整式及因式分解

第3讲整式及因式分解考点一

整式的有关概念考点二

整式的运算预学案·记易类型一整式的有关概念类型二整式的运算类型三因式分解命题点二整式的运算精讲案·学易试真题·练易命题点三因式分解考点三

因式分解命题点一整式的有关概念预学案·记易考点一整式的有关概念

1.单项式:①数与字母的积组成的式子叫做单项式,特别地,单独一个数或字母

也叫单项式,单项式中的②数字因数叫做单项式的系数,单项式中③所有字母

的指数和叫做单项式的次数.2.多项式:④几个单项式的和叫做多项式,多项式中,⑤最高次项的次数叫做多

项式的次数.3.整式:⑥单项式和⑦多项式统称为整式.整式和分式都是有理式.4.代数式:用⑧运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字

母连接而成的式子,单独的一个数或字母也是代数式.5.代数式的值:用⑨数值代替代数式中的字母,计算后所得的结果.6.同类项:所含字母⑩相同,且相同字母的

指数也相同的项叫做同类项,几个常数项也是同类项.特别提醒同类项要注意所含字母相同,相同字母的指数也相同.即学即练1.单项式5mn2的次数为3.2.(2018贵州贵阳,1,3分)当x=-1时,代数式3x+1的值是

(B)A.-1

B.-2

C.-3

D.-43.(2018山东淄博)单项式am-1b2与

a2bn的和仍是单项式,则nm的值是

(C)A.3

B.6

C.8

D.9考点二整式的运算1.合并同类项:把一个多项式中的

同类项合并成一项叫做合并同类项.合并同类项的法则:

系数相加减,字母和字母指数不变

.2.去括号法则括号前面是正号,去掉括号后,括号里的各项符号

不变;括号前面是负号,去掉括号后,括号里的各项符号都

改变.3.幂的运算法则幂的运算名称幂的运算法则关键点同底数幂相乘am·an=

am+n同底、乘法、指数相加幂的乘方(am)n=

amn幂、乘方、指数相乘积的乘方(ab)n=

anbn

积、乘方、每个因式分别乘方商的乘方

=

商、分子分母分别乘方同底数幂相除

=

am-n同底、相除、指数相减0次幂a0=

1(a≠0)非0、结果为1负整数指数幂a-p=

(a≠0,p为正整数)非0、倒数说明:法则中a≠0,b≠0,m,n是正整数,每个法则都要注意运算条件和运算方法,不能不顾条件乱用法则,几个法则都是中考常考的,往往还涉及法则的逆用,因此,法则务必记清楚

4.整式的运算整式的加减先去括号,再找同类项,最后合并同类项(一去二找三并).注意:不同类的项不可以合并

整式的乘法单项式与单项式相乘把它们的系数、同底数的幂(相同字母)分别相乘,对于只在一个单项式中含有的字母,连同它的指数作为积的一个因式实质:乘法交换律,同底数幂的乘法

单项式与多项式相乘用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加.即m(a+b+c)=

ma+mb+mc实质:乘法分配律

多项式与多项式相乘先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加.即(m+n)(a+b)=

ma+mb+na+nb实质:整体用分配律整式的除法单项式除以单项式把系数与同底数幂分别相除,作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,连同它的指数作为商的一个因式实质:同底数幂的除法

多项式除以单项式先用多项式的每一项分别除以这个单项式,再把所得的商相加实质:转化成单项式除以单项式5.乘法公式平方差公式:(a+b)(a-b)=

a2-b2;完全平方公式:(a±b)2=

a2±2ab+b2;两个一次二项式的积:(x+p)(x+q)=

x2+(p+q)x+pq;公式变形:a2+b2=(a+b)2

-2ab=(a-b)2

+2ab,(a-b)2=(a+b)2

-4ab.特别提醒1.同类项要“两同(所含字母相同、相同字母的指数相同)”、“两无关(字

母排列无关、系数无关)”;合并同类项的前提是同类项,不同类的不可以合

并;合并方法是只求系数和,字母和字母指数不变.2.熟练掌握幂的运算法则,幂的运算要分清楚类型,弄清楚底数、指数、系数

和符号,记清楚底数和指数的变化,准确记住0次幂和负整数指数幂;公式要记

熟,运算需细心.即学即练4.(2018湖北武汉,3,3分)计算3x2-x2的结果是

(B)A.2

B.2x2C.2x

D.4x2

5.(2018浙江温州,3,4分)计算a6·a2的结果是

(C)A.a3

B.a4C.a8

D.a12

6.(2018资阳)下列运算正确的是

(D)A.a2+a3=a5

B.a2×a3=a6C.(a+b)2=a2+b2

D.(a2)3=a6

7.(2018天津,13,3分)计算2x4·x3的结果等于2x7

.8.(2018浙江丽水)化简(x-1)(x+1)的结果是x2-1.9.(2018浙江丽水)计算:(3

+1)(3

-1)=17.考点三

因式分解1.定义:把一个多项式化成几个

整式的积的形式,叫做因式分解.分解因式与整式乘法的关系:

互逆

.2.方法:(1)提公因式法:ma+mb+mc=

m(a+b+c).公因式:一个多项式的各项都含有的因式叫做这个多项式各项的公因式.(2)公式法:利用平方差公式:a2-b2=

(a+b)(a-b);利用完全平方公式:a2±2ab+b2=

(a±b)2

.“二次三项式”型:x2+(p+q)x+pq=

(x+p)(x+q).3.步骤:“一提二套三查”,首先提取公因式,公因式要找准、要提清,然后考

虑用公式,公式要记清、模板要套准,最后检查是否分解“干净”,特别注意

常数是否提清,是否化简.即学即练10.(2018湖南张家界)分解因式:a2+2a+1=(a+1)2.11.(2018浙江衢州)分解因式:x2-9=(x+3)(x-3)

.12.(2018安徽,5,4分)下列分解因式正确的是

(C)A.-x2+4x=-x(x+4)B.x2+xy+x=x(x+y)C.x(x-y)+y(y-x)=(x-y)2D.x2-4x+4=(x+2)(x-2)13.(2018绵阳)因式分解:x2y-4y3=y(x+2y)(x-2y)

.精讲案·学易类型一整式的有关概念例1(2016曲靖,3,4分)单项式xm-1y3与4xyn的和是单项式,则nm的值是

(D)A.3

B.6

C.8

D.9命题思路考查整式的基本概念.失分警示记清楚基本概念,单项式系数是单项式中的数字因数,次数是所有

字母的指数和;多项式的次数是多项式中最高项的次数;同类项是所含字母相

同并且相同字母的指数也相同的项,同类项与字母顺序无关,与系数无关.实战预测1.某公司2018年茶叶生产总量为a万吨,比2017年茶叶总量增加了10%,那么20

17年茶叶的生产总量为

万吨.2.单项式

的系数是

(D)A.

B.πC.2

D.

3.多项式3x2-2xm-1-4x+25的次数是五次,则m=6.4.下列单项式中,能与a2b合并成一项的是

(A)A.2a2b

B.a2b2

C.ab2

D.3ab类型二整式的运算例2(2018曲靖,3,4分)下列计算正确的是

(C)A.a2·a=a2

B.a6÷a2=a3C.a2b-2ba2=-a2b

D.

=-

命题思路本题考查整式的运算.失分警示不能准确地应用整式的运算法则导致失分.例3(2018云南,14,4分)已知x+

=6,则x2+

=

(C)A.38

B.36

C.34

D.32命题思路完全平方公式是数学中一个重要的公式,每年都会以不同的方式

考查,有时融入其他知识考查,有时单独考查.由次数增加联想到完全平方公

式,已知条件一次,所求式子二次,左右两边平方即可实现.失分警示完全平方公式不熟练或不重视等式性质,出现由x+

=6得x2+

=62=36的错误.注意完全平方公式的变形应用:x2+

=

-2.实战预测5.在下列运算中,计算正确的是

(C)A.(x5)2=x7

B.(x-y)2=x2-y2C.x13÷x3=x10

D.x3+x3=x6

6.下列运算正确的是

(C)A.a+2a=2a2

B.(-2ab2)2=2a2b4C.a5÷a2=a3

D.(a-3)2=a2-97.计算:(-x3)·(-2x)2=-4x5.8.若x3·xn+1=x6,则n=2.类型三因式分解例4(2018云南,4,3分)分解因式:x2-4=(x+2)(x-2).命题思路主要考查因式分解.失分警示公式套用错误导致出错.实战预测9.分解因式:2a3-32a=2a(a+4)(a-4)

.10.分解因式:3a2-12ab+12b2=3(a-2b)2.11.分解因式:(a-b)2-4b2=(a+b)(a-3b)

.12.若x2-4x+p=(x+q)2,则pq=

.试真题·练易1.(2015云南,12,3分)某电视机的原价是2500元,现按原价的8折出售,则购买a

台这样的电视机需要2000a元.命题点一整式的有关概念命题点二整式的运算2.(2018云南昆明,4,3分)若m+

=3,则m2+

=7.3.(2017云南,9,4分)下列计算正确的是

(D)A.2a×3a=6a

B.(-2a)3=-6a3C.6a÷2a=3a

D.(-a3)2=a6

4.(2016曲靖,2,4分)下列运算正确的是

(D)A.3

-

=3

B.a6÷a3=a2C.a2+a3=a5

D.(3a3)2=9a6

5.(2015昆明,5,3分)下列运算正确的是

(B)A.

=-3

B.a2·a4=a6C.(2a2)3=2a6

D.(a+2)2=a2+46.(2015云南,5,3分)下列运算正确的是

(C)A.a2·a5=a10

B.(π-3.14)0=0C.

-2

=

D.(a+b)2=a2+b2

7.(2015曲靖,3,3分)下列运算正确的是

(B)A.4a2-2a2=2

B.a7÷a3=a4C.5a2·a4=5a8

D.(a2b3)2=a4b5

8.(2014云南,2,3分)下列运算正确的是

(D)A.3x2+2x3=5x6

B.50=0C.2-3=

D.(x3)2=x6

9.(2014曲靖,1,3分)下列运算正确的是

(D)A.3a+2b=5ab

B.(2ab2)3=6a3b6C.a6÷a3=a2

D.(

)2=a(a≥0)命题点三因式分解10.(2016云南,3,3分)分解因式:x2-1=(x+1)(x-1).11.(2015云南,9,3分)分解因式:3x2-12=3(x-2)(x+2).探疑难·知易1.整式运算中的符号变换易错题1分解因式2x(-x+y)2-(x-y)3时,应提取的公因式是

(C)A.-x+y

B.x-yC.(x-y)2

D.以上都不对解析先化符号(-x+y)2=(x-y)2,再提取公因式.错解

A误区鉴定套用公式、提公因式、找最简公分母等时,常常需要符号变换,符

号变换不要弄错.当堂巩固1.分解因式:c2(a-b)+4(b-a)=(a-b)(c+2)(c-2).2.先乘法,再分解