第三节波动的叠加

第三节波动的叠加第1页，课件共30页，创作于2023年2月1.3波的叠加

1.3.5两列同频率、振动方向互相垂直、同向传播的平面波的叠加——椭圆偏振光的形成及特征1.3.6两列频率相近、同向振动、同向传播的平面波的叠加—光学拍

第2页，课件共30页，创作于2023年2月1.3.1波的独立传播与叠加原理：

由于任何复杂的光波都可以分解为一组由余弦函数和正弦函数表示的单色光波，因此讨论两个（或多个）光波在空间某一区域相遇时，所发生的光波的叠加问题是有意义的。同时，频率、振幅和位相都不相同的光波的叠加，情形很复杂。

本节只限于讨论频率相同或频率相差很小的单色光波的叠加，这种情况下可以写出结果的数学表达式。本节所讨论内容的理论基础：一、波的独立传播定律：两列光波在空间交迭时，它的传播互不干扰,亦即每列波如何传播，就像另一列波完全不存在一样各自独立进行。此即波的独立传播定律。必须注意的是：此定律并不是普遍成立的，例，光通过变色玻璃时是不服从独立传播定律的。第3页，课件共30页，创作于2023年2月二、波的叠加原理：

当两列(或多列)波在同一空间传播时，空间各点都参与每列波在该点引起的振动。若波的独立传播定律成立，则当两列(或多列)波同时存在时，在它们的交迭区域内每点的振动是各列波单独在该点产生振动的合成.此即波的迭加原理。

与独立传播定律相同，叠加原理适用性也是有条件的。这条件，一是媒质,二是波的强度。

光在真空中总是独立传播的，从而服从叠加原理。光在普通玻璃中，只要不是太强，也服从叠加原理。

波在其中服从叠加原理的媒质称为“线性媒质”。此时，对于非相干光波：即N列波的强度满足线性迭加关系。1.3.1波的独立传播与叠加原理

第4页，课件共30页，创作于2023年2月对于相干光波：即N列波的振幅满足线性迭加关系。由于振动量通常是矢量，所以一般情况下此处之“和”应理解为矢量和.波在其中不服从迭加原理的媒质称为“非线性媒质”。1.3.1波的独立传播与叠加原理第5页，课件共30页，创作于2023年2月1.3.2同频率简谐波叠加的一般分析及干涉概念

1.3.2同频率简谐波叠加的一般分析及干涉概念

设两列同频率简谐波在其波场交叠区某点P各自产生的复振幅分别为

P点合振动的复振幅矢量为P点合光强为第6页，课件共30页，创作于2023年2月1.3.2同频率简谐波叠加的一般分析及干涉概念

令则

若在两波的交叠区波场的强度分布不是简单地等于每列波单独产生的强度之和，即一般地则称这两列波发生了干涉。易见对干涉的贡献来自合强度式中的第三项——干涉项。为使该项具有不为零的稳定贡献，必须有

（1）E10·

E20=0，即E10不垂直于E20；（2）对给定点P，相差δ（P)恒定，不随时间而变化。对理想单色简谐波，只要振动方向不互相正交，总是相干的。第7页，课件共30页，创作于2023年2月设两列三维平面波的频率相同，振动方向相同(故可用标量波表示)，其复振幅分别为此时可得到光场中的光强分布为或写为其中1.3.2同频率简谐波叠加的一般分析及干涉概念

第8页，课件共30页，创作于2023年2月光强仅随位置r变化而变化。在某些特定位置，使得

(m=0，±l，±2，…)

光强I取得极大值这时称两列波发生了相长干涉；

在另一些特定位置，使得

(m=0，±l，±2，…)

光强I取得极小值这时称两列波发生了相消干涉。

1.3.3两列同频率同向振动的平面波的叠加

第9页，课件共30页，创作于2023年2月

δ相同的点的集合构成了三维空间中的等强度面，这种等强度面的方程是我们把两列(或多列)相干波的交叠区称为干涉场，将干涉场中光强随空间位置的分布称为干涉图样。由以上分析可知，两列同频率平面波的干涉图样是三维空间中一族光强极大与极小相间排列的平行平面。由于在I1、I2给定时，光强I仅取决于cosδ，而cosδ随x,y,z的变化具有周期性，故，干涉场的强度变化亦具有空间周期性。1.3.3两列同频率同向振动的平面波的叠加

第10页，课件共30页，创作于2023年2月由于可知，光强分布在x,y,z

方向的空间频率分别为上式亦可写成矢量形式式中f1，f2分别是第一列波、第二列波的空间频率矢量，f是干涉图样(在垂直于等强度面方向)的空间频率矢量。1.3.3两列同频率同向振动的平面波的叠加

第11页，课件共30页，创作于2023年2月1.3.3两列同频率同向振动的平面波的叠加

由于f1=f2=1/λ,f的方向为等强度面的法线方向，可知等强度面位于f1、f2(亦即k1、k2)的角平分面，且有式中θ为k1、k2夹角。对fxfyfz

取倒数可以得到干涉图样在x,y,z方向的空间周期dx,dy,dz相邻光强极大(或极小)平面的间距则为第12页，课件共30页，创作于2023年2月1.3.4两列同频率同向振动反向传播的平面波的叠加——

光驻波设两列波的传播方向分别沿z轴的负方向和正方向,采用实波函数来进行分析。

其实波函数分别为：为突出波叠加时的主要特征，设E10=E20，则合成波为

上式中第二项表明波场中任一点仍作角频率为ω的简谐振动，而第一项的绝对值则表示为坐标为z处的振动振幅，将此振幅记为E0（z），即有：第13页，课件共30页，创作于2023年2月显然，各点的振幅不再是常数，而随其空间位置z而变化。在满足

(m=0，±1，±2，…)

的位置，振幅E(z)取得最大值2E10，这些点称为波腹。

在满足

(m=0，±1，±2，…)

的位置，振幅E(z)取得最小值0，这些点称为波节。

容易看出，波腹与波节相间分布，相邻波腹(或波节)的间距皆为λ/2。由于整个波形并不发生空间推移，所以这种波称为驻波。相应地，前文所讨论的各种在空间传播的波则可以称为行波。1.3.4两列同频率同向振动反向传播的平面波的叠加——

光驻波第14页，课件共30页，创作于2023年2月1.3.4两列同频率同向振动反向传播的平面波的叠加——

光驻波历史上，维纳(O．winer)曾经作了这样一个著名的实验，它既验证了光驻波的存在，也证实了在光化学反应中对物质起主要作用的是电场而不是磁场。可以预见:若有光驻波存在，在感光片上将有亮暗相间的条纹存在，且条纹间距应与

/2按几何关系对应。即实验证实了这个预言，即证实了驻波的存在。第15页，课件共30页，创作于2023年2月1.3.5两列同频率、振动方向互相垂直、同向传播的平面波的叠加——椭圆偏振光的形成及特征

取互相垂直的两个振动方向分别为x和y轴，波的传播方向为z方向

则x，y方向的矢量实波函数可分别写为波场中任意位置和时刻的合振动应为

因为两列波均沿z方向等速传播，故其合成波亦沿同方向以同样速度传播，并且合矢量E仍在xy平面内，即光波仍保持其横波性。以θ表示E矢量与x轴正向所成的角，则有

可见，一般地说θ

的大小，即E在xy平面内的指向将随位置z和时间t而变化。以下分别讨论其时空依赖关系。第16页，课件共30页，创作于2023年2月

一、光矢量E的时间变化设z为定值

可以证明，当t

为任意值时，E矢量末端随时间的变化在空间扫描出的轨迹由以下方程所确定：显然，一般说来这是一个“斜椭圆”(两半轴方位不与x,y轴重合)方程，相应的光称为椭圆偏振光

。1.3.5两列同频率、振动方向互相垂直、同向传播的平面波的叠加——椭圆偏振光的形成及特征

EyEx2a12a20ψ该椭圆内截于一个长方形，长方形各边与坐标轴平行，边长为2a1和2a2

。如图示。椭圆的长轴与OX轴的夹角：式中a1,a2分别为Ex0,Ey0。第17页，课件共30页，创作于2023年2月令则由于两叠加光波的角频率为ω，故P点合矢量沿椭圆旋转的角频率为ω。我们把光矢量周期性地旋转，其末端轨迹描成一个椭圆的这种光称为椭圆偏振光。1.3.5两列同频率、振动方向互相垂直、同向传播的平面波的叠加——椭圆偏振光的形成及特征

第18页，课件共30页，创作于2023年2月二、几种特殊情况：由椭圆方程知：椭圆形状由两叠加光波的位相差和振幅比a2/a1决定.当两种特殊情况下,合成光波仍是线偏振光.1.或±2π的整数倍时，椭圆方程为：此式表示：合矢量的末端的运动沿着一条经过坐标原点而斜率为a2/a1的直线进行。第19页，课件共30页，创作于2023年2月二、几种特殊情况：2.椭圆变为：即合矢量的末端运动沿着一条经过坐标原点而斜率为-a2/a1的直线进行。第20页，课件共30页，创作于2023年2月二、几种特殊情况：3.及其奇数倍时，椭圆方程为：此为一正椭圆,长短轴与x，y轴重合.若两光波的振幅a1、a2相等，为a。则：表示一个圆偏振光。第21页，课件共30页，创作于2023年2月三、左旋和右旋：通常规定:对着光传播方向看去，合矢量是顺时针方向旋转时，偏振光是右旋的。反之，是左旋的。只需将不同时刻的两原光波的值比较后即可看出；sinδ>0左旋情况sinδ<0右旋情况在左旋椭圆偏振光情况下，各点场矢量的末端构成的螺旋线的旋向与光传播方向成右手螺旋系统；而右旋椭圆偏振光的情形、螺旋线的旋向与关传播方向成左手螺旋系统。第22页，课件共30页，创作于2023年2月二、光矢量E的空间变化

设t为定值

这相当于观察“凝固”了的波形。对于某一时刻，传播路程上各点的合矢量末端位置构成一个螺旋线，螺旋线的空间周期为光波波长，各点场矢量的大小不一，其末端在与传播方向垂直的平面上的投影为一个椭圆。当δ=0，π时，易见振动平面的空间取向是不变的，其它情况下随z的改变而改变。

关于左旋和右旋的的判据与前述相同，仍是：此时椭圆是右旋的

此时椭圆是左旋的

zxy三、左旋和右旋：第23页，课件共30页，创作于2023年2月四、椭圆偏振光的强度在矢量形式下光波的强度一般地可写成在同一介质内时对于椭圆偏振光：它是由振动方向互相垂直的两线偏振光叠加构成：则即此式表示椭圆偏振光的强度恒等于合成它的两个振动方向互相垂直地单色光波地强度之和，它与两个叠加波的位相无关。第24页，课件共30页，创作于2023年2月四、椭圆偏振光的强度这一结论不仅适用于椭圆偏振光，也适用于圆偏振光和自然光。此时Ix=Iy，则另：由此结论，说明两振动方向互相垂直的光波在叠加区域内各点的光强度都应等于两个光波的强度之和，即此时不发生干涉现象。第25页，课件共30页，创作于2023年2月

设两列平面波均沿z轴正方向传播，其振动方向相同，振幅皆为E，两列波的传播数和角频率分别为是k1,ω1和k2,ω2

。取第一列波的初相为零，第二列波相对于第一列波的初相差为δ0，则两列波的实波函数可写为任一时刻及位置波场中的合振动可表示为式中10.3.6两列频率相近、同向振动、同向传播的平面波的叠加—光学拍第26页，课件共30页，创作于2023年2月设两列波频率相近，即10.3.6两列频率相近、同向振动、同向传播的平面波的叠加—光学拍则上式中第一项因子在时空中的变化速度要比第二项缓慢得多，因此可以把后者看做是高频载波，而把前者看做是对载波的低频调制。载波的角频率为，其振幅为A的分布构成了调制后的载波的包络线。合成波的强度则为式中I1=E02为单列波的强度。第27页，课件共30页，创作于20