(新高考)高考数学一轮复习讲练测 第2章 第3讲　基本不等式 (教师版)

第第页第3讲基本不等式一、知识梳理1.基本不等式：eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0.(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号.(3)其中eq\f(a＋b,2)称为正数a，b的算术平均数，eq\r(ab)称为正数a，b的几何平均数.[点拨]应用基本不等式求最值要注意：“一正、二定、三相等”.忽略某个条件，就会出错.2.利用基本不等式求最值已知x≥0，y≥0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2eq\r(p).(简记：积定和最小)(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是eq\f(s2,4).(简记：和定积最大)[点拨]在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式.若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致.常用结论几个重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.(2)ab≤(eq\f(a＋b,2))2(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.(3)eq\f(a2＋b2,2)≥(eq\f(a＋b,2))2(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.(4)eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号.二、教材衍化1.设x＞0，y＞0，且x＋y＝18，则xy的最大值为()A.80B.77C.81D.82解析：选C.xy≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋y,2)))eq\s\up12(2)＝81，当且仅当x＝y＝9时等号成立，故选C.2.若把总长为20m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________.解析：设矩形的长为xm，宽为ym，则x＋y＝10，所以S＝xy≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋y,2)))eq\s\up12(2)＝25，当且仅当x＝y＝5时取等号.答案：25m2一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝x＋eq\f(1,x)的最小值是2.()(2)ab≤(eq\f(a＋b,2))2成立的条件是ab>0.()(3)“x>0且y>0”是“eq\f(x,y)＋eq\f(y,x)≥2”的充要条件.()(4)若a>0，则a3＋eq\f(1,a2)的最小值是2eq\r(a).()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×二、易错纠偏常见误区eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1())(1)忽视不等式成立的条件a>0且b>0；(2)忽视定值存在；(3)忽视等号成立的条件.1.若x<0，则x＋eq\f(1,x)()A.有最小值，且最小值为2B.有最大值，且最大值为2C.有最小值，且最小值为﹣2D.有最大值，且最大值为﹣2解析：选D.因为x<0，所以﹣x>0，﹣x＋eq\f(1,－x)≥2eq\r(1)＝2，当且仅当x＝﹣1时，等号成立，所以x＋eq\f(1,x)≤﹣2.2.若x>1，则x＋eq\f(4,x－1)的最小值为________.解析：x＋eq\f(4,x－1)＝x﹣1＋eq\f(4,x－1)＋1≥4＋1＝5.当且仅当x﹣1＝eq\f(4,x－1)，即x＝3时等号成立.答案：53.设0<x<1，则函数y＝2x(1﹣x)的最大值为________.解析：y＝2x(1﹣x)≤2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋1－x,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,2).当且仅当x＝1﹣x，即x＝eq\f(1,2)时，等号成立.答案：eq\f(1,2)考点一利用基本不等式求最值(基础型)eq\a\vs4\al(复习,指导)eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1())探索并了解基本不等式的证明过程，会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.核心素养：逻辑推理角度一通过配凑法求最值(1)已知0<x<1，则x(4﹣3x)取得最大值时x的值为________.(2)已知x<eq\f(5,4)，则f(x)＝4x﹣2＋eq\f(1,4x－5)的最大值为________.【解析】(1)x(4﹣3x)＝eq\f(1,3)·(3x)(4﹣3x)≤eq\f(1,3)·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3x＋（4－3x）,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(4,3)，当且仅当3x＝4﹣3x，即x＝eq\f(2,3)时，取等号.(2)因为x<eq\f(5,4)，所以5﹣4x>0，则f(x)＝4x﹣2＋eq\f(1,4x－5)＝﹣(5﹣4x＋eq\f(1,5－4x))＋3≤﹣2eq\r(（5－4x）\f(1,5－4x))＋3≤﹣2＋3＝1.当且仅当5﹣4x＝eq\f(1,5－4x)，即x＝1时，等号成立.故f(x)＝4x﹣2＋eq\f(1,4x－5)的最大值为1.【答案】(1)eq\f(2,3)(2)1eq\a\vs4\al()通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标；(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提.角度二通过常数代换法求最值已知a>0，b>0，a＋b＝1，则(1+eq\f(1,a))(1+eq\f(1,b))的最小值为________.【解析】(1+eq\f(1,a))(1+eq\f(1,b))＝(1+eq\f(a＋b,a))(1+eq\f(a＋b,b))＝(2＋eq\f(b,a))·(2+eq\f(a,b))＝5＋2(eq\f(a,b)＋eq\f(b,a))≥5＋4＝9.当且仅当a＝b＝eq\f(1,2)时，取等号.【答案】9【迁移探究1】(变问法)若本例中的条件不变，则eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的最小值为________.解析：因为a>0，b>0，a＋b＝1，所以eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(a＋b,a)＋eq\f(a＋b,b)＝2＋eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2＋2eq\r(\f(b,a)·\f(a,b))＝4，即eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的最小值为4，当且仅当a＝b＝eq\f(1,2)时等号成立.答案：4【迁移探究2】(变条件)若本例条件变为：已知a>0，b>0，4a＋b＝4，则(1+eq\f(1,a))(1+eq\f(1,b))的最小值为________.解析：由4a＋b＝4得a＋eq\f(b,4)＝1，(1+eq\f(1,a))(1+eq\f(1,b))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(a＋\f(b,4),a)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(a＋\f(b,4),b)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(b,4a)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)＋\f(a,b)))＝eq\f(5,2)＋eq\f(2a,b)＋eq\f(5b,16a)＋eq\f(1,4)≥eq\f(11,4)＋2eq\r(\f(5,8))＝eq\f(11,4)＋eq\f(\r(10),2).当且仅当4eq\r(2)a＝eq\r(5)b时取等号.答案：eq\f(11,4)＋eq\f(\r(10),2)eq\a\vs4\al()常数代换法求最值的步骤(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；(2)把确定的定值(常数)变形为1；(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式；(4)利用基本不等式求解最值.角度三通过消元法求最值若正数x，y满足x2＋6xy﹣1＝0，则x＋2y的最小值是()A.eq\f(2\r(2),3)B.eq\f(\r(2),3)C.eq\f(\r(3),3)D.eq\f(2\r(3),3)【解析】因为正数x，y满足x2＋6xy﹣1＝0，所以y＝eq\f(1－x2,6x).由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x>0，,y>0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x>0，,\f(1－x2,6x)>0，))解得0<x<1.所以x＋2y＝x＋eq\f(1－x2,3x)＝eq\f(2x,3)＋eq\f(1,3x)≥2eq\r(\f(2x,3)·\f(1,3x))＝eq\f(2\r(2),3)，当且仅当eq\f(2x,3)＝eq\f(1,3x)，即x＝eq\f(\r(2),2)，y＝eq\f(\r(2),12)时取等号.故x＋2y的最小值为eq\f(2\r(2),3).【答案】Aeq\a\vs4\al()通过消元法求最值的方法消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解.有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解.但应注意保留元的范围.1.已知正实数a，b满足a＋b＝(ab)eq\s\up6(\f(3,2))，则ab的最小值为()A.1B.eq\r(2)C.2D.4解析：选C.(ab)eq\s\up6(\f(3,2))＝a＋b≥2eq\r(ab)＝2(ab)eq\s\up6(\f(1,2))，所以ab≥2，当且仅当a＝b＝eq\r(2)时取等号，故ab的最小值为2，故选C.2.已知x，y为正实数，则eq\f(4x,x＋3y)＋eq\f(3y,x)的最小值为()A.eq\f(5,3)B.eq\f(10,3)C.eq\f(3,2)D.3解析：选D.由题意得x>0，y>0，eq\f(4x,x＋3y)＋eq\f(3y,x)＝eq\f(4x,x＋3y)＋eq\f(x＋3y,x)﹣1≥2eq\r(\f(4x,x＋3y)·\f(x＋3y,x))﹣1＝4﹣1＝3(当且仅当x＝3y时等号成立).3.已知x>0，y>0，且x＋16y＝xy，则x＋y的最小值为________.解析：已知x>0，y>0，且x＋16y＝xy.即eq\f(16,x)＋eq\f(1,y)＝1，则x＋y＝(x＋y)·(eq\f(16,x)＋eq\f(1,y))＝16＋1＋eq\f(16y,x)＋eq\f(x,y)≥17＋2eq\r(\f(16y,x)·\f(x,y))＝25，当且仅当x＝4y＝20时等号成立，所以x＋y的最小值为25.答案：25考点二利用基本不等式解决实际问题(应用型)eq\a\vs4\al(复习,指导)eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1())利用基本不等式解决实际问题，关键是把实际问题抽象出数学模型，列出函数关系，然后利用基本不等式求最值.某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y＝eq\f(1,2)x2﹣200x＋80000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使单位不亏损？【解】(1)由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为eq\f(y,x)＝eq\f(1,2)x＋eq\f(80000,x)﹣200≥2eq\r(\f(1,2)x·\f(80000,x))﹣200＝200，当且仅当eq\f(1,2)x＝eq\f(80000,x)，即x＝400时等号成立，故该单位月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元.(2)不获利.设该单位每月获利为S元，则S＝100x﹣y＝100x﹣(eq\f(1,2)x2-200x+80000)＝﹣eq\f(1,2)x2＋300x﹣80000＝﹣eq\f(1,2)(x﹣300)2﹣35000，因为x∈[400，600]，所以S∈[﹣80000，﹣40000].故该单位每月不获利，需要国家每月至少补贴40000元才能不亏损.eq\a\vs4\al()应用基本不等式解决实际问题的基本步骤(1)理解题意，设出变量，建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最值问题；(2)在定义域内，利用基本不等式求出函数的最值；(3)还原为实际问题，写出答案.某游泳馆拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的泳池，池的深度为1米，池的四周墙壁建造单价为每米400元，中间一条隔壁建造单价为每米100元，池底建造单价每平方米60元(池壁厚忽略不计)，则泳池的长设计为多少米时，可使总造价最低.解：设泳池的长为x米，则宽为eq\f(200,x)米，总造价f(x)＝400×(2x+2×eq\f(200,x))＋100×eq\f(200,x)＋60×200＝800×(x+eq\f(225,x))＋12000≥1600eq\r(x·\f(225,x))＋12000＝36000(元)，当且仅当x＝eq\f(225,x)(x>0)，即x＝15时等号成立.即泳池的长设计为15米时，可使总造价最低.[基础题组练]1.若正实数x，y满足x＋y＝2，则eq\f(1,xy)的最小值为()A.1B.2C.3D.4解析：选A.因为正实数x，y满足x＋y＝2，所以xy≤eq\f(（x＋y）2,4)＝eq\f(22,4)＝1，所以eq\f(1,xy)≥1.2.若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是()A.[0，2]B.[﹣2，0]C.[﹣2，＋∞)D.(﹣∞，﹣2]解析：选D.因为1＝2x＋2y≥2eq\r(2x·2y)＝2eq\r(2x＋y)，(当且仅当2x＝2y＝eq\f(1,2)，即x＝y＝﹣1时等号成立)所以eq\r(2x＋y)≤eq\f(1,2)，所以2x＋y≤eq\f(1,4)，得x＋y≤﹣2.3.若实数a，b满足eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)＝eq\r(ab)，则ab的最小值为()A.eq\r(2)B.2C.2eq\r(2)D.4解析：选C.因为eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)＝eq\r(ab)，所以a＞0，b＞0，由eq\r(ab)＝eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)≥2eq\r(\f(1,a)×\f(2,b))＝2eq\r(\f(2,ab))，所以ab≥2eq\r(2)(当且仅当b＝2a时取等号)，所以ab的最小值为2eq\r(2).4.(多选)若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是()A.a＋b≥2eq\r(ab)B.eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)>eq\f(1,\r(ab))C.eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2D.a2＋b2≥2ab解析：选CD.因为ab>0，所以eq\f(b,a)>0，eq\f(a,b)>0，所以eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2eq\r(\f(b,a)·\f(a,b))＝2，当且仅当a＝b时取等号.所以选项C正确，又a，b∈R，所以(a﹣b)2≥0，即a2＋b2≥2ab一定成立.5.已知x>0，y>0，lg2x＋lg8y＝lg2，则eq\f(1,x)＋eq\f(1,3y)的最小值是()A.2B.2eq\r(2)C.4D.2eq\r(3)解析：选C.因为lg2x＋lg8y＝lg2，所以lg(2x·8y)＝lg2，所以2x＋3y＝2，所以x＋3y＝1.因为x>0，y>0，所以eq\f(1,x)＋eq\f(1,3y)＝(x＋3y)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(1,3y)))＝2＋eq\f(3y,x)＋eq\f(x,3y)≥2＋2eq\r(\f(3y,x)·\f(x,3y))＝4，当且仅当x＝3y＝eq\f(1,2)时取等号，所以eq\f(1,x)＋eq\f(1,3y)的最小值为4.故选C.6.设P(x，y)是函数y＝eq\f(2,x)(x>0)图象上的点，则x＋y的最小值为________.解析：因为x>0，所以y>0，且xy＝2.由基本不等式得x＋y≥2eq\r(xy)＝2eq\r(2)，当且仅当x＝y时等号成立.所以x＋y的最小值为2eq\r(2).答案：2eq\r(2)7.函数y＝eq\f(x2,x＋1)(x>﹣1)的最小值为________.解析：因为y＝eq\f(x2－1＋1,x＋1)＝x﹣1＋eq\f(1,x＋1)＝x＋1＋eq\f(1,x＋1)﹣2(x>﹣1)，所以y≥2eq\r(1)﹣2＝0，当且仅当x＝0时，等号成立.答案：08.若a>0，b>0，且a＋2b﹣4＝0，则ab的最大值为_______，eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)的最小值为_______.解析：因为a>0，b>0，且a＋2b﹣4＝0，所以a＋2b＝4，所以ab＝eq\f(1,2)a·2b≤eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋2b,2)))eq\s\up12(2)＝2，当且仅当a＝2b，即a＝2，b＝1时等号成立，所以ab的最大值为2，因为eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)＝(eq\f(1,a)＋eq\f(2,b))·eq\f(a＋2b,4)＝eq\f(1,4)(5＋eq\f(2b,a)＋eq\f(2a,b))≥eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5＋2·\r(\f(2b,a)·\f(2a,b))))＝eq\f(9,4)，当且仅当a＝b时等号成立，所以eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)的最小值为eq\f(9,4).答案：2eq\f(9,4).9.(1)当x<eq\f(3,2)时，求函数y＝x＋eq\f(8,2x－3)的最大值；(2)设0<x<2，求函数y＝eq\r(x（4－2x）)的最大值.解：(1)y＝eq\f(1,2)(2x﹣3)＋eq\f(8,2x－3)＋eq\f(3,2)＝﹣(eq\f(3－2x,2)＋eq\f(8,3－2x))＋eq\f(3,2).当x<eq\f(3,2)时，有3﹣2x>0，所以eq\f(3－2x,2)＋eq\f(8,3－2x)≥2eq\r(\f(3－2x,2)·\f(8,3－2x))＝4，当且仅当eq\f(3－2x,2)＝eq\f(8,3－2x)，即x＝﹣eq\f(1,2)时取等号.于是y≤﹣4＋eq\f(3,2)＝﹣eq\f(5,2)，故函数的最大值为﹣eq\f(5,2).(2)因为0<x<2，所以2﹣x>0，所以y＝eq\r(x（4－2x）)＝eq\r(2)·eq\r(x（2－x）)≤eq\r(2)·eq\f(x＋2－x,2)＝eq\r(2)，当且仅当x＝2﹣x，即x＝1时取等号，所以当x＝1时，函数y＝eq\r(x（4－2x）)的最大值为eq\r(2).10.已知x>0，y>0，且2x＋8y﹣xy＝0，求(1)xy的最小值；(2)x＋y的最小值.解：(1)由2x＋8y﹣xy＝0，得eq\f(8,x)＋eq\f(2,y)＝1，又x>0，y>0，则1＝eq\f(8,x)＋eq\f(2,y)≥2eq\r(\f(8,x)·\f(2,y))＝eq\f(8,\r(xy)).得xy≥64，当且仅当x＝16，y＝4时，等号成立.所以xy的最小值为64.(2)由2x＋8y﹣xy＝0，得eq\f(8,x)＋eq\f(2,y)＝1，则x＋y＝(eq\f(8,x)＋eq\f(2,y))·(x＋y)＝10＋eq\f(2x,y)＋eq\f(8y,x)≥10＋2eq\r(\f(2x,y)·\f(8y,x))＝18.当且仅当x＝12，y＝6时等号成立，所以x＋y的最小值为18.[综合题组练]1.设a>0，若关于x的不等式x＋eq\f(a,x－1)≥5在(1，＋∞)上恒成立，则a的最小值为()A.16B.9C.4D.2解析：选C.在(1，＋∞)上，x＋eq\f(a,x－1)＝(x﹣1)＋eq\f(a,x－1)＋1≥2eq\r(（x－1）×\f(a,（x－1）))＋1＝2eq\r(a)＋1(当且仅当x＝1＋eq\r(a)时取等号).由题意知2eq\r(a)＋1≥5，所以a≥4.2.已知x>0，y>0，且eq\f(1,x＋1)＋eq\f(1,y)＝eq\f(1,2)，则x＋y的最小值为()A.3B.5C.7D.9解析：选C.因为x>0，y>0.且eq\f(1,x＋1)＋eq\f(1,y)＝eq\f(1,2)，所以x＋1＋y＝2(eq\f(1,x＋1)＋eq\f(1,y))(x＋1＋y)＝2(1＋1＋eq\f(y,x＋1)＋eq\f(x＋1,y))≥2(2＋2eq\r(\f(y,x＋1)·\f(x＋1,y)))＝8，当且仅当eq\f(y,x＋1)＝eq\f(x＋1,y)，即x＝3，y＝4时取等号，所以x＋y≥7，故x＋y的最小值为7，故选C.3.已知正实数x，y满足x＋y＝1，①则x2＋y2的最小值为________；②若eq\f(1,x)＋eq\f(4,y)≥a恒成立，则实数a的取值范围是________.解析：因为x＋y＝1，所以xy≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋y,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,4)，所以x2＋y2＝(x＋y)2﹣2xy≥1﹣eq\f(1,4)×2＝eq\f(1,2)，所以x2＋y2的最小值为eq\f(1,2).若a≤eq\f(1,x)＋eq\f(4,y)恒成立，则a小于等于(eq\f(1,x)＋eq\f(4,y))的最小值，因为eq\f(1,x)＋eq\f(4,y)＝(eq\f(1,x)＋eq\f(4,y))(x＋y)＝5＋eq\f(y,x)＋eq\f(4x,y)≥5＋2eq\r(\f(y,x)×\f(4x,y))＝9，所以eq\f(1,x)＋eq\f(4,y)的最小值为9，所以a≤9，故实数a的取值范围是(﹣∞，9].答案：eq\f(1,2)(﹣∞，9]4.已知x>0，y>0，且eq\f(1,x)＋eq\f(2,y)＝1，则xy＋x＋y的最小值为________.解析：因为eq\f(1,x)＋eq\f(2,y)＝