将军饮马系列-最值问题

将军饮马系列---最值问题“将军饮马”系列最值问题知识回顾：1.两点之间，线段最短。2.点到直线的距离，垂线段最短。3.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。4.A、B分别为同一圆心O半径不等的两个圆上的一点，R-r≤AB≤R+r当且仅当A、B、O三点共线时能取等号。知识讲解：古希腊亚里山大里亚城的学者海伦曾经解决过一个叫做“将军饮马”问题的难题。有一天，一位将军向海伦请教，如何在A地出发，到河边饮马，再到B地军营，使路线最短。海伦利用数学原理解决了这个问题，后来这个问题被称为“将军饮马”问题。海伦发现这是一个求折线最短的问题。根据公理：连接两点的所有线中，线段最短。如果B在河流的异侧，直接连接AB，AB与l的交点即为所求。如果A、B在河流的同侧，就要把折线变成直线再解。海伦解决这个问题时，利用对称点把折线问题转化成直线问题。现在人们把凡是用对称点来实现解题的思想方法叫做对称原理，即轴对称思想。轴对称有如下性质：把一个图形沿某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形。这条直线就是它的对称轴。如果一个图形能够与另一个图形重合，那么就是说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对称点。轴对称的两个图形有如下性质：①关于某条直线对称的两个图形是全等形；②对称轴是任何一对对应点所连线的垂直平分线；③两个图形关于某条直线对称，如果他们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上。线段垂直平分线的性质是：垂直平分线上点到线段两个端点的距离相等，到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。当已知条件出现了等腰三角形、角平分线、高，或者求几条折线段的最小值等情况，通常考虑作轴对称变换，以“补齐”图形，集中条件。所有的轴对称图形（角、线、等腰三角形、等边三角形、菱形、矩形、正方形、等腰梯形、圆、坐标轴）都可以用来考察“将军饮马”问题。这个问题考察的知识点包括“两点之间线段最短”、“垂线段最短”、“点关于线对称”和“线段的平移”。解决这个问题的总体思路是找到点关于线的对称点，实现从“折”到“直”的转化。最近两年，出现了“三折线”转“直”等变式问题，也被用来考查学生的能力。构建“对称模型”可以帮助实现转化。常见的模型包括：（1）求PA+PB的最小值。（2）求PA-PB的最小值或最大值。当点P在同一侧时，可以使用图1和图2，当点P在异侧时，可以使用图4、图5和图6。（3）求周长最短。（4）求“过河”最短距离。（5）求线段和的最小值。（6）在直角坐标系中的应用。同步练习：【例1】使用尺规作图，作出线段AB的垂直平分线和角COD的角平分线。【例2】已知点A在直线l的外面，点P在直线l上运动。探究是否存在一个定点B，使得当点P在直线l上运动时，点P与A、B两点的距离总是相等。如果存在，请作出定点B；如果不存在，请说明理由。【例3】在公路a的两旁有仓库A、B，需要建立一货物中转站M，使得到A、B两仓库的距离和最短。问中转站M应建在公路旁的哪个位置比较合理？【变式练习】在三角形ABC的边AC、BC上有两个定点M、N，求一点P在边AB上，使得三角形PMN的周长最短。【例4】在45度角AOB内，有点P，角内的两边上分别有点Q和R，求作Q、R，使得三角形PQR的周长最小。【例5】在角POQ内部有点M和N，同时满足角MOP等于角NOQ。在直线OP上取点A，使得AM和AN的距离和最小；在直线OQ上取点B，使得BM和BN的距离和最小。证明：AM+AN=BM+BN。【例6】在锐角AOB的内部有点M，在OB边上求作一点P，使得点P到点M的距离与点P到OA边的距离和最小。【例7】在直线l上，已知点A、B在同侧。求一点M使得|AM-BM|的最小值和最大值。【变式练习】在正方形ABCD中，AB=8，DM=2，M是DC上的一点，N是AC上的一点。求（1）DN+MN的最小值和最大值；（2）DN-MN的最小值和最大值。【例8】在三角形ABC中，D、E、F分别是BC、AC、AB边上的点（均不与点A、B、C重合），周长为p。请作出周长最小的三角形DEF。【习题1】在等腰直角三角形ABC中，CA=CB=3，E在BC上，且BE=2。在斜边AB上求一点P，使得PC+PE长度之和最小。【习题2】在菱形ABCD中，对角线分别长6和8，点M、N分别是AB、BC的中点。在对角线AC上求一点P，使得PM+PN的值最小。【习题3】在锐角三角形ABC中，AB=42，∠BAC=45度，平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点。求BM+MN的最小值。【习题4】已知直径为4的圆的直径CD，以及∠AOD的度数为60°，点B是CD的中点。在CD上找一点P，使得BP+AP的值最小，并求出BP+AP的最小值。【习题5】如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使得PD+PE的和最小。求这个最小值。【习题6】如图，在平面直角坐标系中，直线l是第一、三象限的角平分线。关于直线l的对称点A'的坐标为(2,-3)，请在图中分别标出点B(5,3)、点C(-2,5)关于直线l的对称点B'、C'并写出它们的坐标：B'(1,-7)、C'(-4,1)；根据