高中数学第2章直线和圆的方程2.1.1倾斜角与斜率课件新人教版选修1

2.1.1

倾斜角与斜率课前·基础认知课堂·重难突破素养·目标定位随堂训练素养•目标定位目标素养1.在平面直角坐标系中,结合具体图形,探索确定直线位置的几何要素,提升数学抽象和逻辑推理等核心素养.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念.3.经历用代数方法刻画直线斜率的过程,掌握过两点的直线斜率的计算公式,提升数学运算的核心素养.4.了解直线的方向向量与斜率的关系.知识概览课前·基础认知1.直线的倾斜角(1)倾斜角的定义:当直线l与x轴相交时,我们以x轴为基准,x轴

正向

与直线l

向上

的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.

(2)倾斜角的范围:当直线l与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为

0°

.因此,直线的倾斜角α的取值范围为

0°≤α<180°

.

微思考(1)给定一条直线,其倾斜角是唯一的吗?提示:直线的倾斜角是唯一的.(2)当一条直线的倾斜角为0°时,这条直线一定与x轴平行吗?提示:不一定,也可能与x轴重合.2.直线的斜率(1)斜率的定义:一条直线的倾斜角α的

正切

值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k表示,即k=

tan

α

.

倾斜角是

90°

的直线没有斜率,倾斜角不是

90°

的直线都有斜率.

(2)斜率公式:如果直线经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2),那么可得斜率公式为k=________________.

微判断

判断.(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)直线斜率存在时,其取值范围是R.(

)(2)与x轴垂直的直线,其倾斜角和斜率均不存在.(

)(3)若直线倾斜角为钝角,则其斜率小于0.(

)√×√3.直线的方向向量

微训练

已知直线l的一个方向向量为(2,4),则直线l的斜率为

.

答案:2解析:因为直线l的一个方向向量为(2,4),所以直线l的斜率课堂·重难突破一

直线的倾斜角典例剖析1.(多选题)下列说法中正确的是(

)A.直线x=-2的倾斜角不存在C.将倾斜角等于120°的直线绕其与x轴的交点逆时针旋转90°,所得直线倾斜角为30°答案:BC规律总结关于直线倾斜角的注意点

(1)任何直线都有倾斜角,且倾斜角是唯一的;

(2)直线倾斜角的取值范围是θ∈[0,π),特别地,当θ=0时直线与x轴平行或重合;当θ=时直线与x轴垂直.学以致用1.已知直线l只经过第二、四象限,则直线l的倾斜角α的取值范围是(

)A.0°≤α<90°

B.90°≤α<180°C.90°<α<180° D.0°<α<180°答案:C解析:因为直线l的倾斜角α的取值范围是0°≤α<180°,又因为直线l经过第二、四象限,所以直线l的倾斜角α的取值范围是90°<α<180°.二

直线的斜率典例剖析2.根据下列条件求直线l的斜率:(1)直线l经过两点A(-1,4),B(2,-2);规律总结直线斜率的三种求法

学以致用2.(1)如果三点A(2,1),B(-2,m),C(6,8)在同一条直线上,则m的值为

.

答案:-6(2)已知直线l1的一个方向向量为n=(2,1),直线l2的倾斜角是直线l1的倾斜角的2倍,求直线l2的斜率.三

斜率与倾斜角的综合应用典例剖析3.已知两点A(2,-1),B(3,2),过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点.求:(1)直线l的斜率k的取值范围;(2)直线l的倾斜角α的取值范围.(1)要使直线l与线段AB有公共点,则直线l的斜率k的取值范围是[-1,1].(2)由题意可知,直线l的倾斜角α的取值范围是[0°,45°]∪[135°,180°).规律总结1.斜率k与倾斜角θ的关系如下表2.求解直线与线段有无交点及相应倾斜角、斜率范围问题时,可以采用数形结合的方法,借助图形分析有无交点的条件以及倾斜角的范围,从而确定斜率的范围.学以致用3.已知A(3,3),B(-4,2),C(0,-2),(1)求直线AB和AC的斜率;(2)若点D在线段BC(包括端点)上移动,求直线AD的斜率k的变化范围.随堂训练1.(多选题)下列说法正确的是(

)A.直线的倾斜角α的取值范围是0≤α<πB.若直线的斜率为tanα,则该直线的倾斜角为αC.若直线的方向向量的坐标为(cos20°,sin20°),则其倾斜角等于20°D.直线的倾斜角越大,其斜率就越大答案:AC解析:对于A,直线的倾斜角α的取值范围为0≤α<π,故A正确;对于B,当直线斜率为tan

α时,则该直线的倾斜角为[0,π)内正切值为tan

α的角,故B错误;对于C,当直线的方向向量的坐标为(cos

20°,sin

20°)时,其斜率为k==tan

20°,其倾斜角为20°,故C正确;对于D,倾斜角为锐角时斜率为正,倾斜角为钝角时斜率为负,故D错误.故选AC.2.已知过点P(3,m)和点Q(m,-2)的直线的斜率等于2,则m的值为(

)A.-1 B.1C.2 D.答案:D3.已知直线l1过原点,其倾斜角α=15°,直线l1与l2的交点为A,且l1与l2向上的方向之间所成的角为75°,则直线l2的倾斜角为

.

答案:90°解析:设直线l2的倾斜角为β(示意图如图).由图可得,β=15°+75°=90°,即直线l2的倾斜角为90°.4.已