2016-2017学年高中数学选修4-1（人教版）练习：第一讲1.3第2课时相似三角形的性质 Word版含解析

第一讲相似三角形的判定及有关性质1.3相似三角形的判定及性质第2课时相似三角形的性质A级基础巩固一、选择题1．两个相似三角形的面积之比为1∶2，则其外接圆的半径之比为()A．1∶4 B．1∶3C．1∶2 D．1∶eq\r(2)解析：因为相似三角形的面积比为相似比的平方，所以相似比为1∶eq\r(2)，两相似三角形外接圆半径之比为相似比，故选D.答案：D2.如图所示，D是△ABC的AB边上一点，过D作DE∥BC交AC于E.已知AD∶DB＝1∶3，则△ADE与四边形BCED的面积比为()A．1∶3 B．1∶9C．1∶15 D．1∶16解析：因为DE∥BC，所以△ADE∽△ABC.又因为AD∶DB＝1∶3.所以AD∶AB＝1∶4，其面积比为1∶16，则所求两部分面积比为1∶15.答案：C3.如图所示，已知在△ABC中，∠C＝90°，正方形DEFC内接于△ABC，DE∥AC，EF∥BC，AC＝1，BC＝2，则AF∶FC等于()A．1∶3 B．1∶4C．1∶2 D．2∶3解析：设正方形边长为x(x>0)，则由△AFE∽△ACB，可得AF∶AC＝FE∶CB，即eq\f(1－x,1)＝eq\f(x,2).所以x＝eq\f(2,3)，于是eq\f(AF,FC)＝eq\f(1,2).答案：C4．已知△ABC∽△A′B′C′，eq\f(AB,A′B′)＝eq\f(2,3)，△ABC外接圆的直径为4，则△A′B′C′外接圆的直径等于()A．2B．3C．6D．解析：设△A′B′C′和△ABC外接圆的直径分别是r′，r，则eq\f(r′,r)＝eq\f(A′B′,AB)，所以eq\f(r′,4)＝eq\f(3,2)，所以r′＝6.答案：C5．在△ABC中，AB＝9，AC＝12，BC＝18，D为AC上一点，DC＝eq\f(2,3)AC，在AB上取一点E，得到△ADE，若△ADE与△ABC相似，则DE的长为()A．6B．8C．6或8D．14解析：如图①所示，过D作DE∥CB交AB于E，则AD∶AC＝AE∶AB＝DE∶CB，AB＝9，AC＝12，DC＝eq\f(2,3)AC＝eq\f(2,3)×12＝8.图①图②所以AD＝AC－DC＝12－8＝4，所以DE＝eq\f(AD·CB,AC)＝eq\f(4×18,12)＝6.如图②所示，作∠ADE＝∠B，交AB于E，则△ADE∽△ABC.所以有AD∶AB＝AE∶AC＝DE∶BC，所以DE＝eq\f(AD·BC,AB)＝eq\f(4×18,9)＝8.所以DE的长为6或8.答案：C二、填空题6．如图所示，在平行四边形ABCD中，点E在AB上，且EB＝2AE，AC与DE交于点F，则eq\f(△CDF的面积,△AEF的面积)＝________．解析：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB∥DC，且AB＝DC，于是△CDF∽△AEF，且eq\f(CD,AE)＝eq\f(AB,AE)＝3，因此eq\f(△CDF的面积,△AEF的面积)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(CD,AE)))eq\s\up12(2)＝9.答案：97．两个相似三角形的对应边上的中线之比是2∶3，周长之和是20，那么这两个三角形的周长分别为________．解析：由中线之比为周长之比都为相似比，得周长之比为2∶3，设其中一个三角形周长为2x，则另一个三角形周长为3x.所以2x＋3x＝20.所以x＝4，即两个三角形的周长分别为8，12.答案：8128．如图所示，已知∠ACB＝∠E，AC＝6，AD＝4，则AE＝____．解析：因为∠ACB＝∠E，∠DAC＝∠CAE，所以△DAC∽△CAE.所以eq\f(AD,AC)＝eq\f(AC,AE)，所以AE＝eq\f(AC2,AD)＝eq\f(62,4)＝9.答案：9三、解答题9.如图所示，直线DF交△ABC的BC，AB两边于D，E两点，与CA的延长线交于F，若eq\f(BD,DC)＝eq\f(FE,ED)＝2，求BE∶AE的值．解：过D作AB的平行线交AC于G，则△FAE∽△FGD，△CGD∽△CAB.则eq\f(AE,DG)＝eq\f(EF,FD)＝eq\f(2,3)，eq\f(DG,AB)＝eq\f(CD,CB)＝eq\f(1,3).所以AE＝eq\f(2,3)DG，BE＝eq\f(7,3)DG，所以BE∶AE＝7∶2.10.如图所示，△ABC中，AB＝AC，AD是中线，P为AD上一点，CF∥AB，BP延长线交AC、CF于E、F，求证：PB2＝PE·PF.证明：连接PC，易证PC＝PB，∠ABP＝∠ACP，因为CF∥AB，所以∠F＝∠ABP，从而∠F＝∠ACP，又∠EPC为△CPE与△FPC的公共角，从而△CPE∽△FPC，所以eq\f(CP,FP)＝eq\f(PE,PC).所以PC2＝PE·PF，又PC＝PB，所以PB2＝PE·PF，命题得证．B级能力提升1.如图所示，点D、E、F、G、H、I是△ABC三边的三等分点，△ABC的周长是l，则六边形DEFGHI的周长是()A.eq\f(1,3)l B．3lC．2l D.eq\f(2,3)l解析：易得DE綊eq\f(1,3)BC，HI綊eq\f(1,3)AC，GF綊eq\f(1,3)AB.又DI＝eq\f(1,3)AB，HG＝eq\f(1,3)BC，EF＝eq\f(1,3)AC，则所求周长为eq\f(2,3)(AB＋AC＋BC)＝eq\f(2,3)l.答案：D2．如图所示，M是平行四边形ABCD的边AB的中点，直线l过点M分别交AD，AC于点E，F.若AD＝3AE，则AF∶FC＝________．解析：延长CD与直线l交于点G，设AB＝2a，则CD＝2a，而M是AB则AM＝eq\f(1,2)AB＝a，由已知得△AME∽△DGE，所以eq\f(AM,DG)＝eq\f(AE,ED)⇒eq\f(AM,DG)＝eq\f(AE,AD－AE).因为AD＝3AE，所以eq\f(a,DG)＝eq\f(AE,2AE)⇒DG＝2a.又因为△FCG∽△FAM，eq\f(AF,FC)＝eq\f(AM,CG)⇒eq\f(AF,FG)＝eq\f(AM,CD＋DG)＝eq\f(a,2a＋2a)＝eq\f(1,4)，即AF∶FC＝1∶4.答案：1∶43．如图所示，在▱ABCD中，AE∶EB＝2∶3.(1)求△AEF与△CDF周长的比；(2)若S△AEF＝8，求S△CDF.解：(1)因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB∥CD且AB＝CD.因为eq\f(AE,EB)＝eq\f(2,3)，所以eq\f(AE,AE＋EB)＝