弹性准饱和土中球空腔动力响应的laplame变换解

弹性准饱和土中球空腔动力响应的laplame变换解

0饱和土固结系统中球空腔的动力响应土壤的动力响应是岩石工程领域的一个非常感兴趣的问题。由于准饱和土是一种流固耦合介质，动力响应相当复杂，以往对土体的研究大都视其为简单的单相介质。显然，采用两相介质模型比采用单相弹性介质来研究土体的动力响应更为合理，也更具有实际意义。从Biot建立饱和土的固结理论、波动理论以来，土的动力学已有了很大的进展。单相介质中球空腔的动力的响应问题已有学者解决，笔者也对饱和土体中球空腔的动力的响应进行了研究。而天然土体一般是固、液、气三相体，绝对意义上的干土或是饱和土是不存在的，在实践工程中，虽然处在地下水位线以下的土具有很高的饱和度，但并不是完全饱和的，如地下水位的波动，洪水或地下水的回灌都有可能产生不完全饱和土，特别是对近海岸的土，这种准饱和土更为典型，研究弹性准饱和土中球空腔的动力响应具有一定的工程应用价值。从这点出发，本文采用工程上通用的修改Biot模型建立问题的控制方程，导出了弹性准饱和土中球空腔动力响应的一般形式，借助Laplace反变换，分析了弹性准饱和土中球空腔动力响应的各变量的变化规律。1饱和土压力的控制方程准饱和土是由土颗粒﹑空气和水三相组成，三者的比例关系可用孔隙率n和饱和度Sr表示为式中vV﹑wV分别表示孔隙和孔隙流体的体积，tV表示土的总体积。体积变形模量（Volumetricdeformationmodules）指土体在三向应力作用下的平均应力与体积应变之比，即K=P/εv，其中.在把ChangCS的均匀流体概念引入Biot波动方程，即用饱和多孔介质模型模拟弹性基本饱水土层以后，孔隙流体体积模量就可以从下式确定：式中Kw为水的体积模量；po为绝对孔隙压力。从上式可以看出，土中气体含量对孔隙流体的体积模量改变是比较大的。考虑准饱和土体，忽略体力，球坐标(r,θ,φ)下其介质平衡方程和有效应力算式为其中ρ和ρf分别为土体总质量密度和流相的质量密度；σii和σ′ii分别为总应力及有效应力；pf为孔隙压力；wr=n(Ur-ur）;Kb和Ks分别为土骨架和土颗粒体的体积模量；Ur和ur分别为流体及土骨架的位移；wr为流体相对土骨架的位移；n为孔隙率。由式（3）、（4）可得到以有效应力表示的平衡方程：流体平衡方程和渗流方程分别为式中；M,b都为准饱和土中的参数；上标“·”表示对时间的一阶导数；上标“··”表示对时间的二阶导数。由式（5）～（7）可得到如下方程：其有效应力一应变关系为其中λ,µ为弹性Lame常数。由上式，得到以位移表示的控制方程为其中引入势函数φs，φf，并令，则式（10）可转化为引入任意函数φ,使则式（11）转化为可以用Laplace变换来求解方程（13），对t进行Laplace变换后可得：其中是φ的Laplace变换式，上标“-”都表示Laplace变换式。式（14）中方程（12）的解为φs、φf的Laplace变换式为将式（16）代入式（17）可得令则变换后位移和应力等量为由土体的有效应力—应变关系，可得应力的Laplace变换式：同时，孔隙压力的Laplace变换式为总应力与有效应力及孔隙压力之间的关系式为于是由式（21）～（23）可得总应力的Laplace的变换式：根据以上各变换式，引入边界条件，确定待定系数D1和D2，然后利用Laplace逆变换即可求出位移以及应力。2应力应变laplace变换方程对于如图1所示的弹性准饱和土体中均匀受压球形空腔，其边界条件为(1)应力边界条件：(2)两种边界排水条件排水边界：土体中初始速度及位移为零。在式（16）中，考虑到波在无限空间中传播的特性，，则该式中A1与A2应为零，即在式（19）中C1=C2=0。式（25）和式（26)Laplace变换式分别为从式（25）和（26a）或（26b），可以确定未知参数D1和D2:将以上各参数代入应力及位移的Laplace变换式，然后进行反变换即可得到位移和应力。对于Laplace反变换，已有许多种数值方法，本文采用Durbin的方法。3弹性饱和土体应力分析假设球形空腔受瞬态动力作用，选用适当土质参数（如表1），根据以上表达式即可计算弹性准饱和土中各点位移及应力，并与弹性饱和情况介质情况进行对比。取球腔半径a=10.0m。图2是r=5.0a处边界条件为排水与不排水两种情况下弹性饱和土和弹性准饱和土体骨架位移随时间变化曲线，图3是t=1.0×10-1s时边界条件为排水与不排水两种情况下距球心不同距离处弹性饱和土和弹性准饱和土体骨架位移曲线，图4是r=5.0a处排水与不排水两种边界情况下弹性饱和土和弹性准饱和土体应力随时间变化曲线，图5是t=1.0×10-1s时排水与不排水两种边界情况下距球心不同距离处弹性饱和土和弹性准饱和土体应力曲线，图6是r=1.0a处边界条件为排水与不排水两种边界情况下弹性饱和土和弹性准饱和土体中孔压随时间变化曲线，图7是t=1.0×10-1s时排水与不排水两种边界情况下距球心不同距离处弹性饱和土和弹性准饱和土体中孔压曲线。其中位移图纵坐标乘以因子，应力图纵坐标乘以因子,从而无量纲化。图2,3表明边界排水条件对位移的影响不大，弹性饱和土体与弹性准饱和土体的位移基本上是相同的。由图3可以看出4种情况下无量纲位移是常数，因位移坐标已乘以4µr2/(a3σ0），这表明位移呈r-2衰减。图4,5同样表明应力基本不受边界排水条件的影响。弹性准饱和情况与弹性饱和情况下应力比较接近。弹性准饱和土比弹性饱和土中应力稳定得快。另外，图4中r=5.0a的无量纲应力趋向于1/25，图5中无量纲应力呈r-2衰减，由于坐标已乘以因子,所有这些均表明应力呈r-3衰减。从图6,7中可以看出：弹性饱和土中的孔隙水压力远大于弹性准饱和土情况。对于不排水边界，r=a处孔压不等于0。所有情况下，随时间的推移和距离的增长，孔压消散很快。4瞬态荷载作用下球形空腔动力响应分析本文采用Lapace变换方法，得出了弹性准饱和土体中球形空腔的动力响应的变换域内的解析解，并借助Lapace反变换对此问题作了细致的数值分析。在瞬态动力作用下，通过与弹性情况的对比，揭示了弹性准饱和土体中球形空腔的瞬态动力响应的一些特性。(1)饱和度对应力的影响远大于其对位移的影响。(2)数值结果表