知识07 平面向量(含真题)-高考数学考前必备知识速记_第1页
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文档简介

专题七平面向量知识必备1.向量的有关概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量;向量的大小叫作向量的长度(或称模)平面向量是自由向量零向量长度为零的向量;其方向是任意的记作0单位向量长度为单位1的向量非零向量a的单位向量为±eq\f(a,|a|)平行向量如果表示两个向量的有向线段所在的直线平行或重合,则称这两个向量平行或共线0与任一向量平行或共线相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等,不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为02、向量的数乘运算及其几何意义(1)定义:实数λ与向量a的积是一个向量,这种运算叫向量的数乘,记作λa,它的长度与方向规定如下:①|λa|=|λ||a|;②当λ>0时,λa与a的方向相同;当λ<0时,λa与a的方向相反;当λ=0时,λa=0.(2)运算律:设λ,μ是两个实数,则①λ(μa)=(λμ)a;②(λ+μ)a=λa+μa;③λ(a+b)=λa+λb.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律:a+b=b+a.(2)结合律:(a+b)+c=a+(b+c).减法求两个向量差的运算三角形法则a-b=a+(-b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|=|λ||a|;(2)当λ>0时,λa的方向与a的方向相同;当λ<0时,λa的方向与a的方向相反;当λ=0时,λa=0λ(μa)=(λμ)a;(λ+μ)a=λa+μa;λ(a+b)=λa+λb4、向量共线的判定定理a是一个非零向量,若存在一个实数λ,使得b=λa,则向量b与非零向量a共线.5.平面向量基本定理如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2,其中不共线的向量e1,e2叫表示这一平面内所有向量的一组基底.6.平面向量的坐标表示(1)在平面直角坐标系中,分别取与x轴,y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底,a为坐标平面内的任意向量,以坐标原点O为起点作eq\o(OP,\s\up6(→))=a.由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数x,y,使得eq\o(OP,\s\up6(→))=xi+yj.因此a=xi+yj.我们把实数对(x,y)叫作向量a的坐标.记作a=(x,y).(2)设eq\o(OA,\s\up6(→))=xi+yj,则向量eq\o(OA,\s\up6(→))的坐标(x,y)就是终点A的坐标,即若eq\o(OA,\s\up6(→))=(x,y),则A点坐标为(x,y),反之亦成立.(O为坐标原点)7.平面向量坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2),λa=(λx1,λy1),|a|=eq\r(x\o\al(2,1)+y\o\al(2,1)).(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标.②设A(x1,y1),B(x2,y2),则eq\o(AB,\s\up6(→))=(x2-x1,y2-y1),|eq\o(AB,\s\up6(→))|=eq\r(x2-x12+y2-y12).8.平面向量共线的坐标表示设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,当且仅当x1y2-x2y1=0时,向量a,b共线.9.两个向量的夹角(1)已知两个非零向量a和b(如图),作eq\o(OA,\s\up6(→))=a,eq\o(OB,\s\up6(→))=b,则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a与b的夹角,当θ=0°时,a与b同向;当θ=180°时,a与b反向;如果a与b的夹角是90°,我们说a与b垂直,记作a⊥b.(2)规定:零向量可与任一向量垂直.10.两个向量的数量积的定义已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,则数量|a||b|cosθ叫作a与b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b=|a||b|cosθ,规定零向量与任一向量的数量积为0,即0·a=0.11.向量数量积的几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的数量积.12.向量数量积的性质设a、b都是非零向量,e是单位向量,θ为a与b(或e)的夹角.则(1)e·a=a·e=|a|cosθ;(2)a⊥b⇔a·b=0;(3)当a与b同向时,a·b=|a|·|b|;当a与b反向时,a·b=-|a||b|,特别的,a·a=|a|2或者|a|=eq\r(a·a);(4)cosθ=eq\f(a·b,|a||b|);(5)|a·b|≤|a||b|.13.向量数量积的运算律(1)a·b=b·a;(2)λa·b=λ(a·b)=a·(λb);(3)(a+b)·c=a·c+b·c.14.平面向量数量积的坐标运算设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),向量a与b的夹角为θ,则(1)a·b=x1x2+y1y2;(2)|a|=eq\r(x\o\al(2,1)+y\o\al(2,1));(3)cos〈a,b〉=eq\f(x1x2+y1y2,\r(x\o\al(2,1)+y\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)+y\o\al(2,2)));(4)a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2=0.15.若A(x1,y1),B(x2,y2),eq\o(AB,\s\up6(→))=a,则|a|=eq\r(x1-x22+y1-y22)(平面内两点间的距离公式).16.直线l的方向向量给定斜率为k的直线l,则向量m=(1,k)与直线l共线,我们把与直线l共线的向量m称为直线l的方向向量.真题再现1.【2020年高考全国Ⅱ卷文数】已知单位向量a,b的夹角为60°,则在下列向量中,与b垂直的是A.a+2b B.2a+b C.a–2b D.2a–b【答案】D【解析】由已知可得:.A:因为,所以本选项不符合题意;B:因为,所以本选项不符合题意;C:因为,所以本选项不符合题意;D:因为,所以本选项符合题意.故选:D.【点睛】本题考查了平面向量数量积的定义和运算性质,考查了两平面向量数量积为零则这两个平面向量互相垂直这一性质,考查了数学运算能力.2.【2020年高考全国Ⅲ卷文数】在平面内,A,B是两个定点,C是动点,若,则点C的轨迹为A.圆 B.椭圆 C.抛物线 D.直线【答案】A【解析】设,以AB中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系,则:,设,可得:,从而:,结合题意可得:,整理可得:,即点C的轨迹是以AB中点为圆心,为半径的圆.故选:A.【点睛】本题主要考查平面向量及其数量积的坐标运算,轨迹方程的求解等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3.【2020年新高考全国Ⅰ卷】已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点,则的取值范围是A. B.C. D.【答案】A【解析】如图,的模为2,根据正六边形的特征,可以得到在方向上的投影的取值范围是,结合向量数量积的定义式,可知等于模与在方向上的投影的乘积,所以的取值范围是,故选:A.【点睛】该题以正六边形为载体,考查有关平面向量数量积的取值范围,涉及到的知识点有向量数量积的定义式,属于简单题目.4.【2020年高考全国Ⅰ卷文数】设向量,若,则.【答案】5【解析】由可得,又因为,所以,即,故答案:5.【点睛】本题考查有关向量运算问题,涉及到的知识点有向量垂直的坐标表示,属于基础题目.5.【2020年高考天津】如图,在四边形中,,,且,则实数的值为_________,若是线段上的动点,且,则的最小值为_________.【答案】(1).(2).【解析】,,,,解得,以点为坐标原点,所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系,,∵,∴的坐标为,∵又∵,则,设,则(其中),,,,所以,当时,取得最小值.故答案为:;.【点睛】本题考查平面向量数量积的计算,考查平面向量数量积的定义与坐标运算,考查计算能力,属于中等题.6.【2020年高考北京】已知正方形的边长为2,点P满足,则_________;_________.【答案;【解析】以点为坐标原点,、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系,则点、、、,,则点,,,因此,,.故答案为:;.【点睛】本题考查平面向量的模和数量积的计算,建立平面直角坐标系,求出点的坐标是解答的关键,考查计算能力,属于基础题.7.【2020年高考浙江】已知平面单位向量,满足.设,,向量,的夹角为,则的最小值是_______.【答案】【解析】,,,.故答案为:.【点睛】本题考查利用模求向量数量积、利用向量数量积求向量夹角、利用函数单调性求最值,考查综合分析求解能力,属中档题.8.【2020年高考江苏】在△ABC中,D在边BC上,延长AD到P,

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