数学人教A版必修4问题导学1.1.2弧度制

1.问题导学一、弧度制的概念活动与探究1下面各命题中，是假命题的为__________．①“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位；②1度的角是周角的，1弧度的角是周角的；③根据弧度的定义，180°一定等于π弧度；④不论是用角度制还是用弧度制度量角，它们均与所在圆的半径长短有关．迁移与应用圆弧长度等于其圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为()A．B．C．D．2不管以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径大小无关的定值．二、弧度制与角度制的换算活动与探究2设α1＝510°，α2＝－750°，β1＝，β2＝.(1)将α1，α2用弧度表示出来，并指出它们各自终边所在的象限；(2)将β1，β2用角度表示出来，并在[－360°，360°)内找出与它们终边相同的所有的角．迁移与应用(1)把－1480°写成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α＜2π；(2)若β∈[－4π，0]，且β与(1)中α的终边相同，求β．1．在进行角度制和弧度制的换算时，抓住关系式πrad＝180°是关键．由它可以得到：度数×＝弧度数，弧度数×＝度数．2．特殊角的弧度数与度数对应值今后常用，应熟记．三、扇形的弧长与面积公式的应用活动与探究3若扇形OAB的面积是1cm2，它的周长是4cm，求扇形圆心角的弧度数．迁移与应用1．在圆心角均为1弧度的若干个圆中，下列结论正确的是()A．所对的弧长相等B．所对的弦长相等C．所对的弧长等于各自圆的半径D．所对的弦长等于各自圆的半径2．如下图所示，已知扇形AOB的圆心角为120°，半径长为6，求弓形ACB的面积．1．明确弧度制下扇形的面积公式是(其中l是扇形弧长，α是扇形圆心角)．2．涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目中已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解．当堂检测1．若α＝5rad，则角α的终边所在的象限为()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．终边在y轴的非负半轴上的角的集合是()A．{α|α＝kπ，k∈Z}B．C．{α|α＝2kπ，k∈Z}D．3．圆弧长度等于其圆内接正四边形的边长，则其圆心角的弧度数为()A．B．C．D．24．化成角度为__________．5．在直径为20cm的圆中，圆心角为150°时所对的弧长为__________．提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记.答案：课前预习导学【预习导引】1．(1)eq\f(1,360)(2)半径长圆心角弧度制弧度(3)正数负数0eq\f(l,r)预习交流1提示：根据1弧度角的定义，圆周长是2π个半径，所以圆周角是2π弧度，所以1弧度角就是eq\f(1,2π)圆周角，与圆的大小即半径无关．2．2πrad360°πrad180°eq\f(π,180)radeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°预习交流2提示：不正确．在表示角时，角度与弧度不能混合使用．一般情况下，“弧度”二字或“rad”可省略不写．5．αRl＋2Req\f(1,2)lReq\f(1,2)αR2预习交流3提示：扇形的面积公式与三角形的面积公式类似．实际上，扇形可看作是一曲边三角形，弧是底，半径是底上的高．课堂合作探究【问题导学】活动与探究1思路分析：正确理解“角度”与“弧度”的概念，从而进行正确的判断．④解析：根据角度和弧度的定义，可知无论是角度制还是弧度制，角的大小与所在圆的半径长短无关，而是与弧长和半径的比值有关，所以④是假命题．迁移与应用C解析：设圆的半径为R，则圆的内接正三角形的边长为eq\r(3)R，所以圆心角的弧度数为eq\f(\r(3)R,R)＝eq\r(3)．活动与探究2思路分析：首先利用1°＝eq\f(π,180)rad可将角度化成弧度，利用1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°可将弧度化成角度，然后再根据要求指出α1，α2终边所在的象限，与β1，β2终边相同且在[－360°，360°)内的角．解：(1)∵1°＝eq\f(π,180)rad，∴α1＝510°＝510×eq\f(π,180)＝eq\f(17,6)π＝2π＋eq\f(5,6)π；α2＝－750°＝－750×eq\f(π,180)＝－eq\f(25,6)π＝－3×2π＋eq\f(11,6)π．∴α1的终边在第二象限，α2的终边在第四象限．(2)β1＝eq\f(4,5)π＝eq\f(4π,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°＝144°．设θ1＝k·360°＋144°(k∈Z)．∵－360°≤θ1＜360°，∴－360°≤k·360°＋144°＜360°．∴k＝－1或k＝0．∴在[－360°，360°)内与β1终边相同的角是－216°角．β2＝－eq\f(11,6)π＝－eq\f(11π,6)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°＝－330°．设θ2＝k·360°－330°(k∈Z)．∵－360°≤θ2＜360°，∴－360°≤k·360°－330°＜360°．∴k＝0或k＝1．∴在[－360°，360°)内与β2终边相同的角是30°角．迁移与应用解：(1)∵－1480°＝－eq\f(74,9)π＝－8π－eq\f(2,9)π＝－10π＋eq\f(16,9)π，又∵0≤eq\f(16,9)π＜2π，故－1480°＝eq\f(16,9)π－2×5π．(2)∵β与α终边相同，∴β＝α＋2kπ＝eq\f(16,9)π＋2kπ，k∈Z．又∵β∈[－4π，0]，∴β1＝eq\f(16,9)π－2π＝－eq\f(2π,9)，β2＝eq\f(16,9)π－4π＝－eq\f(20,9)π．活动与探究3思路分析：确定扇形的条件有两个，最直接的条件是给出扇形的半径、弧长和圆心角中的两个．解：设扇形的半径为R，弧长为l，由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)lR＝1，,2R＋l＝4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(l＝2，,R＝1.))∴扇形圆心角的弧度数是eq\f(l,R)＝2．迁移与应用1．C解析：∵l＝θR，θ＝1，∴l＝R，故选C．2．解：S扇形AOB＝eq\f(1,2)×eq\f(120,180)π×62＝12π，S△AOB＝eq\f(1,2)×62×sin120°＝9eq\r(3)，∴S弓形ACB＝S扇形AOB－S△AOB＝12π－9eq\r(3)．【当堂检测】1．D2．D解析：A选项表示的角的终边在x轴上；B选