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文档简介

第九节具有约束条件的最值1第1页，课件共17页，创作于2023年2月条件极值：极值问题无条件极值:条件极值:条件极值的求法:方法1

代入法.求一元函数的无条件极值问题.对自变量只有定义域限制对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制例如,转化约束条件是三元或三元以上函数过程类似.第2页，课件共17页，创作于2023年2月用铁皮做一个有盖的长方形水箱,要求容积为V,问怎么做用料最省？

例1解即表面积最小.

代入目标函数,化为无条件极值问题：

xyz第3页，课件共17页，创作于2023年2月内部唯一驻点,且由实际问题S有最大值,故做成立方体表面积最小.

这种做法的缺点：

1.变量之间的平等关系和对称性被破坏；

2.有时解出隐函数困难甚至不可能.

第4页，课件共17页，创作于2023年2月方法2.拉格朗日乘数法令第5页，课件共17页，创作于2023年2月则构造拉格朗日函数为

第6页，课件共17页，创作于2023年2月用铁皮做一个有盖的长方形水箱,要求容积为V,问怎么做用料最省？

例1解由实际问题,即为最小值点.

第7页，课件共17页，创作于2023年2月解则例2第8页，课件共17页，创作于2023年2月例3解第9页，课件共17页，创作于2023年2月由由实际问题，此即最佳分配方案.

第10页，课件共17页，创作于2023年2月例4解解得唯一驻点

即做成正三角形时面积最大.

第11页，课件共17页，创作于2023年2月练习.要设计一个容量为则问题为求x,y,令解方程组解:设x,y,z分别表示长、宽、高,下水箱表面积最小.z使在条件水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？的长方体开口水箱,试问第12页，课件共17页，创作于2023年2月得唯一驻点由题意可知合理的设计是存在的,长、宽为高的2倍时，所用材料最省.因此,当高为思考:1)当水箱封闭时,长、宽、高的尺寸如何?提示:利用对称性可知,2)当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时,欲使造价最省,应如何设拉格朗日函数?长、宽、高尺寸如何?提示:长、宽、高尺寸相等.第13页，课件共17页，创作于2023年2月作业：P99习题7.9 3. 4. 5. 9.第14页，课件共17页，创作于2023年2月补充

拉格朗日乘数法证明.如方法1所述,则问题等价于一元函数可确定隐函数的极值问题,极值点必满足设记例如,故故有第15页，课件共17页，创作于2023年2月引入辅助函数辅助函数F

称为拉格朗日(Lagrange)函数.利用拉格极值点必满足则极值点满足:朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法.第16页，课件共17页，创作于2023年2月推广拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的

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