分形理论在岩石力学中的应用

分形理论在岩石力学中的应用

0岩石构造特性为复杂介质的力学行为提供了新的研究思路岩石是由各种矿物结晶、空隙和结构物组成的综合体。经过亿万年的地质演变和多次复杂的构造运动,使岩石含有不同阶次的随机分布的微观孔隙和裂纹。在宏观尺度上天然岩体又为多种地质构造面(节理、断层和弱面等)所切割。这些重要特征表明岩石是一种很特殊的复杂材料,它不是离散介质(仍是结晶材料),也不是连续介质,因其存在着宏、细、微观的不连续性。岩石材料实质上是似连续又非完全连续,似破断又非完全破断的介质。所以岩石是结构极其复杂的非连续和非均质体,无论从微观到宏观都呈现出强烈的非连续、非均匀特征,表现出非线性、各向异性、随机性和流变性等复杂力学行为。由于岩石材料的复杂性和特殊性,建立在均匀性、连续性假设基础上的固体力学理论引进到岩石力学中是十分局限的。岩石构造上的特点决定了我们不能完全从经典的固体力学理论出发去研究岩石断裂和破碎问题,必须要从认识上进行研究思路变革,最重要的一点就是对岩石构造特性的描述,所以我们应该发展新的理论和用新的方法来准确描述岩体这种材料的本质特征及其断裂和破碎等力学行为。法国数学家Mandelbrot创立的分形几何为自然界乃至社会活动中广泛存在的复杂无序而又具有某种内在规律的系统提供了定量化描述的方法,为人们从局部认识整体,从无限认识有限提供了新方法。分形几何突破了传统欧氏空间的框架,将经典几何整数维的理想和简化描述拓展到分数维空间的真实描述,从而在更本质、更深刻的层面上刻画了自然界中真实的物体和现象的本质特征。分形几何的诞生,为研究岩石这种复杂介质的力学行为提供了全新的方法。从20世纪80年代起,我们引进分形几何描述岩石微结构的不规则性,系统地研究了岩石微观断裂机制、裂纹分形扩展、岩石分形节理力学、岩石分形统计强度理论、分形损伤与分形破碎等一系列岩石力学关键问题,在岩石力学研究方法上取得了突破,并将成果成功地应用到采矿工程实践中,逐渐开拓出岩石力学与工程的分形几何研究新领域。本文总结了我们在岩石断裂与破碎方面的研究成果。1岩石微结构裂纹临界扩展力经典断裂力学的一个根本假设是将岩石断裂轨迹视为直线型平面模型,而现场实测和实验观测均表明,无论在晶粒尺度上还是在断层尺度上,岩石的断裂面都是非常不规则和粗糙的,难以用一个平直面来近似模拟。同时岩体中的断裂路径总是弯弯曲曲的,而且还包含着断裂分叉,这种弯曲和分叉还可以相互嵌套,因此要真实刻画岩石断裂的性态,需要解决两个问题,一是岩石中裂纹扩展轨迹的不规则程度在数学上如何定量描述,二是这种不规则性对岩石宏观断裂力学性能产生什么样的影响。为此,首先要研究岩石微结构的特征。在断裂力学中,为了探讨材料的断裂性能,Griffith和Irwin提出了著名的裂纹临界扩展力准则,裂纹临界扩展力定义为:式中rs为单位宏观量度断裂面积的表面能,这里裂纹被假设是沿直线路径扩展的。但是对于岩石断裂,用上式计算临界扩展力是相当粗糙的。大量的扫描电镜实验和断口分析表明,岩石是一种粗晶粒的多相结晶材料,岩石微结构中包含大量裂隙和孔洞,同时又含有夹杂、沉淀、弱面等其它缺陷,岩石的断裂,既有微裂纹的成核与扩展,也有微孔洞的汇合与贯通。岩石中的裂纹总是以Y形或Z字型向前扩展的,其真实的断裂面积A实要大于表观平直断裂面积A宏,对于单位厚度断裂面积可以认为:式中L0(ε)为裂纹轨道的表观长度,L(ε)为不规则路径长度,ε为测量码尺(图1所示)。因此,裂纹临界扩展力应推广为:根据Mandelbrot(文献)分形曲线长度的估计式:式中为裂纹路径的直线长度,D为不规则扩展路径的分形维数。取度量码尺为晶粒尺寸l,则(3)式可表示为:可近似地选择ε≈r,r是自相似比。这样(5)式可近似表示为:根据岩石断口形貌分析,通常可以将岩石微观断裂分为穿晶断裂、沿晶断裂以及沿晶穿晶耦合断裂3种形式。这几种断裂形式的裂纹扩展均是不规则的,且可以考虑为统计自相似的,所以可以用分形来模拟。1.1拉格兰尼t,gcrit,n对于岩石类材料,晶粒间粘结力低于晶粒本身强度,使得岩石材料易于发生沿晶脆性断裂,如图2所示。沿晶断裂有2种类型,根据分形维数的基本定义:图2(a)中:N=2,1.26;图2(b)中:N=4,相应的裂纹临界扩展力可按(6)式计算:图2(a)中:Gcrit=1.7320.26×2rs=1.15×rs;图2(b)中:Gcrit=30.26×2rs=1.33×2rs。可见,沿晶断裂模式(a)较模式(b)耗散能量小,容易发生。1.2断裂表面特征:自然分布,河流面,自然结晶平面上形成的,自穿晶断裂是晶体材料中最脆的一种断裂形式,穿晶或解理断裂系原子键的简单破裂而沿结晶面直接拉开,因此,断裂表面经常出现台阶状、不规则纹路和河流状花样,它们的主要特征是在一个结晶平面上形成一个节理裂纹的相对不平的面。穿晶断裂分形模型如图3(a)所示,可以得到:裂纹临界扩展力同样按(6)式计算得:上式表明,岩石的穿晶断裂比任何一种沿晶断裂均要耗散更多的能量。1.3断裂表面应力在任何一个岩石断口上,总能找到沿晶断裂和穿晶断裂两种断裂花样。因为岩石内部晶粒的微孔隙、微裂纹、夹杂和第二相等可引起局部应力集中而导致穿晶断裂,一般情况会沿晶断裂(因耗散较少的能量)。所以,岩石断裂表面一般多是沿晶和穿晶断裂的耦合体,沿晶穿晶耦合断裂的分形模型如图4所示。由图4(a)可得:其相应的裂纹临界扩展力根据(6)式计算:将以上结果和相应实测值列于表1中,可以看出,分析结果与实测值基本相符,并且同一晶粒尺寸下的脆性断裂最容易出现的形式是沿晶断裂和沿晶与穿晶的耦合断裂。虽然这一现象人们已经定性了解了很多年,但是只有使用分形的概念,才能给出定量的解释。1.4裂纹叉的几何非规则性裂纹分叉是岩石材料断裂的普遍现象,研究表明:裂纹分叉与断口形态和断裂表面的粗糙性紧密相关,裂纹分叉可明显地增大材料断口的不规则性。Smith(1989)从理论上研究了裂纹分叉的非规则性对脆性材料断裂韧性的影响,指出分叉可使断裂韧性值增加。因此,裂纹分叉的几何非规则性是材料的物理力学、变形破坏和微结构效应的综合反映。岩石裂纹分叉的几何模型如图5(a)所示,假设分叉是这样形成的,在第i+1步的新的裂纹分叉是从前一步第i步裂纹分叉群基础之上连续生成的子群。这种分叉具有自相似特征,可以用分形几何进行模拟。建立裂纹分叉的分形模型如图5(b)所示,则临界断裂能可以表示为:式中l为晶粒尺寸,r为相似比。由断裂力学原理可知其断裂韧性K与Gcrit存在如下关系:式中K0为没有考虑分叉不规则性的材料断裂韧性。考虑裂纹分叉的分形模型,则由(8)式得:E.Smith用复变函数法得到该问题的理论解为:可以看到,式(10)与E.Smith公式[式(11)]的计算结果具有一致的趋势。但Smith给出的结果具有明显的波动性,这与实际不符,而分形分析结果与实验具有很好的一致性,即分叉角越小,分叉断裂越易发生,裂纹分叉使材料断裂韧性提高。2裂纹扩展速度与应力强度因子的关系材料动静态裂纹扩展的研究无论在理论上还是工程应用上都具有重要意义,是材料破坏力学的重要内容,其研究难度也相当大。Freunel(1990)对裂纹扩展问题的研究进展进行了全面的总结,并指出在动态断裂领域,实测结果与理论分析结果一直存在较大差距,大多数材料的实测裂纹速度V0明显低于理论预测的裂纹速度(Rayleigh波速Cr),在高应力速率下,理论预测的动态应力强度因子K(L(D,t),V)很难与其实测值达到一致,这是困扰学术界的一个难题。大量研究表明,在快速断裂中,即便是脆性材料也会产生粗糙的断裂表面和不规则的扩展路径。我们根据建立的裂纹扩展分形模型(图1)导出相应的裂纹扩展速度V,可表示为:式中V0为表观裂纹扩展速度,V为分形裂纹扩展速度,Δα为裂纹扩展步长,d为岩石晶粒尺寸。可见,裂纹扩展速度比V/V0取决于晶粒尺寸、裂纹扩展步长和裂纹扩展路径的分形维数或粗糙度,在分形裂纹扩展中,(d/Δα)<1,1—D<0,所以分形裂纹扩展速度V随D的增加而增大。在中等裂纹表面粗糙度时(D=1.2〜1.3),局部裂纹速度V就能达到表观裂纹扩展速度V0的2倍,这就是目前实测速度值与理论预测存在较大差距的原因之一。根据Freunel(文献)动态断裂理论,动态应力强度因子由递推方法得出:这里h(V)是裂纹速度的普适函数,Cd为弹性膨胀波速。根据分形插值理论,当Δt→0时,曲线L(t)趋于分形裂纹顶端连线L(D,t),Vk→V。根据Freunel理论推导,Δt→0时裂纹扩展运动L(t)的应力强度因子可近似为裂纹顶端运动L(D,t)的应力强度因子,于是我们可以得出:这表明沿分形路径扩展裂纹的动态应力强度因子等于瞬时分形裂纹速度的普适函数与沿分形路径扩展的准静态(平衡)应力强度因子的乘积。将式(13)代入(14)中,得:根据分形理论,K(L(D,t),0)中包含分形裂纹扩展的两个静态效应。第一就是分形裂纹的弯折效应,第二就是分形裂纹不规则扩展的长度效应。让K(L(t),0)表示准静态应力强度因子,则有:K(L(D,t),0)=(d/Δa)(1-D)/2K*(L(D,t),0)(16)上式第一项表示分形裂纹的长度效应,第二项K*(L(D,t),0)表示裂纹扩展的弯折效应(即裂纹弯折而引起的应力集中效应)。由断裂力学最大应变能释放率定义为:图6给出了K((L(D,t),V)/K(L(D,t),0)随V0/Cr和θ/100的变化趋势。分形裂纹扩展分析表明,K(L(D,t),V)/K(L(D,t),0)在分维为D=1.365时,仅当V0/Cr.=0.5就趋于零;而对D=1.263,仅当V0/Cr=0.6,K(L(D,t),V)/K(L(D,t),0)就趋于零。裂纹扩展的分形模型不仅考虑了不规则裂纹的长度效应,也考虑了裂纹扩展的弯折效应,更好地描述了分形裂纹扩展中裂纹速度、裂纹长度和裂纹弯折角对动态应力强度因子的影响。表2给出了裂纹扩展速度实验值与不同理论结果的对比,从中可以看出,我们根据分形模型给出的理论结果与实验值十分一致,该结果很好地解释了大多数实验观察到的裂纹扩展速度仅是Rayleigh波速Cr的一半左右的实验现象,揭示了实验测定裂纹速度V0总是明显低于Rayleigh波速Cr的物理本质。3小破裂材料的自相似性岩石宏观破碎是其内部缺陷不断萌生发育、扩展、聚集和贯通的最终结果,这个从细观损伤发展到宏观破碎的过程是能量耗散过程,并具有分形性质。无论是结构演化的几何特征,还是其力学量或物理量演变的数字特征,均表现出较好的统计自相似性,如微结构断裂模式、裂纹密度、断裂韧性、断裂表面形貌等。实验观察表明,材料的宏观破碎是由小破裂群体集中而形成的,小破裂又是由更小的裂隙演化和集聚而来,这种自相似性的行为必然导致破碎后碎块块度和能量耗散也具有自相似的特征。目前人们已广泛用分形来模拟和描述材料破碎的自相似性。3.1块度分布分形维数岩石块度分布的分形性可以从两方面去理解,一方面实验证明,破碎过程与岩块形状具有自相似性,碎块尺度分布具有幂律特征,是统计意义上的分形;另一方面,岩石微结构分析表明,岩石细观结构中孔洞、裂隙为分形分布,而碎块是裂隙扩展的直接结果,因此,分形孔隙岩石结构导致分形破碎块度分布具有内在的、必然的联系。令R为岩块的特征尺度,N为特征尺度大于等于R的岩块数目,假设块度分布是分形分布,则按尺度—频率关系有:式中N0是具有最大特征尺度Rmax的碎块数,D即为块度分布分形维数。设碎块的质量—频率关系为:式中M是碎块质量,N是质量大于等于M的碎块数,N0是具有最大质量Mmax的碎块数,b是质量—频率分布指数。注意到质量与块度尺寸的相关性:M∝R3,得由Weibull分布得:式中M(r)是直径小于R的碎块累积质量,MT是总质量,σ为与平均尺寸相关的量。如果R/σ≪1,则上式可表示为幂律关系:从而得到:因此我们只要能测定质量—频率分布指数α或b,就可以计算出块度分布分维。图7给出了几个岩样单轴压缩破坏实验的块度分布数据,从结果可以看出,logN与log(Mmax/M)呈线性正比关系,这说明这些岩样破碎后的块度分布具有很好的自相似性,即是一个分形分布。在实验中我们发现,分形维数大的试件,碎块多,体积小,破碎程度高;分形维数小的试件,碎块少,体积大,破碎程度较低。因此块度分布分维直观地定量反映了岩石破碎的程度。为了验证岩石块度分维是否体现了岩石的破碎程度,可以从理论上对构造分形破碎模型进行分析。令试件(岩样)为零级碎元,假设材料破碎过程是严格自相似的,即各级碎元均以破坏概率Pc破碎为几个子碎元,且相邻级碎元尺度的相似比是r,则对k级碎元碎块总数为:对(k+1)级碎元,其碎块总数为:由于假设了构造的破碎过程是严格自相似的,则由分形的基本定义得:因为k≫1,且假定(nPc)>1,则可得到:由式(28)可知,块度分布的分维,不仅与破坏概率Pc有关,也与每级碎元产生的子碎元数有关,它是岩石破碎程度恰当的度量。对于规则形状碎元,有:结合式(28)和(29)两式得:这里d为碎块所属空间的欧几里德维数,取为3;r(<1)为相邻碎元尺度相似比。一般地,块度分布分形维数0≤D≤3。当Pc=0.5时,则为破碎和未破碎的体积相等时的临界状态,此时:这里Dc称为临界破碎分维。可见:由此可以看出,块度分布的分形维数与岩石细观结构、加载方式以及试样形状尺寸等密切相关,是这些因素的综合反映。与通常衡量破碎程度的度量—块率(单位体积的碎块数)相比,分维D不仅表征了材料的破碎程度,而且包含了更丰富的物理内涵。3.2爆破能量释放的分维数和破碎量的关系煤岩体爆破后形成的碎块在很大的尺度范围内满足分形分布特征,爆破分形破碎的理论模型建立如下:取原始立方体的边长为R0,包含的应变能为E,首先将原始立方体均匀破裂成k个子级立方体,小立方体的边长为R1=R0k-1/3。然后随机选择p个小立方体,每个小立方体再细分成k个更小立方体,边长为R2=R0k-2/3(该过程如图8所示)。以此类推,这样爆破破碎过程中分形维数的碎块构成一个分形体,分形维数的定义为:根据上述正方体的分形划分模型,在边长为R的立方体中具有边长为r的小立方体数目为:而在N个小立方体引起能量耗散的立方体个数为:尺寸为r的碎块耗散能量的子立方体体积为)Dr3,总体碎块体积为R3,耗散体与总体积之比为:因此μ=3—D。设Er为单位体积的平均耗散能,那么:边长为r的碎块中,平均耗散能量Er为:将式(38)代入式(37),得到分形能量一尺寸的关系:在煤体破碎一特定尺度(r=r0)下,变换可得:式中A、B是两个常数。上式表明破碎块度分形维数与耗散能量密度对数成正比,可以作为衡量爆破效果的定量指标。坚硬厚煤层的放顶煤开采被认为是煤炭生产技术的一项难题。影响综放开采顶煤冒放性主要有以下3个因素:煤层厚度,开采深度,煤体硬度。对于坚硬顶煤在支承压力作用下难于有效压裂,从而最终影响了顶煤回收率。因此人为地改变顶煤力学性态是实现坚硬厚煤综放开采的唯一途径。在实体煤中实施深孔挤压爆破是弱化坚硬煤层的一种有效方法,通过爆破弱化在顶煤中产生足够的裂隙,然后随着工作面推进在支承压力作用下进行二次破碎,最终形成合理的块度,达到提高综放开采顶煤回收率的目的。以上爆破能量释放的分形理论分析结果式(40),建立了破碎块度分布(分维值D)与耗散能量密度(Er)的对应关系,而耗散能量密度Er又与炸药量存在对应关系,Er=(起爆药能EDDNP+炸药能ERDX)/破岩体积V。这样根据式(40)来调节炸药量与破碎块度的效果,即实现破碎块度控制。在实验中用不同炸药量对同一煤样模型进行爆破测量分析,统计计算结果如图9,图中显示随着炸药单耗对数值的增加,即耗散能量的增加,块度的分维数随之线性增加,完全证明了我们以上理论分析式(40)的正确性。实验爆破后的块度分布随着炸药单耗的增加显得越来越均匀,而破裂的特征尺度逐渐减小,也就是破碎效果越理想。大同矿务局忻州窖矿8911面是一个典型