有关排队问题的排列组合题解法举例

有关排队问题的排列组合题解法举例例1:三个女生和五个男生排成一排（1） 如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？（2） 如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？（3） 如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？（4） 如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？解：（1）（捆绑法）因为三个女生必须排在一起，所以可以先把她们看成一个整体，这样同五个男生合一起共有六个元素，然成一排有种不同排法.对于其中的每一种排法，三个女生之间又都有对种不同的排法，因此共有种不同的排法.（2） （插空法）要保证女生全分开，可先把五个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空档.这样共有4个空档，加上两边两个男生外侧的两个位置，共有六个位置，再把三个女生插入这六个位置中，只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相邻.由于五个男生排成一排有种不同排法，对于其中任意一种排法，从上述六个位置中选出三个来让三个女生插入都有种方法，因此共有种不同的排法.（3） 解法1:（位置分析法）因为两端不能排女生，所以两端只能挑选5个男生中的2个，有种不同的排法，对于其中的任意一种排法，其余六位都有种排法，所以共有种不同的排法.解法2：（间接法）3个女生和5个男生排成一排共有种不同的排法，从中扣除女生排在首位的种排法和女生排在末位的种排法，但这样两端都是女生的排法在扣除女生排在首位的情况时被扣去一次，在扣除女生排在未位的情况时又被扣去一次，所以还需加一次回来，由于两端都是女生有种不同的排法，所以共有种不同的排法.解法3：(元素分析法)从中间6个位置中挑选出3个来让3个女生排入，有种不同的排法，对于其中的任意一种排活，其余5个位置又都有种不同的排法，所以共有种不同的排法，解法1：因为只要求两端不都排女生，所以如果首位排了男生，则未位就不再受条件限制了，这样可有种不同的排法；如果首位排女生，有种排法，这时末位就只能排男生，有种排法，首末两端任意排定一种情况后，其余6位都有种不同的排法，这样可有种不同排法.因此共有种不同的排法.解法2：3个女生和5个男生排成一排有种排法，从中扣去两端都是女生排法种，就能得到两端不都是女生的排法种数.因此共有种不同的排法.说明：解决排列、组合应用问题最常用也是最基本的方法是位置分析法和元素分析法.若以位置为主，需先满足特殊位置的要求，再处理其它位置，有两个以上约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时要兼顾其它条件.若以元素为主，需先满足特殊元素要求再处理其它的元素.间接法有的也称做排除法或排异法，有时用这种方法解决问题来得简单、明快.捆绑法、插入法对于有的问题确是适用的好方法，要认真搞清在什么条件下使用.例27名同学排队照相.⑴若分成两排照，前排3人，后排4人，有多少种不同的排法？⑵若排成两排照，前排3人，后排4人，但其中甲必须在前排，乙必须在后排，有多少种不同的排法？（3）若排成一排照，甲、乙、丙三人必须相邻，有多少种不同的排法？3名女生，⑷若排成一排照，7人中有4名男生，女生不能相邻，有多少种不面的排法？3分析：（1）可分两步完成：第一步，从7人中选出3人排在前排，有A7种排法；第二步，347剩下的4人排在后排，有A4种排法，故一共有A7种排法.事实上排两排与排成A4A77一排一样，只不过把第4~7个位子看成第二排而已，排法总数都是A7，相当于7个人的4全排列.（2）优先安排甲、乙.（3）用“捆绑法〃.（4）用“插空法〃.解：（1）A7A4A75040种.⑵第一步安排甲，有A3种排法；第二步安排乙，有A4种排法；第三步余下的5人排在5剩下的5个位置上，有A5种排法，由分步计数原理得，符合要求的排法共有115AAA1440种.1347⑶第一步，将甲、乙、丙视为一个元素，有其余4个元素排成一排，即看成5个元素的53全排列问题，有A5种排法；第二步，甲、乙、丙三人内部全排列，有A3种排法.由分步计53数原理得，共有A5A720种排法.4(4)第一步，4名男生全排列，有A4种排法；第二步，女生插空，即将3名女生插入4名3男生之间的5个空位，这样可保证女生不相邻，易知有A5种插入方法.由分步计数原理得，43符合条件的排法共有：AA1440种.说明：(1)相邻问题用"捆绑法〃，即把若干个相邻的特殊元素"捆绑〃为一个"大元素〃，与其他普通元素全排列；最后再“松绑〃，将这些特殊元素进行全排列.⑵不相邻问题用"插空法〃，即先安排好没有限制条件的元素，然后再将有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间.例3八个人分两排坐，每排四人，限定甲必须坐在前排，乙、丙必须坐在同一排，共有多少种安排办法？解法1：可分为“乙、丙坐在前排，甲坐在前排的八人坐法〃和“乙、丙在后排，甲坐在前排的八人坐法〃两类情况.应当使用加法原理，在每类情况下，划分"乙丙坐下〃、"甲坐下〃；“其他五人坐下〃三个步骤，又要用到分步计数原理，这样可有如下算法：215215AAAA4A4A58640（种）.解法2：采取“总方法数减去不命题意的所有方法数〃的算法.把“甲坐在第一排的八17人坐法数〃看成“总方法数”，这个数目是A4.在这种前提下，不合题意的方法是“甲A711115坐第一排，且乙、丙坐两排的八人坐法.”这个数目是A4.其中第一个因数CTOC\o"1-5"\h\zAAA5111表示甲坐在第一排的方法数，C2表示从乙、丙中任选出一人的办法数，A3表示把选出A4的这个人安排在第一排的方法数，下一个A4则表示乙、丙中沿未安排的那个人坐在第二排5的方法数，A5就是其他五人的坐法数，于是总的方法数为1711115A4A7A4CTOC\o"1-5"\h\zAAA8640（种）.1例4一条长椅上有7个座位，4人坐，要求3个空位中，有2个空位相邻，另一个空位与2个相邻空位不相邻，共有几种坐法？分析：对于空位，我们可以当成特殊元素对待，设空座梯形依次编号为1、2、3、4、5、6、7.先选定两个空位，可以在1、2号位，也可以在2、3号位〃共有六种2号，则另一空位可以在4、可能，再安排另一空位，此时需看到，如果空位在1、5、6、7号7号位，亦如此.如果相邻空位在2、3号位，另一空位可位，有4种可能，相邻空位在6、4号，4、5号，5、6号亦如此，所以必以在5、6、7号位，只有3种可能，相邻空位在3、须就两相邻空位的位置进行分类.本题的另一考虑是，对于两相邻空位可以用合并法看成一个元素与另一空位插入已坐人的4个座位之间，用插空法处理它们的不相邻.解答一：就两相邻空位的位置分类：42或6、7,共有24A4若两相邻空位在1、192（种）坐法.43,3、4,4、5或5、6,共有43A4若两相邻空位在2、 288（种）不同坐法，所以所有坐法总数为192288480（种）.解答二：先排好4个人，然后把两空位与另一空位插入坐好的4人之间，共有42AA480（种）不同坐法.解答三：本题还可采用间接法，逆向考虑在所有坐法中去掉3个空位全不相邻或全部相4邻的情况