2022高考（课标全国卷）数学押题模拟卷04

2022高考（课标全国卷）押题模拟卷04

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.本试卷分第【卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必

将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号

涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的.

1.（2021•浙江宁波高三开学模考）已知M，N是R的子集,且M1N,则（aN）DM=

（）

A.MB.NC.0D.R

【答案】C

【解析】M.N是R的子集，且M=如图所示，5N表示Venn图中的阴影部

分,

故可知，电N）cM=0,故选C.

2.（2021•江西上饶高三零模）已知i为虚数单位，复数z=i（4+3i）,则|z|=（）

A.4B.5C.16D.25

【答案】B

【解析】z=i（4+3i）=-3+4z•，故目=^（-3）2+42=5.故选B.

3.（2021•重庆南开中学高三期末）已知若（2x-的展开式中各项系数之和

为81,则展开式中常数项为（）

B.8C.24D.32

【答案】B

【解析】根据题意，在（2%-守=）4中，令％=1,则（2-。）4=81,而。<0,故。=-1,

所以展开式中常数项为C；2i=8,故选B.

4.（2021•甘肃高三模考）已知向量满足2=（4,0）,B=（租,1）,且同则工坂

的夹角大小为（）

兀〃43兀

A.-B.—C.—D.—

4324

【答案】A

【解析】•.,同=4,二4加=4,解得:m=\,即B=

-r3•/?4y/2兀

cos<a1>=而=亚方=5-,所以万和的夹角大小为1.故选A.

5.（2021•河北沧州高三第一次质检）设点A（4,5）,抛物线=8》的焦点为尸，尸为

抛物线上与直线4尸不共线的一点，则周长的最小值为（）

A.18B.13C.12D.7

【答案】C

【解析】因为抛物线V=8y,故焦点尸（0,2）准线方程为：，=一2,过p作尸厅垂直

与准线交准线于过A作A4垂直与准线交准线于A,

22

根据抛物线的定义可知|尸耳=|州•••A（4,5）,,-.|AF|=A/4+（5-2）=5

|A4,|=5-（-2）=7,

Cv"=|AF|+|AP|+|P耳=|A月+以AF|+|A4j=5+7=12,故选C.

6.（2021•兴仁市凤凰中学高三模考）PM2.5是衡量空气质量的重要指标，我国采用世

卫组织的最宽值限定值，即PM2.5日均值在35〃g/m3以下空气质量为一级，在

试卷第2页，总17页

35〃g~75〃g/n?空气量为二级，超过75〃g/为超标.如图是某地5月1日至10

日的PM2.5（单位：Ag/m3）的日均值折线图，则下列说法不正确的是（）

A.这10天中有3天空气质量为一级B.从6日到9日PM2.5日均值逐渐降低

C.这10天中PM2.5日均值的中位数是55

D.这1（）天中PM2.5日均值最高的是5月6日

【答案】C

【解析】由折线图知，1，3,4三天空气质量为一级，A正确；从6日到9日PA/2.5日

41+45

均值逐渐降低，B正确；中位数是-------二43,C错；这10天中加2.5日均值最高

2

的是5月6日为80,D正确.故选C.

p_1_ccqv*

7.（2021•湖北襄阳高三调研）函数=--------的图象大致为（）

【解析】由题意可知，函数/（X）的定义域为R,

»=（-4/+*）=_x3lne+cosx=,

e-cos（-x）e-cosx

所以/(x)为奇函数，排除选项A,B；

当xe0,g时，0<cosx<l,所以e+0°sx>i,

V27e-cosx

e+cosJC

所以/'(xbVln------->0,排除D.故选：C.

e-cosx

8.(2020•河北保定高三期末)已知函数/(%)=丁+2//，(1)+2,且图像在点x=2处

Ji37r

的切线的倾斜角为。，则sin(]+a)cos(5--a)的值为()

3344

A.—B.——C.—D.——

16161717

【答案】D

【解析】V/(x)=Mx2f(1)+2,：.f(x)=3x2+4xf(1),：.f(1)=3+4f(1),

即/(1)=7,/(x)=3N-4JG・,•图象在点x=2处的切线的斜率％=/(2)=4=

/乃、/3"、sinacosatana

tana,贝nII」sin(—Fa)cos(-------a)=-cosasina=----------------------=-----------------

22sinacosa1+tana

4

=------，故选Q.

17

22

9.(2021•河北安平高三模考)双曲线二―4=1(a>0,Z?>0)的左右焦点为耳，

a1b2

B，渐近线分别为4,4,过点石且与4垂直的直线分别交4及〃于P,。两点，若

满足丽=；西+3而，则双曲线的离心率为()

A.V2B.GC.2D.75

【答案】c

22

・・％y

【解析】=1(«>0,〃>0)的左右焦点为尸2,・・・Q(-C,0),Fl(c,

0),双曲线的两条渐近线方程为y=-2x,y=­x,

aa

・・•过R的直线分别交双曲线的两条渐近线于点P,Q.

•：OP=-OE+-OQ,.,.点P是线段Q0的中点，且PQLOP,

212

，过Fi的直线PQ的斜率kpQ=-,

b

...过Fi的直线P。的方程为:y=-(x+c),

b

试卷第4页，总17页

h

'=-X2ah

解方程组(a,WP,—),

\Cc

尸在c)

：.\PFx\=\PQ\=h,\PO\=af|OFi|=|O尸2|=|0Q=C,|QB|=2a,

ba

\*tanZQOF2——,cosZQOF2——,

ac

〃

由余弦定理，得cosNQOB=c?+c2,—42=1-2勺a2=」a,

2c2c2c

即e2-e-2=0,解得e=2,或e=-1(舍)，故选C.

10.（202（）•黑龙江哈九中高三期末）我国古代名著《张丘建算经》中记载：“今有方锥,

下广二丈，高三丈.欲斩末为方亭，令上方六尺.问：斩高几何？”大致意思是：有一个正

四棱锥下底边长为二丈，高三丈，现从上面截去一段，使之成为正四棱台，且正四棱台

的上底边长为六尺，则截去的正四棱锥的高是多少.如果我们把求截去的正四棱锥的高

改为求剩下的正四棱台的体积，则该正四棱台的体积是（注：1丈=10尺）（）

A.1946立方尺B.3892立方尺C.7784立方尺D.11676立方尺

【答案】B

【解析】如图所示，正四棱锥P-ABC。的下底边长为二丈，即AB=20尺，高三丈，

即PO=30尺；截去一段后，得正四棱台ABCD-AB'C'D,且上底边长为ATT=6尺,

lx6

30-OO'?

所以一^—一，解得00=21,所以该正四棱台的体积是

x20

2

V=-X21X（202+20X6+62）=3892（立方尺）.故选3.

3

-x2-4x+l,x<0

11.(2021•天津塘沽区高三一模)已知函数/(x)=<2(1Jx>0，若关于*的方

程(/(力-。(/(%)-加)=0恰有5个不同的实数根，则实数m的取值范围是()

A.(1,2)B.(1,5)C.(2,3)D.(2,5)

【答案】A

【解析】E&(/(x)-l)(/(x)-m)=0,得/(x)=l或/(x)=m,

作出y=/(x)的图象，如图所示，由图可知，方程/(x)=i有2个实根,

故方程/(%)=加有3个实根，故机的取值范围为(1,2).

0,0<%<1,

12.(2021•陕西西安中学高三四调)已知函数〃x)=|lnx|,g(x)=<

\x~―4|-2,x>1

若关于x的方程”x)+〃2=g(x)恰有三个不相等的实数解,则m的取值范围是()

A.[0,ln2]B.(-2-In2,0)C.(-2-ln2,0]D.[0,2+ln2)

【答案】c

【解析】设解x)=«x)+m,

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作出函数兀v）和g（x）的图象如图:

则%。）是兀0的图象上下平移得到，

由图象知B点的纵坐标为=/（1）+〃2=皿1+，片加,

A点的纵坐标为g（2）=-2,

当x=2时，/i（2）=ln2+m,g（l）=O,

结合对数函数和二次函数的图象与性质，可知要使方程〃x）+/^g（x）恰有三个不相

等的实数解，必须且只需〃（X）与g（x）的图象有三个不同的交点，必须且只需

Ml），。）m<0

，解得一2—ln2〈机＜0,

M2Ag⑵m+\n2>-2

即实数〃?的取值范围是（一2-ln2,0],故选C.

第H卷（非选择题）

二、填空题（共20分）

2

13.（2021.山东聊城东昌高三联考）设a＞（）,b＞0,若百是3"与城'的等比中项,则一+

a

7的最小值为.

b

【答案】8

【解析】因为也是3"与32"的等比中项，则有TX3"=（G）2,即3"幼=3,得a+26

=1,则工+，=（a+2b）[2+1]=4+（竺+24+2“=8,当且仅当云

abyab）\ab）2

21

时取等号，即一十7的最小值为8.

ab

14.（2021•云南高三高考适应性测试）如图，在△43C中，点。是边3C上一点，且

AB=4,BD=2,cosB=—,cosC=—,贝!IsinZDAC的值为_____.

164

B

DC

【答案】叵

4

【解析】在△A3。中，AD2=AB2+BD2-2AB-BD-cosB=9，可得AZ)=3.

T74入口十士由zr\r»A/52+BD^—AB^9+4—161.—

又由余弦定理，cosZA4DB=---------------=--------=——，进,+而可r得ZH

2A0W4xx

sinZADB=.

4

在△A0C中，sinZDAC=sin(ZADB-ZC),

由此可得sinADAC=sinZADBcosC-cosZADBsinC,

由已知可得sinC=巫，代入可得sinZDAC=叵文旦/叵=叵.

444444

15.(2021•江苏广陵扬州中学高三调考)抛物线M=2py(p＞0)上一点4(6,加)(瓶＞1)

到抛物线准线的距离为节，点4关于y轴的对称点为B,。为坐标原点，404B的内切圆与

。力切于点E,点F为内切圆上任意一点，则丽•丽的取值范围为.

【答案】[3-VL3+V3]

【解析】因为点4(遮，m)在抛物线上，所以3=2pm=7n=/,点1到准线的距离

为成+：=当，解得p=g或p=6.当p=6时，m=：＜l,故p=6舍去，所以抛物线

方程为/=y,.-.4(73,3),B(-G3),所以4。48是正三角形，边长为2百，

其内切圆方程为"+0—2)2=1,如图所示，.•.后年，设点尸(cos。，2+sin0)

(。为参数)，则万•OF=cos6+3+：sin。=3+V3sin(0+-),：.0E-OF6[3-

226

a,3+㈣.

试卷第8页，总17页

16.(2021•黑龙江大庆一中高三一模)已知长方体A8CZ)-48iGOi的顶点都在球。的

表面上，且AC=A4=2,则球。的表面积为.若41G与8。所成的角为60。，

则A.D与BG所成角的余弦值为.

31

【答案】8兀二或一

57

【解析】因为长方体外接球直径恰为长方体对角线，所以球O的直径

2R=7M2+Ac2=V22+22=枢，因此球O的表面积为4兀R?=8兀；

因为4G平行AC,所以AG与所成的角为AC与所成的角，设AC与3。交于

M因为4G与所成的角为60。，所以NAMD=60或NAA/£>=120°

因为AC=2,所以当NAA/D=60时AO=1，当NAA〃)=120°时A£)=J3

因为3cl平行ADi,所以Ai。与BG所成的角为AQ与ADi所成的角，设4。与A*

交于N,因为44i=2,所以当AO=1时，

AN=DN=~,cos

2

3

从而4。与BG所成的角的余弦值为g,

因为A4i=2,所以当A0=G时,

2

]_

7

从而40与BG所成的角的余弦值为

7

三、解答题（共70分）

17.（2021•江苏“三诊一模”高考模拟）已知等差数列｛砺｝满足：04=7,aio=19,其前

n项和为S„.

（1）求数列｛〃“｝的通项公式及

1

（2）若b„=-----,求数列｛瓦｝的前n项和为T,,.

"M+i

a,+3d=1

【解析】（1）设等差数列｛4｝的首项为卬，公差为则《

[o,+9d=19

解得q=l,d=2,

a”=1+2（T?-1）=2〃—1"

+2

2一”

]=U-5______—

（2）bn=-----

（2〃-1）（2"+1）2\2/7-12n+1?

数列也｝的前〃项和为

18.（2021•辽宁大连一中高三模拟）在几何体PE4BCD中，直角梯

形ABCD中，ABLAD,AB//CD,且C£）=2AB=2A£）=2,且

EC//PD,EC=；PD.

试卷第10页，总17页

p

E

(1)求证：平面£BC_L平面PD5；

(2)若直线PB与平面POC所成角的正切值为走，求二面角A-PB-£的余弦值.

：PD_£面ABCD,P。J_BC,

在梯形ABC。中，过8作。交。C于，，二B”=l，

BD=\lDH2+BH2=y/T+l=y/2>BC=V2>A(^)2+(A/2)2=22,即

DB2+BC2=DC2>即5c_L£>3.

VBCLDB,PDcBD=£>，BC,平面PD3，

：BCu平面EBC平面E8CJ_平面PDB，

(2)连接PH，^”，面2/^^六/⑶e/为心与面2力0所成的角，

BH1

tan/BPH=PH=6,122

~PH~^2,/BH=1，,:PD+DH=PH,

Ph+1=2，•,•「£)=1，

以。为原点，分别以ZM,。。与P。为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系,

则mo,l),41,0,0),B(l,l,0),C(0,2,0),《0,2,g),可知

方=(1,1,一1),而=(0,1,0),

设平面P4B的法向量为i=(x,y,z),

PBa=Qx+y-z=0

可知，可取M=(1,0,1)，

ABa-0y=0

设平面PEB的法向量为b=（x,y,z）,诙=（一1,1,；

x-by-z=0

PBb^O

可知=>1八，可取5=(3,1,4),

,5=0-%+y+—z=0

2

ablx3+0xl+lx47713

可知两向量的夹角的余弦值为cos。=

Rll^rVTTTV32+l+42-26

由图可知二面角A—依一E为钝角，所以二面角A—依一E的余弦值为—Ml

26

19.（2021•广东东莞高三高考适应性测试）东莞的轻轨给市民出行带来了很大的方便,

越来越多的市民选择乘坐轻轨出行，很多市民都会开汽车到离家最近的轻轨站，将车停

放在轻轨站停车场，然后进站乘轻轨出行，这给轻轨站停车场带来很大的压力.某轻轨

站停车场为了解决这个问题，决定对机动车停车施行收费制度，收费标准如下:4小时

内（含4小时）每辆每次收费5元；超过4小时不超过6小时，每增加一小时收费增加3

元；超过6小时不超过8小时，每增加一小时收费增加4元，超过8小时至24小时内（含

24小时）收费30元；超过24小时，按前述标准重新计费.上述标准不足一小时的按一小

时计费.为了调查该停车场一天的收费情况，现统计1000辆车的停留时间（假设每辆车

一天内在该停车场仅停车一次），得到下面的频数分布表：

五小时）(0.4)(4,5](5,6](6,7)(7,8](8,24]

频数（车次）10010020020035050

以车辆在停车场停留时间位于各区间的频率代替车辆在停车场停留时间位于各区间的

概率.

（1）现在用分层抽样的方法从上面1000辆车中抽取了100辆车进行进一步深入调研，记

录并统计了停车时长与司机性别的2x2列联表:

男女合计

不超过6小时30

孙时以上20

合计100

完成上述列联表，并判断能否有90%的把握认为“停车是否超过6小时”与性别有关？

（2）⑴X表示某辆车一天之内（含一天）在该停车场停车一次所交费用，求X的概率分布列

及期望E（X、

（ii）现随机抽取该停车场内停放的3辆车，J表示3辆车中停车费用大于E（X）的车辆

试卷第12页，总17页

数，求P«22)的概率.

参考公式:&2=7----\7----------77----7»其中〃=Q+〃+C+d

(a+〃)(c+d)(Q+c)S+d)

KK空Ao)0.400.250.150.100.050.025

0.7801.3232.0722.7063.8415.024

【解析】⑴2x2列联表如下：

男女合计

不超过6小时103040

6小时以上204060

合计3070100

根据上表数据代入公式可得叱=1°°X(2°X30-10x40)2

0.794<2.706

30x70x60x4063

所以没有超过90%的把握认为“停车是否超过6小时”与性别有关：

(2)(i)由题意知，X的可能值为5,8,11,15,19,30,则

p(X=5)=—,P(X=8)=—,P(X=11)=1,P(X=15)=L

101055

71

p(X=19)=—,P(X=30)=—,

2020

所以X的分布列为

X5811151930

P(x)112]_71

1010552020

.­.£(X)=5x—+8x—+llxl+15x-+19x—+30x—=14.65,

v71010552020

1713

(ii)由题意得P(X>14.65)=-+—+—=

3

所以《〜5(3,g),

所以尸(肄2)=P(>2)+P(­)=*吗+(|)2=3*x|+急喂.

20.(2021•北京房山高三第二次模拟)已知抛物线d=2py(p>0)过点(2』).

(I)求抛物线的方程和焦点坐标；

(II)过点A(O,-4)的直线/与抛物线交于两点点"关于y轴的对称点为T,

试判断直线77V是否过定点，并加以证明.

【解析】(I)因为抛物线V=2py(p>0)过点P(2,l),所以2〃=4,

所以抛物线方程为4)，，焦点坐标为(0,1),

(II)设直线/的方程为丁=依-4,

y=Ax-4

由12/消y整理得f-4履+16=0，

IX=4)，

则A=16炉一64>0,即次1>2,

设M（菁,x）,N（w,y2）则T（F，%）,

且X]+々=4攵,X/2=16.

直线77V:y-y/&n（*-々），

X2+X1

y=———（x-x2）+y2,

x2+%

v221

/.y=--------（x—x7）d—,

4（X,+X2）-4-

x2-x}x2-x}x212

•••）=--------x-------------d-----

444-

x+丑工

y=

44

即丁=x+4,

4

所以，直线77V恒过定点(0,4).

21.(2021届河南省开封市高三二模)已知函数/(x)="e'+(x+l)sinx+cosx.

冗

(1)当4=1,xN—耳时，求/(X)的最小值；

⑵若函数,他)J(x)sinxcoss,一和回。,子，若函数g(x)的

导函数g'(x)存在零点，求实数。的取值范围.

【解析】(1)当。=1时，/(x)=xev+(x+l)sinx4-cosx,

试卷第14页，总17页

=(x+l)e'+sinx+(x+l)cosx-sinx=(x+l)(e"+cos，,

7171

当时，，>0，cosx>0,所以/+cosx>0.

当时，e、>l，|cosx|<l,所以e”+cosx>()，

71

所以当xN彳时，e*+cosx>().

2

故由/'(力之。，得尤之一1；由/''(x)<0,得一

所以/(x)的减区间为一/」)，单调递增区间为[T，”)，

所以/(x)的最小值为/(-l)=—；+cosl.

(2)由题意得，g(x)=oe*+sinx,xe-3,O)u[o,子

兀I/兀

函数g'(x)有零点，即/(1)=。/+85%=0在--,01lul0,—上有解,

设机(力=一等，sinx+cosx

则租'(X)

若加(x)20，则sinx+cosx20,即④.卜+：卜。廨得一%，"于，且"。；

若根(x)<0,则sinx+cosxvO,即夜sin(冗+<0,解得年<工〈才，

TT\I5jrI5jr/IT

所以〃？(x)在一10,—上是增函数，在(亍彳上是减函数.

J22

又-在e4>一1，

2

6三/Q_3H

所以一注e‘Ka<—l，或一l<a42J了,

22

0>(^2—

所以实数4的取值范围是L一524,-1)UI-l,2*e,

选做题

22.【选修4-4参数方程与极坐标】

（2021届西南名校联盟“333”高考备考诊断性