2023-2023高考数学一模试卷

2024-2024高考数学一模试卷2024-2024高考数学一模试卷(附答案)

一、选择题

1．一个正方体内接于一个球，过球心作一个截面，如图所示，则截面的可能图形是（）

A．①③④

B．②④

C．②③④

D．①②③

2．()62111xx??++???

绽开式中2x的系数为（）A．15

B．20

C．30

D．35

3．在“一带一路”学问测验后，甲、乙、丙三人对成果进行猜测．甲：我的成果比乙高．乙：丙的成果比我和甲的都高．丙：我的成果比乙高．

成果公布后，三人成果互不相同且只有一个人猜测正确，那么三人按成果由高到低的次序为

A．甲、乙、丙

B．乙、甲、丙

C．丙、乙、甲

D．甲、丙、乙

4．已知函数()()sinfxAx=+ω?()0,0Aω>>的图象与直线()0yaaA=-???

且1)a≠的图象可能是（）

A．

B．

C．

D．

11．在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个长方形的面积等于其他十个小长方形面积的和的，且样本容量是160，则中间一组的频数为（）

A．32

B．0.2

C．40

D．0.25

12．把红、黄、蓝、白4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得一张，大事“甲分得红牌”与大事“乙分得红牌”是A．对立大事B．互斥但不对立大事C．不行能大事

D．以上都不对

二、填空题

13．有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．

14．已知圆锥的侧面绽开图是一个半径为2cm，圆心角为23

π

的扇形，则此圆锥的高为________cm.

15．函数()2

3s34fxinxcosx=+-

（0,2xπ??

∈????

）的最大值是__________．16．等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB，二面角CABD--的余弦值为

3

3

，MN，分别是ACBC，的中点，则EMAN，所成角的余弦值等于．17．在极坐标系中，直线cossin(0)aaρθρθ+=>与圆2cosρθ=相切，则

a=__________．

18．已知直线：与圆

交于

两点，过

分别作的垂线与

轴交于

两点.则

_________.

19．从2位女生，4位男生中选3人参与科技竞赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有_____________种．（用数字填写答案）

20．若函数2

()1lnfxxxax=-++在(0,)+∞上单调递增，则实数a的最小值是

__________．

三、解答题

21．在ABC?中，内角A，B，C的对边a，b，c，且ac>，已知2BABC?=uuuruuur

，

1

cos3

B=，3b=，求：

（1）a和c的值；（2）cos()BC-的值.

22．在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为1231xty?=??

??=-??

（t为参数）.在以

坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,且与直角坐标系长度单位相同的极坐标系中,曲

线C的极坐标方程是22sin4πρθ

??

=+

???

.（1）求直线l的一般方程与曲线C的直角坐标方程；

（2）设点()0,1P-.若直l与曲线C相交于两点,AB,求PAPB+的值.

23．如图，在几何体111ABCABC-中，平面11AACC⊥底面ABC，四边形11AACC是正方形，1l//BCBC，Q是1AB的中点，1122,

3

ACBCBCACBπ

==∠=

（I）求证：1//QB平面11AACC（Ⅱ）求二面角11ABBC--的余弦值.24．若不等式2520axx+->的解集是122xx??

的解集．

25．随着“互联网+交通”模式的迅猛进展，“共享自行车”在许多城市相继消失。某运营公司为了了解某地区用户对其所供应的服务的满足度，随机调查了40个用户，得到用户的满足度评分如下：用户编号评分用户编号评分用户编号评分

用户编号评分1

2345678910

78738192958579846386

11121314151617181920

88869576977888827689

21222324252627282930

79837274916680837482

31323334353637383940

93787581847781768589

用系统抽样法从40名用户中抽取容量为10的样本，且在第一分段里随机抽到的评分数据为92.

（1）请你列出抽到的10个样本的评分数据；（2）计算所抽到的10个样本的均值x和方差2s；

（3）在（2）条件下，若用户的满足度评分在()

,xsxs-+之间，则满足度等级为“A级”。试应用样本估量总体的思想，依据所抽到的10个样本，估量该地区满足度等级为“A级”的用户所占的百分比是多少？

5.92≈≈≈）

***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题1．A解析：A

分别当截面平行于正方体的一个面时，当截面过正方体的两条相交的体对角线时，当截面既不过体对角线也不平行于任一侧面时，进行判定，即可求解.

由题意，当截面平行于正方体的一个面时得③；当截面过正方体的两条相交的体对角线时得④；当截面既不过正方体体对角线也不平行于任一侧面时可能得①；无论如何都不能得②.故选A.

本题主要考查了正方体与球的组合体的截面问题，其中解答中熟记空间几何体的结构特征是解答此类问题的关键，着重考查了空间想象力量，以及推理力量，属于基础题.

2．C

解析：C

利用多项式乘法将式子绽开,依据二项式定理绽开式的通项即可求得2x的系数.

依据二项式定理绽开式通项为1Crnrr

rnTab-+=

()()()66622111111xxxxx??++=++?+?

??

则()6

1x+绽开式的通项为16rr

rTCx+=

则()62111xx??++???绽开式中2x的项为22446621CxCxx??+????则()62111xx??++???绽开式中2x的系数为2466151530CC+=+=故选:C

本题考查了二项定理绽开式的应用,指定项系数的求法,属于基础题.3．A解析：A

利用逐一验证的方法进行求解.

若甲猜测正确，则乙、丙猜测错误，则甲比乙成果高，丙比乙成果低，故3人成果由高到低依次为甲，乙，丙；若乙猜测正确，则丙猜测也正确，不符合题意；若丙猜测正确，则甲必猜测错误，丙比乙的成果高，乙比甲成果高，即丙比甲，乙成果都高，即乙猜测正确，不符合题意，故选A．

本题将数学学问与时政结合，主要考查推理推断力量．题目有肯定难度，注意了基础学问、规律推理力量的考查．

4．D

解析：D

由题设可知该函数的最小正周期826T=-=，结合函数的图象可知单调递减区间是

2448

()22kkkZ++++∈，即()kkkZ++∈，等价于63,6kk-，应选答案D．点睛：解答本题的关键是充分利用题设中的有效信息“函数()()sinfxAxω?=+

(0,0)Aω>>的图象与直线(0)yaaA=时，函数为减函数，排解B，10x-，排解C，只有A可满意．

故选：A.

本题考查由函数解析式选择函数图象，可通过解析式讨论函数的性质，如奇偶性、单调性、对称性等等排解，可通过特别的函数值，函数值的正负，函数值的变化趋势排解，最终剩下的一个即为正确选项．

7．B

解析：B

1sinA===cosA=

,

所以2

22122

cc=

+-，整理得2

320,cc-+=求得1c=或2.c=若1c=，则三角形为等腰三角形，0

30,60ACB===不满意内角和定理，排解.本题考查正弦定理和余弦定理的应用，考查运算力量和分类争论思想.

当求出cosA=

00

30,60AB==，便于三角形的初步定型，也为排解1c=供应了依据.假如选择支中同时给出了1或2，会增大出错率.

8．C

解析：C

由条件得：PA⊥BC，AC⊥BC又PA∩AC＝C，

∴BC⊥平面PAC，∴∠PCA为二面角P－BC－A的平面角．在Rt△PAC中，由PA＝AC得∠PCA＝45°，故选C．

点睛：二面角的查找主要利用线面垂直，依据二面角定义得二面角的棱垂直于二面角的平面角所在平面.

9．C

解析：C

当0x-时，令0y'>得[1xa∈+，)+∞，函数递增，令0y'???+-++-，31

0(116

,)baa>>-+∴>-．故选C．

遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.由于方程中涉及,ab两个参数，故按“一元化”想法，逐步分类争论，这一过程中有可能分类不全面、不彻底.

10．D

解析：D

本题通过争论a的不同取值状况，分别争论本题指数函数、对数函数的图象和，结合选项，推断得出正确结论.题目不难，注意重要学问、基础学问、规律推理力量的考查.

当01a时，函数xya=过定点(0,1)且单调递增，则函数1

xya

=

过定点(0,1)且单调递减，函数1log2ayx?

?=+???

过定点1(,02）且单调递增，各选项均不符合.综上，选D.

易消失的错误有，一是指数函数、对数函数的图象和性质把握不熟，导致推断失误；二是不能通过争论a的不同取值范围，熟悉函数的单调性.

11．A

解析：A

试题分析：据已知求出频率分布直方图的总面积；求出中间一组的频率；利用频率公式求出中间一组的频数．

解：设间一个长方形的面积S则其他十个小长方形面积的和为4S，所以频率分布直方图的总面积为5S所以中间一组的频率为

所以中间一组的频数为160×0.2=32故选A

点评：本题考查频率分布直方图中各组的面积除以总面积等于各组的频率．留意频率分布直方图的纵坐标是

．

12．B

解析：B

本题首先可以依据两个大事能否同时发生来推断出它们是不是互斥大事，然后通过两个大事是否包含了全部的可能大事来推断它们是不是对立大事，最终通过两个大事是否可能消失来推断两个大事是否是不行能大事，最终即可得出结果．，

由于大事“甲分得红牌”与大事“乙分得红牌”不行能同时发生，所以它们是互斥大事，

由于大事“甲分得红牌”与大事“乙分得红牌”不包含全部的可能大事，所以它们不是对立大事，所以它们是互斥但不对立大事，故选B．

本题考查了大事的关系，互斥大事是指不行能同时发生的大事，而对立大事是指概率之和为1的互斥大事，不行能大事是指不行能发生的大事，考查推理力量，是简洁题．

二、填空题

13．1和3依据丙的说法知丙的卡片上写着和或和；（1）若丙的卡片上写着和依据乙的说法知乙的卡片上写着和；所以甲的说法知甲的卡片上写着和；（2）若丙的卡片上写着和依据乙的说法知乙的卡片上写着和；又加

解析：1和3.

依据丙的说法知，丙的卡片上写着1和2，或1和3；

（1）若丙的卡片上写着1和2，依据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3；

所以甲的说法知，甲的卡片上写着1和3；

（2）若丙的卡片上写着1和3，依据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3；

又加说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”；

所以甲的卡片上写的数字不是1和2，这与已知冲突；

所以甲的卡片上的数字是1和3.

14．设此圆的底面半径为高为母线为依据底面圆周长等于绽开扇形的弧长建立关系式解出再依据勾股定理得即得此圆锥高的值设此圆的底面半径为高为母线为由于圆锥的侧面绽开图是一个半径为圆心角为

解析：

42

设此圆的底面半径为r，高为h，母线为l，依据底面圆周长等于绽开扇形的弧长，建立关系式解出r，再依据勾股定理得22

hlr

=-，即得此圆锥高的值．

设此圆的底面半径为r，高为h，母线为l，

由于圆锥的侧面绽开图是一个半径为2cm，圆心角为2

3

π的扇形,

所以2l=，得24233rlπππ=

?=,解之得23

r=，

因此,此圆锥的高h===，

故答案为:3

．

本题给出圆锥的侧面绽开图扇形的半径和圆心角，求圆锥高的大小，着重考查了圆锥的定义与性质和旋转体侧面绽开等学问，属于基础题．

15．1化简三角函数的解析式可得由可得当时函数取得最大值1

解析：1

化简三角函数的解析式，

可得()2

2311coscos44

fxxxxx=--

=-++=

2

(cos1x-+，由2

xπ∈，可得cosx∈，

当cos2

x=

时，函数()fx取得最大值1．16．设AB=2作CO⊥面ABDEOH⊥AB则CH⊥AB∠CHO为二面角C?AB?D的平面角CH=3√OH=CHcos∠CHO=1结合等边三角形ABC与正方形ABDE可知此四棱锥为

解析：16

设AB=2,作CO⊥面ABDE

OH⊥AB，则CH⊥AB，∠CHO为二面角C?AB?D的平面角，CH=3√，OH=CHcos∠CHO=1，

结合等边三角形ABC与正方形ABDE可知此四棱锥为正四棱锥，

3,11(),2212

ANEMCHAN

ACABEMACAEANEM====+=-∴?=

uuur

uuu

ruuuruuuuruuuruuuruuuruuuur故EM,AN1

126

33=?，

17．依据将直线与圆极坐标方程化为直角坐标方程再依据圆心到直线距离等于半径解出由于由得由得即即由于直线与圆相切所以（1）直角坐标方程化为极坐标方程只要运用公式及直接代入并化解析：12

依据2

2

2

,cos,sinxyxyρρθρθ=+==将直线与圆极坐标方程化为直角坐标方程，再依据圆心到直线距离等于半径解出a.

由于2

2

2

,cos,sinxyxyρρθρθ=+==，由cossin(0)aaρθρθ+=>，得(0)xyaa+=>，

由2cosρθ=，得2

=2cosρρθ，即22=2xyx+，即22(1)1xy-+=，

1112012.2

aaaa-=∴=±>∴=+Q，，，

（1）直角坐标方程化为极坐标方程，只要运用公式cosxρθ=及sinyρθ=直接代入并化简即可；

（2）极坐标方程化为直角坐标方程时常通过变形，构造形如2cos,sin,ρθρθρ的形式，进行整体代换.其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法.但对方程进行变形时，方程必需同解，因此应留意对变形过程的检验.

18．4试题分析：由x-3y+6=0得x=3y-6代入圆的方程整理得y2-33y+6=0解得y1=23y2=3所以x1=0x2=-3所以|AB|=(x1-x2)2+(y1-y2)2=23又直线l的

解析：4试题分析：由

，得

，代入圆的方程，整理得，解得

，所以

，所以

．又直线的倾斜角为

，由平面几何学问知在梯

形

中，

．

直线与圆的位置关系

解决直线与圆的综合问题时，一方面，要留意运用解析几何的基本思想方法（即几何问题代数化），把它转化为代数问题；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系的特别紧密，因此，精确     地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何学问使问题较为简捷地得到解决．

19．首先想到所选的人中没有女生有多少种选法再者需要确定从人中任选人的选法种数之后应用减法运算求得结果依据题意没有女生入选有种选法从名同学中任意选人有种选法故至少有位女生入选则不同解析：16

首先想到所选的人中没有女生，有多少种选法，再者需要确定从6人中任选3人的选法种数，之后应用减法运算，求得结果.

依据题意，没有女生入选有3

44C=种选法，从6名同学中任意选3人有3620C=种选法，

故至少有1位女生入选，则不同的选法共有20416-=种，故答案是16.

该题是一道关于组合计数的题目，并且在涉及到“至多、至少”问题时多采纳间接法，一般方法是得出选3人的选法种数，间接法就是利用总的减去没有女生的选法种数，该题还可以用直接法，分别求出有1名女生和有两名女生分别有多少种选法，之后用加法运算求解.

20．由函数单调递增可得导函数在区间内大于等于零恒成立依据分别变量的方式得到在上恒成立利用二次函数的性质求得的最大值进而得到结果函数在上单调递增在上恒成立在上恒成立令依据二次函数的

解析：1

8

由函数单调递增可得导函数在区间内大于等于零恒成立，依据分别变量的方式得到

22axx≥-在()0,∞+上恒成立，利用二次函数的性质求得22xx-的最大值，进而得到结

果.

Q函数()21lnfxxxax=-++在()0,∞+上单调递增

()210a

fxxx

'∴=-+

≥在()0,∞+上恒成立22axx∴≥-在()0,∞+上恒成立令()2

2gxxx=-，0x>依据二次函数的性质可知：当14

x=

时，()max18gx=

1

8a∴≥

，故实数a的最小值是18

本题正确结果：1

8

本题考查依据函数在区间内的单调性求解参数范围的问题，关键是能将问题转化为导函数的符号的问题，通过分别变量的方式将问题转变为参数与函数最值之间的关系问题.

三、解答题

21．（1）3,2ac==；（2）2327

试题分析：（1）由2BABC?=uuuruuur

和1

cos3

B=

，得ac=6.由余弦定理，得2213ac+=.解

，即可求出a，c；（2）在ABC?中，利用同角基本关系得

22

sinB=

由正弦定理，得42

sinsincCBb=

=

abc=>，所以C为锐角，因此27

cos1sin9

CC=-=

，利用cos()coscossinsinBCBCBC-=+，即可求出结果.

（1）由2BABC?=uuuruuur

得，

，又1

cos3

B=

，所以ac=6.由余弦定理，得2222cosacbacB+=+.又b=3，所以2292213ac+=+?=.解

，得a=2，c=3或a=3，c=2.

由于a>c,∴a=3，c=2.

（2）在ABC?中，2212

sin1cos1()33

BB=-=-=由正弦定理，得22242

sinsin339

cCBb=

=?=

，又由于abc=>，所以C为锐角，因此22427cos1sin1(

)99

CC=-=-=.

于是cos()coscossinsinBCBCBC-=+=1724223

393927

?+?=

.考点：1.解三角形；2.三角恒等变换.

22．（1310xy--=，22

(1)(1)2xy-+-=；（2）231.

（1）利用代入法消去参数方程中的参数可求直线l的一般方程，极坐标方程绽开后，两边同乘以ρ，利用2

2

2

,cos,sinxyxyρρθρθ=+==，即可得曲线C的直角坐标方程；

（2）直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，利用韦达定理、直线参数方程的几何意义即可得结果.

（1）将直线l的参数方程消去参数t并化简，得直线l310xy--=.

将曲线C的极坐标方程化为2

22

22sin22ρρθθ??=+?

???

.即2

2sin2cosρρθρθ=+.∴x2+y2=2y+2x.

故曲线C的直角坐标方程为()()2

2

112xy-+-=.（2）将直线l的参数方程代入()()22

112xy-+-=中，得

2

2

13

12222t????-+-=???????

.化简，得(2

12330tt-++=.

∵Δ>0，∴此方程的两根为直线l与曲线C的交点A，B对应的参数t1，t2.由根与系数的关系，得12231tt+=+，123tt=，即t1，t2同正.由直线方程参数的几何意义知,

1212231PAPBtttt+=+=+=+.

本题主要考查参数方程和一般方程的转化、极坐标方程和直角坐标方程的转化以及直线参数方程的应用，属于中档题.消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为一般方程，消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法；极坐标方程化为直角坐标方程，只要将cosρθ和sinρθ换成x和y即可.23．（1）详见解析；（2）431

.

（1）连接1AC，1AC交于M点，连接MQ，则四边形11AACC是正方形，点M是1AC的中点，推导出四边形11BCMQ是平行四边形，从而11BQCMP，由此能证明1BQP平面

11AACC．

（2）以C为原点，CB，1CC分别为y轴和z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角11ABBC--的平面角的余弦值．

证明：（1）如图所示，连接1AC，1AC交于M点，连接MQ．由于四边形11AACC是正方形，所以点M是1AC的中点，又已知点Q是1AB的中点，所以MQBCP，且1

2

MQBC=

，又由于11BCBC∥，且112BCBC=，所以11MQBCP，且11MQBC=，所以四边形11BCMQ是平行四边形，故11BQCMP，因1BQ?平面11AACC，1CM?平面11AACC，故1BQP平面11AACC．

（2）如图所示，以C为原点，1,CBCC分别为y轴和z轴建立空间直角坐标系，不妨设1122ACBCBC===，

则()

3,1,0A

-，

()

13,1,2A-，()0,2,0B，()10,1,2B，所以()

113,2,0BA=-uuuur，()10,1,2BB=-uuur

．

设平面11ABB的法向量为(),,mxyz=ur

，

则111·0·0mBAmBB?=??=??uuuuvvuuuvv即32024xyyz?-=??-=??

，取4x