCA+∠DCE=90°， ∴∠DCA=∠E， 又∵∠ADC=∠CDE=90°， ∴△CDE∽△ADC， ∴=， ∴DC2=ADDE ∵AC=2DE， ∴设DE=x，则AC=2x， 则AC2﹣AD2=ADDE， 期（2x）2﹣AD2=ADx， 整理得：AD2+ADx﹣20x2=0， 解得：AD=4x或﹣4.5x（负数舍去）， 则DC==2x， 故tan∠ABD=tan∠ACD===2． 23．（2016山东烟台，23，10分）如图，△ABC内接于⊙O，AC为⊙O的直径，PB是⊙O的切线，B为切点，OP⊥BC，垂足为E，交⊙O于D，连接BD．（1）求证：BD平分∠PBC；（2）若⊙O的半径为1，PD=3DE，求OE及AB的长．【解答】（1）证明：连接OB．∵PB是⊙O切线，∴OB⊥PB，∴∠PBO=90°，∴∠PBD+∠OBD=90°，∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB，∵OP⊥BC，∴∠BED=90°，∴∠DBE+∠BDE=90°，∴∠PBD=∠EBD，∴BD平分∠PBC．（2）解：作DK⊥PB于K，∵==，∵BD平分∠PBE，DE⊥BE，DK⊥PB，∴DK=DE，∴==，∵∠OBE+∠PBE=90°，∠PBE+∠P=90°，∴∠OBE=∠P，∵∠OEB=∠BEP=90°，∴△BEO∽△PEB，∴=，∴==，∵BO=1，∴OE=，∵OE⊥BC，∴BE=EC，∵AO=OC，∴AB=2OE=．19.（2016湖北黄石，19，7分）如图，⊙O的直径为，点在圆周上（异于），.（1）若=3，，求的值；（2）若是的平分线，求证：直线是⊙O的切线.第1第19题图（1）解：是⊙直径，在⊙上，又（2）证明：是的角平分线，又∽又，是⊙的切线.解法二（2）证明：是的角平分线，圆的性质，即∥,又，是⊙的切线(2016四川乐山，24,10分）如图13，在中，,以边为直径作⊙交边于点,过点作于点，、的延长线交于点.（1）求证：是⊙的切线；（2）若,且,求⊙的半径与线段的长.解析：（1）证明：如图2所示，连结，∵，∴.∵，∴.∴，∴∥.…………（2分）∵，∴.∴是⊙的切线…………（5分）（2）在和中，∵，∴.设，则.∴，.…………（6分）∵，∴.…………（7分）∴，解得=，…………（9分）∴⊙的半径长为，=……（10分）22．(2016年湖北荆门，22，10分)如图，AB是⊙O的直径，AD是⊙O的弦，点F是DA延长线上的一点，AC平分∠FAB交⊙O于点C．过点C作CF⊥DF，垂足为E．(1)求证：CE是⊙O的切线；(2)若AE＝1，CE＝2，求⊙O的半径．ODODCFBAE第22题图ODCFBAE答案图(1)证明：如图，连接CO．∵AC平分∠FAB，∴∠CAF＝∠CAB．∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠CAF．∴∠CAF＝∠OCA．∴OC∥FD．∵CE⊥FD，∴CE⊥OC．∴CE与⊙O相切．(2)连接BC．在ACE中，由勾股定理，得AC＝．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°．∴∠AEC＝∠ACB．又∠CAE＝∠BAC，∴△ACE∽△ABC．∴＝，即＝∴AB＝5．∴⊙O的半径是．21．（2016浙江衢州，21，6分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点P，直线BF与AD的延长线交于点F，且∠AFB＝∠ABC．（1）求证：直线BF是⊙O的切线．（2）若CD＝，OP＝1，求线段BF的长．（1）证明：∵∠AFB＝∠ABC，∠ABC＝∠ADC∴∠AFB＝∠ADC∴CD∥BF∴∠APD＝∠ABF∵CD⊥AB∴AB⊥BF∴直线BF是⊙O的切线（2）连接OD∵CD⊥AB∴PD=CD=OP=1∴OD=2∵∠PAD=∠BAF，∠APD=∠ABF=90°∴△APD∽△ABF∴∴∴BF=1.(2016年甘肃白银、张掖，27，10分)如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，BD＝DC，过点D作DE⊥AC，垂足为E，⊙O经过A，B，D三点．(1)求证：AB是⊙O的切线；(2)判断DE与⊙O的位置关系，并加以证明；(3)若⊙O的半径为3，∠BAC＝60°，求DE的长．O第27题图O第27题图DCBAEO答案图DCBAE证明：(1)如图，连接AD．∵AB＝AC，BD＝DC，∴AD⊥BC，即∠ADB＝90°．∴AB是⊙O的直径；(2)DE与⊙O相切，理由如下：连接OD．∵O，D分别是BA，BC的中点，∴OD∥AC．∵DE⊥AC，∴DE⊥OD．∴DE与⊙O相切．(3)当∠BAC＝60°时，∴AB＝AC，∴△ABC是等边三角形．∴BC＝AB＝6，∠C＝60°．∴DC＝BC＝3．∴DE＝DC·C＝3×＝．2.(2016浙江丽水，22，10分）如图，AB是以BC为直径的半圆O的切线，D为半圆上一点，AD=AB，AD，BC的延长线相交于点E．（1）求证：AD是半圆O的切线；（2）连结CD，求证：∠A=2∠CDE；（3）若∠CDE=27°，OB=2，求的长．【解答】（1）证明：连接OD，BD，∵AB是⊙O的直径，∴AB⊥BC，即∠ABO=90°，∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB，∵OB=OD，∴∠DBO=∠BDO，∴∠ABD+∠DBO=∠ADB+∠BDO，∴∠ADO=∠ABO=90°，∴AD是半圆O的切线；（2）证明：由（1）知，∠ADO=∠ABO=90°，∴∠A=360°﹣∠ADO﹣∠ABO﹣∠BOD=180°﹣∠BOD，∵AD是半圆O的切线，∴∠ODE=90°，∴∠ODC+∠CDE=90°，∵BC是⊙O的直径，∴∠ODC+∠BDO=90°，∴∠BDO=∠CDE，∵∠BDO=∠OBD，∴∠DOC=2∠BDO，∴∠DOC=2∠CDE，∴∠A=∠CDE；（3）解：∵∠CDE=27°，∴∠DOC=2∠CDE=54°，∴∠BOD=180°﹣54°=126°，∵OB=2，∴的长==π．3.（2016四川广安，25，9分）如图，以△ABC的边BC边上一点O为圆心的圆，经过A、C两点且与BC边交于点E．点D为CE的下半圆弧的中点，连接AD交线段EO于点F，若AB＝BF．（1）求证：AB是⊙O的切线；（3分）（2）若CF＝4，DF＝eq\R(10)，求⊙O的半径r及sinB(6分)【答案】解：（1）证明：连接AO、DO．∵D为CE的下半圆弧的中点，∴∠EOD＝90°，…………1分∵AB＝BF，OA＝OD＝r，∴∠BAF＝∠BFA＝∠OFD，∠OAD＝∠ADO，∴∠BAF＋∠OAD＝∠OFD＋∠ADO＝90°即∠BAO＝90°∴AB是⊙O的切线…………3分（2）∵OF＝CF－OC＝4－r，OD＝r，DF＝eq\R(10)，∴在Rt△OFD中OF2＋OD2＝DF2即r2＋(4－r)2＝(eq\R(10))2∴r1＝3，r2＝1（舍去），∴半径r＝3，…………6分∴OA＝3，OF＝CF－OC＝4－3＝1，BO＝BF＋FO＝AB＋1，…………7分在Rt△OFD中，AB2＋AO2＝BO2∴AB2＋32＝(AB＋1)2∴AB＝4，BO＝5∴sinB＝eq\F(AO,BO)＝eq\F(3,5)，…………9分4.(2016山东滨州，21，9分)如图，过正方形ABCD顶点B，C的⊙O与AD相切于点E，与CD相交于点F，连接EF.(1)求证：EF平分∠BFD；(2)若tan∠FBC=，DF=，求EF的长.答案：(1)证明：连接OE，∵⊙O与AD相切，∴OE⊥AD，∵四边形ABCD是正方形，∴∠D=90°，∴OE∥CD，∴∠OEF=∠EFD，∵OE=OF，∴∠OEF=∠OFE，∴∠OFE=∠EFD，∴EF平分∠BFD.(2)过点O作OG⊥CD，∴四边形OEDG是矩形，∴OG=ED，∵四边形ABCD是正方形，∴BC=CD，∠C=90°，∵tan∠FBC=，DF=，∴=，∴CF=3，BC=4，∴BF=5，∵△FOG∽△FBC，∴BC=2OG，∴OG=2，∴ED=2,∴EF==5.5.（2016山东德州，22，10分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AE平分∠BAC交⊙O于点E，交BC于点D，过点E作直线∥BC.（1）判断直线与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若∠ABC的平分线BF交AD于点F，求证：BE=EF;（3）在（2）的条件下，若DE=4,DF=3,求AF的长.解：（1）直线与⊙O相切.理由如下：连接OE,OB,OC.∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠CAE，∴,∴∠BOE=∠COE.∵OB=OC,∴OE⊥BC.又∵∥BC，∴OE⊥,∴直线与⊙O相切.∵BF平分∠ABC，∴∠ABF=∠CBF.又∵∠CBF=∠CAE=∠BAE,∴∠CBE+∠CBF=∠BAE+∠ABF,∴∠EBF=∠EFB,∴BE=EF.由（2）知，BF=EF=DE+DF=7.在△BED和△AEB中，∠DBE=∠BAE,∠DEB∠BEA,∴△BED∽△AEB.∴,即.∴.7.（2016兰州，27，10分）如图，ΔABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，OD⊥AB于点O，分别交AC，CF于点E、D，且DE=ＤＣ.（1）求证：CF是⊙O的切线（2）若⊙O的半径为5，BC=，求ＤＥ的长.【答案】（1）证明：连接OC，则∠A=∠OCA∵OD⊥AB∴∠A+∠AEO=900∵DE=DC∴∠DEC=∠DCE∵∠AEO=∠DEC∴∠AEO=∠DCE∴∠OCE+∠DCE=900∴CF是⊙O的切线.（2）作DH⊥EC，则∠EDH=∠A∵DE=DC∴EH=HC=EC∵⊙O的半径为5,BC=∴AB=10,AC=3∵ΔAEO∽ΔABC∴∴AE=∴EC=AC-AE=3-=∴EH=EC=∵∠EDH=∠A∴sin∠A=sin∠EDH即∴DE==6.（2016山东济宁，21，9分）已知P（x0,y0）和直线y=kx+b的距离d可用公式计算.例如：求点P（-1，2）到直线y=3x+7的距离.解：因为直线y=3x+7，其中k=3,b=7,所以点P（-1，2）到直线y=3x+7的距离为：.根据以上材料解答问题：（1）求点P（1，-1）到直线y=x-1的距离；（2）已知⊙Q的圆心Q坐标为（0，5），半径r为2，判断⊙Q与直线的位置关系，并说明理由；（3）已知直线y=-2x+4与y=-2x-6平行，求这两条直线之间的距离.解：（1）直线y=x-1中k=1,b=-1,所以点P（1，-1）到直线y=x-1的距离为：;直线中，k=，b=9,所以Q（0，5）到直线的距离为：直线y=-2x+4过点M（2，0），直线y=-2x-6中k=-2，b=-6.点M（2，0）到直线y=-2x-6的距离为：所以y=-2x+4与直线y=-2x-6的距离为.7.（2016山东菏泽，21，10分）如图，直角△ABC内接于⊙O，点D是直角△ABC斜边AB上的一点，过点D作AB的垂线交AC于E，过点C作∠ECP=∠AED，CP交DE的延长线于点P，连结PO交⊙O于点F．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若PC=3，PF=1，求AB的长．解：（1）如图，连接OC，∵PD⊥AB，∴∠ADE=90°，∵∠ECP=∠AED，又∵∠EAD=∠ACO，∴∠PCO=∠ECP+∠ACO=∠AED+∠EAD=90°，∴PC⊥OC，∴PC是⊙O切线．（2）延长PO交圆于G点，∵PF×PG=PC2，PC=3，PF=1，∴PG=9，∴FG=9﹣1=8，∴AB=FG=8．8.（2016山东枣庄，23，8分）如图，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，点P是⊙O外一点，连接PA，PB，AB，已知∠PBA=∠C．⑴求证：PB是⊙O的切线；⑵连接OP，若OP∥BC，且OP=8，⊙O的半径为，求BC的长．第23题图第23题图 第23题图⑴证明：如图所示，连接OB.第23题图∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC=90°，∠C+∠BAC=90°.∵OA=OB，∴∠BAC=∠OBA.∵∠PBA=∠C，∴∠PBA+∠OBA=90°，即PB⊥OB.∴PB是⊙O的切线．⑵解：⊙O的半径为，∴OB=，AC=．∵OP∥BC，∴∠BOP=∠OBC=∠C.又∵∠ABC=∠PBO=90°，∴△ABC∽△PBO，∴，即.∴BC=2．23．（2016浙江宁波，23，10分）如图，已知⊙O的直径AB=10，弦AC=6，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线．（2）求DE的长．【解答】证明：（1）连接OD，∵AD平分∠BAC，∴∠DAE=∠DAB，∵OA=OD，∴∠ODA=∠DAO，∴∠ODA=∠DAE，∴OD∥AE，∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O切线．（2）过点O作OF⊥AC于点F，∴AF=CF=3，∴OF===4．∵∠OFE=∠DEF=∠ODE=90°，∴四边形OFED是矩形，∴DE=OF=4．9.．(2016四川宜宾，23，10分)如图(1)，在△APE中，∠PAE＝90°，PO是△APE的角平分线，以O为圆心、OA为半径作圆交AE于点G．(1)求证：直线PE是⊙O的切线；(2)在图(2)中，设PE与⊙O相切于点H，连结AH，点D是⊙O的劣弧上的一点，过点D作⊙O的切线，交PA于点B，交PE于点C．已知△PBC的周长为4，∠EAH＝．求EH的长．PPOAE图(1)POAE图(2)DGHCB第题图(1)证明：过点O作OM⊥PE于点M．∵∠PAE＝90°，∴OA⊥PA．∵OP平分∠APE，OA⊥PA，OM⊥PE，∴OM＝OA，即圆心O到直线PE的距离等于⊙O的半径．∴PE与⊙O相切．(2)连接OH．由切线长定理可知BD＝BA，CD＝CH，PA＝PB，∴△PBC的周长＝PB＋BC＋PC＝PB＋(BD＋DC)＋PC＝(PB＋BA)＋(CH＋PC)＝PA＋PB＝2PA．∵△PBC的周长＝4，∴2PA＝4．∴PA＝2．由等腰三角形的“三线合一”性可知OP⊥AH，∴∠APO＋∠PAH＝90°．∵∠PAH＋∠EAH＝90°，∴∠APO＝∠EAH．∴tan∠APO＝tan∠EAH＝．在Rt△APO中，AO＝PA·tan∠APO＝2×＝1．∴OH＝OA＝1．∵∠EHO∠EAP＝90°，∠E＝∠E，∴△EOH∽△EPA．∴＝＝，即EA＝2EH．设EH＝x，则EA＝2x，EP＝x＋2．在Rt△P