“江淮十校”2023届高三第一次联考理科数学试题

“江淮十校”2024届高三第一次联考理科数学试题

“江淮十校”2024届高三第一次联考

理科数学2024.8

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合{}

1,2,3,4

A=，()

{}

2

log41

Bxx

=-?，则AB=

I()

A．{}

1,2B．{}

2,3C．{}

1,2,3D．{}

1,2,3,4

2.若复数z满意()34

izi

+=(i为虚数单位)，则复数z的共轭复数为()

A．3i+B．3i-C．13i

+D．13i

-

3.如图是某年北京国际数学家大会会标，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形。若大正方形的面积是13，每个直角三角形的两直角边的和是5，在大正方形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是()

A．

12

13

B．

10

13

C．

1

13

D．

3

13

4.已知数列{}na是等差数列，3813

aa

+=，且

4

5

a=，则

7

a=()

A．11B．10C.9D．8

5.如图是某个几何体的三视图，则这个几何体体积是()

A．2

2

p

+B．2

3

p

+

C.4

3

p

+D．4

2

p

+

6.执行如图所示的程序框图，若将推断框内“100

S>”改为关于n的

不等式“

nn

≥”且要求输出的结果不变，则正整数

n的取值是()

A．4B．5C.6D．不唯一

7.设变量,xy满意约束条件

3

1

23

xy

xy

xy

+≥

?

?

-≥-

?

?-≤

?

，则

1

xy

z

x

++

=的取值范围是()

A．2,4

B．52,2??????C.5,42??????D．3,32??

????

8.已知函数()()()sin20fxx?π?=+->的左、右焦点分别为1F，2F，P为双曲线上一点，且

120PFPF?=uuuruuuur

，12FPF△的内切圆半径2ra=，则双曲线的离心率为．

16.对于数列{}na，定义11222nn

naaaHn

-+++=…为{}na的“优值”，现在已知某数列{}na的

“优值”为12nnH+=，记数列{}nakn-的前n项和为nS，若5nSS≤对任意的()

*nnN∈恒成立，则实数k的取值范围为．

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.在ABC△中，已知22sincos212

AB

C++=，外接圆半径2R=.(1)求角C；

(2)求ABC△面积的最大值.

18.如图所示的几何体中，111ABCABC-为三棱柱，且1AA⊥平面ABC，四边形ABCD为平行四边形，2ADCD=，60ADC=∠°.(1)若1AAAC=，求证：1AC⊥平面11ABCD；(2)若2CD=，二面角1ACDC--的余弦值为5

，求三棱锥11CACD-的体积.

19.方案在某水库建一座至多安装2台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量X(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和.单位：亿立方米)都在40以上，其中，不足100的年份有40年，不低于100的年份有10年.将年入流量在以上两段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立.

(1)求将来4年中，至多1年的年入流量不低于100的概率；

(2)水电站盼望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X的限制，并有如下关系：

某台发电机运行，则该台年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？

20.椭圆()2222:10xyCabab

+=>>的左右焦点分别为1F，2F，离心率为1

2，设过点2F的直线l

被椭圆C截得的线段为RS，当lx⊥轴时，3RS=.(1)求椭圆C的标准方程；

(2)已知点()4,0T，证明：当直线l变化时，总有TS与TR的斜率之和为定值.

21.已知函数()()21

ln12fxxaxax=-+-，aR∈.

(1)争论()fx的单调性；

(2)当2a=-时，正实数12,xx满意()()12120fxfxxx++=，证明：121

4xx+>.

22.已知直线l的参数方程为33112

xtyt

?=-????=+??(t为参数)，以坐标原点O为极点，以x轴非负半

轴为极轴，建立极坐标系，圆C的极坐标方程为4cos6πρθ?

?=-??

?.

(1)求圆C的直角坐标方程；

(2)若(),Pxy是直线l与圆面4cos6πρθ?

?≤-??

?的公共点，求3xym=+的取值范围.

23.已知函数()211fxxx=-++.(1)解不等式()4f