基于三折线线性软化模型的土体球孔扩张问题研究

基于三折线线性软化模型的土体球孔扩张问题研究

0土体材料模型圆形孔扩张理论广泛应用于隧道、井、桩、沉桩等问题的应力分析，以及混凝土王家等原测试仪器的机械分析。国内外学者以理想弹塑性模型、一次跌落应变软化模型、三折线线性软化模型为基础,通过采用不同屈服准则、流动法则是否相关联、采用大应变还是小应变对圆孔扩张问题做了大量研究。土体是一种非常复杂天然材料,对于岩石、硬粘土、结构性粘土、紧密砂土等材料不仅表现出明显的应变软化特性,而且表现出土体在剪应力的作用下,也会产生体积变形的剪胀特性。根据常规试验成果,这类土体的应力～应变关系可简化为图1的三折线线性软化模型将更为合理。蒋明镜采用三折线线性软化模型,结合双剪统一强度理论屈服准则给出了圆孔扩张问题的逐步求解方法,但未能给出问题的解析解;王晓鸿,梁发云进一步推导了三折线线性软化Mohr-Coulomb和Treca材料中孔扩张问题的解析解,但都忽略了塑性区内的弹性变形,不符合土体材料的实际变形机理。本文在前人的基础上考虑了塑性区弹性变形,推导了符合三折线应变软化模型,服从Tresca屈服准则的土体中球孔扩张问题的解答,分析了是否考虑塑性区弹性变形对最终扩张压力和塑性区半径的影响,同时也分析了剪胀和软化对球孔扩张的影响,所得规律与前人一致。1问题描述1.1孔周土体的内生区作用在孔壁处的内压力p缓慢增大,最终增加到pmax,球孔半径由0增加到ru,如果pmax足够大,孔周土体从内向外形成三个区:流动区、软化区、弹性区。基本方程:平衡方程dσrdr+2σr-σθr=0dσrdr+2σr−σθr=0(1)几何方程εr=durdr,εθ=-urrεr=durdr,εθ=−urr(2)边界条件r=a时,σr=p(3)1.2土体剪胀表征的一般法土体受力变形,达A点土体屈服,进入软化阶段,此时应变为ε1,随着荷载的继续增大,达B点土体进入塑性流动阶段。β由试验可确定,ε1由计算确定。屈服准则,初始屈服:σr-ασθ=2K(4)软化阶段:σr-ασθ=[2K-λ(εr/ε1-1)](5)流动阶段:σr-ασθ=2Kcr(6)其中,λ=(2K-2Kcr)/(β-1),K为初始材料常数,Kcr为残余材料常数,它们可由常规试验确定。为了考虑土体的剪胀特性,本文采用非相关联的流动法则,假设土体均匀剪胀。应变软化阶段,流动法则为:hdεprpr/dεpθpθ=-2/h(7)流动阶段,流动法则为:fdεfrfr/dεfθ=-2/f(8)h,f分别为软化区和塑性流动区的剪胀率。2球孔扩张问题2.1土体初始应力由轴对称问题弹性解答,可得,σr=(σrp-σ0)(rpr)3+σ0(9)σθ=-σrp-σ02(rpr)+σ0(10)ur=(1+v)(σrp-σ0)2E(rpr)3r(11)rp为塑性区半径,σrp为弹塑性交界处的径向应力,σ0为土体初始应力。在弹塑性交界处,式(9)、(10)应满足式(4),得,σrp=3σ0+4Κ3(12)urp=δrp(13)式中δ=2(1+v)Κ3E。由弹塑性理论及应力～应变关系曲线可知,ε1即为弹塑性交界处的径向应变,其大小为:ε1=εrp=2δ(14)2.2边界条件假设由塑性增量理论:dεr=dεer+dεpr(15)dεθ=dεeθ+dεpθ(16)又dεeθ=1E{dσr-2vdσθ}(17)dεeθ=1E{-vdσr+(1-v)dσθ}(18)结合式(7)、(15)、(16)、(17)、(18)得,对上式积分,并结合式(2)、(12)、(13),可得:联立式(1)、(2)、(5)、(20),可得关于σr和u的微分方程组(21)经计算得:上式中,G1、G2、G3、G4、H1、H2、H1、F1、F2为E、λ、v、ε1、σ0的函数,见附录。C1、C2为待定常数,由边界条件(12)、(13)确定。C1=-(8δΗ1Eλ-G4)r2F2Η2+√G1-G3Η2p+Η1(√G1+G2)(F3-σrp)rF2Η2+2√G1+F1Η2Η2pΗ1(√G1+G2)r2√G1Η2p+Η1(√G1-G2)r2F2p(23)C2=(8δΗ1Eλ-G4)r√G1-G3Η2p-Η1(√G1-G2)(F3-σrp)rF1+F2pΗ1(√G1+G2)r2√G1Η2p+Η1(√G1-G2)r2F2p(24)2.3变形参数在流动区,由式(1)、(3)、(6),可得:σr=p-4Kcrln(r/ru)(25)σθ=p-4Kcrln(r/ru)-2Kcr(26)在流动区,产生塑性流动,由式(2)、(8)、(15)、(16)得:fdudr+2ur=S1ln(r/ru)+S2(27)其中,S1=4Kcr(f+2)(1-2v)/E,S2=(f+2)(2v-1)p/E+2Kcr(1-v-fv)/E-D1解(27)式得,u=s1ln(r/ru)r2+f-sfr(f+2)2+s2r2+f+r(-2/f)D2(28)D1=fεrf+2εθf-(f-2v)σrfE-(2-2v-2fv)σθfED2=f[βε1(f+2)2+s1ln(x/ru)(f+2)+(s2f+2s2+2s1)]2(f+2)2r(-1-2/f)uεrf,εθf,σrf,σθf分别为软化区与流动区交界处的应变和应力,可由(22)、(2)、(5)计算得到。3.4球孔扩张应力、应变、位移计算根据体积平衡条件,有:43π(r3u)=43π[r3p-(rp-urp)3]+Δp+Δf(29)ru为孔最终半径,Δp、Δf分别为软化区和流动区的体积变形,大小见(30)、(31)。Δp=4π∫rfa(εr+2εθ)r2dr=π(-√G1+G2)C1[r(3-√G1/Η2+G3/Η2)p-r(3-√G1/Η2+G3/Η2)f]2λE+πG4(r3p-r3f)2Η1λE+π(√G1+G2)C2[r(3+√G1/Η2+G3/Η2)p-r(3+√G1/Η2+G3/Η2)f]2λE(30)Δf=4π[s1(r3u+3ln(rf/ru)r3f-r3f)3(2+f)+D2(r(2-2/f)u-r(2-2/f)f)+13(3s1ff2+4f+4-s1f+2-3s22+f)(r3f-r3u)](31)在软化区与流动区的交界处,应力和应变连续,可得方程(32)、(33)。结合(29)、(32)、(33)三方程可解得塑性区半径rp、软化区半径rf和最终扩张压力pmax,把这三个值代入相应表达式,可求得球孔扩张问题的应力、应变、位移的所有解。-(-√G1+G2)(Η2-√G1+G3)r(-√G1+G3)/Η2fC18λEΗ2-(√G1+G2)(Η2+√G1+G3)r(√G1+G3)/Η2fC28λEΗ2-G48Η1λE=4β(1+v)Κ3E(32)pmax=p=r-F1-F2fC1+r-F1+F2fC2+F3+4ln(rf/ru)(33)3标准响应建议为了分析剪胀、软化、弹性模量对球孔扩张问题的影响,取v=0.3,K=40kPa,σ0=0,ru=0.25m。考虑到只有硬粘土、紧密砂土才出现软化现象,取土体弹性模量E≥20MPa。3.1胀特性对球形孔扩张压力的影响图2为h=f=1、1.42、3三种不同剪胀特性对球形孔扩张最终扩张压力与土体弹性模量关系曲线的影响图,从图中可以看出,弹性模量相同时,剪胀率越大,最终扩张压力越大。3.2软化功能的影响3.2.1土体弹性模量与压力的关系图3中三条曲线表示不同软化程度下最终扩张压力与土体弹性模量的关系。结果表明在弹性模量相等的情况下,要使土体按球孔扩张到相同的半径,软化程度越高的土体所需扩张压力越小。3.2.2影响扩张由图1可知土体软化规律是由软化程度和β值共同决定的。由图4可见,β值越大,最终扩张压力也越大。3.3弹性区域弹性变形的影响3.3.1曲线忽略塑性区弹性变形所得扩张压力偏小图5中1曲线考虑塑性区弹性变形,2曲线忽略塑性区弹性变形,可见不考虑塑性区的弹性变形所得扩张压力偏小。且随着弹性模量的增大,这种差值越大。3.3.2量关系的影响图图6为是否考虑塑性区弹性变形对塑性区半径与弹性变量关系的影响图。由图示,不考虑塑性区弹性变形,大致在弹性模量E≤50MPa时,所得塑性区半径偏大,而当E≥50MPa时,所得的塑性区半径偏小。5不同因素对最终扩张压力的影响本文以塑性理论为基础,推导了符合三折线线性软化模型的土体中球孔扩张问题的严密解,本解考虑了塑性区的弹性变形,更加符合土体变形机理。本文在理论解的基础上分析了考虑塑性区弹性对球性孔扩张的影响,指出如不考虑塑性区弹性变形将比考虑所得的最终扩张压力小,且随着土体弹性模量的增大,这种差值变大,所以球孔扩张时考虑塑性区弹性变形是有必要的。本文分析了剪胀、软化对最终扩张压力的影响,所得的影响规律与前人研究结果是一致的。附录本附录列出了方程(22)中的各个系数表达式:G1=G11+G22+G33G2=[(2v-2)h+6v-2]λ-(h+2)ε1EG3=[(-6v+2)h-10v+6]λ-Efh-2ε1EG4=-16λ(2Κ+λ)Eε1(v-0.5)Η1=λ(2v-1),Η2=(4hv+4v-4)λ+2ε1EhF1=2ε1E+ε1Eh+6λvh-6λ+10λv-2λhF2=√(F21+F22+F23)/F24F3=2λ(2v-1)Κ-ε1Eλ-2Eε1Κ(2v-1)λ其中,G