八年级下册数学-勾股定理综合探究

第7讲勾股定理综合探究知识导航1．勾股定理用于几何综合探究题，常与45°，60°特殊角，特殊三角形，构造的全等三角形一起解答几何综合题；2．勾股定理用于坐标几何综合探究题．【板块一】直角三角形斜边上的高与边的关系题型一直角三角形斜边上的高与边的关系探究【例1】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,CD⊥AB于D,设AB=c,AC=b,BC=a,CD=h.求证：Z1X1 1_11—=—；a2b2h2a+b<c+h；(3)以a+b,h,C+h为边的三角形是直角三角形.题型二手拉手旋转构造全等三角形与勾股定理的综合应用【例2】已知/AOB=90°,在∠AOB的平分线OM上有一点C,将一个三角板的直角顶点与C重合，它的两条直角边分别与OA、OB(或它们的反向延长线)相交于点D、E.(1)如图1当三角板绕点C旋转至UCD与OA垂直时，求证：OD+OE=√2OC；(2)如图2当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立,请说明理由．(3)如图3,线段OE、OC、OD之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并证明.【例3】如图，在Rt△ACB中，AC=BC,∠ACB=90,∠ADB=30,AD=6,CD=7√2,则BD的长是．【例4】如图，∠MAN=135°,∠BAD=90°,AB=AD.⑴BM⊥AB,DN⊥AD，若BM=DN,则线段MN与BM+DN的数量关系是；⑵如图1,BM⊥AB,DN⊥AD，若BM≠DN∙(1)中的数量关系是否仍成立?并说明理由；⑶如图2,若B,D,M在一条直线上，请探究：以线段BM,MN,DN的长度为三边长的三角形是何种三角形?并说明理由．图1针对练习1.如图，在四边形ABCD中，AD//BC(BC>AD).∠D=90°,BC=CD=12,∠ABE=45°,若AE=10,则CE的长为..如图，在△ABC中，AB=AC=5,BC=2,以AC为边在△ABC外作等边^ACD,连接5。，则BD的长为.如图，在△AOB中，AO=BO=√13,OC=1,∠AOB=120°,∠OCB=60°,求AC的长.【板块二】 巧用公共边或相等的边的桥梁作用(双勾模型)方法技巧用直角三角形中公共边或相等的边为桥梁，两次或多次运用勾股定理解决问题．题型三直角三角形中公共边、相等边的桥梁作用【例】如图，点C在线段AB上.CD⊥AB，连接AD,BE⊥AB.AE是∠DAB的平分线，与DC相交于点F.EH⊥CD于点G,交AD手点H.⑴求证:AH=HE；⑵若AB=CD,求证:AD=AC+BE；(3)若AB=CD=4.BE=3.①求AH的值；②连接DE，求DE的值.针对练习21.如图，在△ABC中，∠C=90点D在边AC上,点E在边BC上，AD=3CD,BE=,3CE,点M在边AB上，连接MD.MC,ME,MA=MC,记MD=a,ME=b,MC=c.(1)求证:MA=MB；⑵如图1,当∠A=45°时，求证：a2=5C2；8⑶如图2.当∠A≠45°时，试探究a2,b2,C2之间的数量关系..已知/AOB=45°,点P在∠AOB内部，点M在射线0A上，将线段PM绕点P逆时针旋转90°得线段PN.⑴如图1,点N恰好落在OB上时，(OM>ON),ON=8∙√2,PM=512.①求OM的值.②延长NP交OA于点C,求OC的值；⑵如图2,若∠AOP=30°,OP=2,点M在射线0A上运动，连接ONfAOPN周长的最小值..如图，△ABC三边长分别是BC=17,CA=18,AB=19,过4ABC内的点P向^ABC三边分别作垂线段PD,PE,PF且BD+CE+AF=27,求BD+BF的长..将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于点E，交BC于点F,边AB折叠后与BC边交于点G.(1)如图1.若点M为CD边的中点，求DE:EM:CF的值；⑵如图2.DM=1.求DE的值.MC2CF5.如图，AB⊥BC,射线CM⊥BC,且BC=5,AB=1,点P是线段BC(不与点B,C重合)上的动点，过点P作DP⊥AP交射线CM于点D，连接AD.(1)如图1,若BP=CD=4,求AD的长；(2)如图2.若DP平分∠ADC,探究PB与PC的数量关系，并说明理由；(3)若4PDC是等腰三角形，作点B关于AP的对称点B',则B'D的长是(请直接写出答案)图1M【板块三】平面直角坐标系中的直角三角形题型四平面直角坐标系中直角三角形的综合应用探究【例1】如图，A(0,a),C(c,0),其中a,C满足C=√0≡2+v2≡∑+6.(1)求AC的长；(2)过点A作AB⊥AC,且AB=AC,点D为n轴负半轴上一点，∠ABD=90°,求点D的坐标;【例2】如图，A(0,m),B(n,0),满足4；(m-5)2—10n+25=0.(1)求点A，点B的坐标；(2)点P是第二象限内一点，过点A作AC⊥BP，连接Ca试探究BC,AC,CO之间的数量关系并证明；(3)在(2)的条件下，∠POC=∠APC,PA=4%2，求PB的长.【例3】已知点A在y轴正半轴上，点B在第四象限，A(0,a),B(b,c),且、K+(b-4)2+1C+11=0.(1)如图1,求点A,B的坐标及AB的长；(2)如图2,若点D(1,0),求∠DAO+∠BAO的度数。1.在平面直角坐标系中，已知A(一2,0),B(0,2),C(2,0).(1)如图1,BD〃AC且AD=