数量关系式是解决分数实际问题的一把“钥匙”

江苏南京市象山小学（210000）管景强［摘要］运用数量关系式，可以让我们找到解决分数实际问题的“钥匙”。那么，怎样才能准确找到解决分数实际问题的这把“钥匙”呢？通过案例分析，发现对分率的理解与分析是关键。因此，课堂教学中，教师要教会学生准确找出数量关系式的方法，提高学生解决分数实际问题的能力。［关键词］数量关系式分数实际问题解题能力［中图分类号］g623.5 ［文献标识码］a ［文章编号］1007-9068（2015）05-032典型的分数实际问题都隐含着基本的数量关系式，即“单位'1'的量X分率=分率所对应的数量”，用好这个数量关系式，能够让我们找到解决分数实际问题的“钥匙”。那么，怎样才能准确找到解决分数实际问题的这把“钥匙”呢？其中，对分率的理解与分析是关键。一、理解关系句中分数的意义，准确找出数量关系式现行教材已淡化分率这一概念，可在分数实际问题中，一般都含有用分数表示两个数量间倍比关系的句子（可称为关系句），而句中的分数也是分率。它表示的就是“单位'1'的量”“分率所对应的数量”这两个数量之间的倍比关系，即“分率所对应的数量”是“单位'1'的量”的几分之几。我们从关系句中的分率入手，明确谁是谁的几分之几，就能轻松找出分数实际问题中的基本数量关系式。1.标准句式关系句中可以明显看出谁是谁的几分之几。如“黑兔只数是白兔的2/3”，从中可以看出这里的2/3是把白兔的只数看作单位“1”，指的是黑兔只数是白兔只数的2/3；反过来说，白兔只数的2/3就是黑兔的只数。因此，此题的数量关系式就可以列为“白兔X2/3=黑兔”。2.省略句式关系句中隐含或省略了一些关键词语，这时就需要先补充完善关系句后再进行分析。如“同学们去植树，第一天植了2/5”，这里可以让学生先想想第一天植的是谁的2/5,待学生弄清“第一天植树的棵数是植树总棵数的2/5”后，自然就可以列出题中的数量关系式为“总棵数X2/5=第一天植的”。再如“用去一些后，还剩3/7”，这里可以让学生先想想谁是谁的3/7，因为有“用去一些后”这几个字的干扰，学生可能会出现两种观点：一是还剩的是原有的3/7；二是用去的是原有的3/7。接着，教师可引导学生进行对比分析，得出正确的数量关系式为“原有的X3/7=还剩的”。另外，“一个数量比另一个数量多几分之几或少几分之几”的问题，也是学生最容易混淆和出错的。如“红花的朵数比黄花多3/5”，实际上这句话补充完整应该是“红花比黄花多的朵数是黄花朵数的3/5”，要让学生理解这里的3/5是把黄花的朵数看作单位“1”，平均分成了5份，红花比黄花多的朵数是这样的3份（可以借助线段图理解），数量关系式也就可以列为“黄花X3/5=红花比黄花多的”。不过，需要注意的是，分数实际问题中有的分数并不表示数量间的倍比关系，而是用分数表示具体数量。3.区别分数表示的是分率还是具体数量如有这样一道题:“有两根彩带，第一根3米，第二根比第一根长1/4米，第二根长多少米？”有学生算出的结果是3・米或3.75米，怎么得来的呢？实际上，学生是把这里的“长1/4米”当作“长1/4”来计算了，这里的“1/4米”是指具体数量而不是分率。区别分数表示的是分率还是具体数量有一个简单的办法，就是看分数后面有没有单位名称，没有单位名称的话就是分率，表示的是数量间的关系；有单位名称的话，就表示具体数量。如果教学仅到此就止步，会发现学生遇到这样的问题时还会犯类似的错误，因此我们应该让学生弄清“1/4”与“1/4米”之间的本质不同。在教学中，我们可以经常进行这样的练习：“两根同样长的钢管，第一根用去2/5米，第二根用去2/5。哪一根用去的长一些？”（苏教国标版小学数学六年级上册第51页的思考题）像这样的问题，答案不是唯一的。通过讨论，教师要让学生清楚“用去2/5米”中的“2/5米”是把“1米”看作单位“1”平均分成5份，表示其中的2份，化成小数可以是0.4米，用分米作单位是4分米，用厘米作单位就是40厘米，这是一个具体的、确定的、实实在在的长度，所以是个具体的数量。而“用去2/5”中的“2/5”是把一根钢管看作单位“1”，“2/5”是针对这根钢管而言的，表示的是用去的长度与这根钢管长度这两个数量间的倍比关系，因为钢管的长度是未知的，所以这根钢管的2/5也是未知的，从而得到三种不同的结果：当这根钢管的长度大于1米时，用去的长度就大于1米的2/5,即大于2/5米；当这根钢管的长度等于1米时，用去的长度就等于1米的2/5,即等于2/5米；当这根钢管的长度小于1米时，用去的长度就小于1米的2/5,即小于2/5米。学生产生这种不确定性的原因是不理解“2/5米”与“2/5”之间的差异，当学生有了深刻的认识后自然会认识到单位名称的重要性，进而从本质上理解了分数后面带不带单位名称的区别，正确分析出问题中数量间的关系。4.找出隐含的数量关系式从关系句中的分率入手，明确谁是谁的几分之几，可以找出分数实际问题的基本数量关系式。实际上，结合关系句中的已知信息，通过数学联想，还可以找出题中隐含的信息，从而找出隐含的数量关系式。如看到“一根绳子，用去1/3”时，可以想到“这根绳子还剩1—1/3”，就能得到数量关系式“一根绳子XC1—1/3）=还剩的”；看到“公鸡的只数占鸡总数的2/5”时，可以想到“母鸡只数占鸡总数的1—2/5”，从而得到数量关系式“鸡总数X（1—2/5）=母鸡只数”;看到“现价比原价便宜1/3”，可以想到“现价应该是原价的1—1/3”，得到数量关系式“原价X（1—1/3）=现价”；看到“一堆煤，第一天用去1/7,第二天用去2/5”，可以想到“还剩的”是这堆煤的1—1/7—2/5,可以得到数量关系式“一堆煤X（1—1/7—2/5）=还剩的”……学生分析关系句时往往通过关键词，如“用去”“便宜”“还剩”等，进行数学联想找出题中隐含的数量关系式。这里，教师要注意引导学生，如果感到解决问题有困难，可以通过画线段图的方法，寻找数量与分率间的对应关系来确定题中的数量关系式。如上面例中看到“一根绳子，用去1/3”“现价比原价便宜1/3”等，就可以通过画线段图来找出分率与数量的对应关系。如下图：从图中可以明显看出，“用去的长度”对应的分率是1/3,“还剩的长度”对应的分率是1—1/3,从而得到隐含的数量关系式为“一根绳子X（1—1/3）=还剩的”；“现价比原价便宜的”对应的分率是1/3，“现价”对应的分率是1—1/3，从而得到隐含的数量关系式为“原价X（1—1/3）=现价”。二、运用数量关系式，解决分数实际问题例1.世界上最小的洲是大洋洲，面积大约900万平方千米。（1）欧洲的面积是大洋洲的10/9,是北美洲的5/12。（2）北美洲的面积是亚洲的6/11,是南极洲的12/7。（3）南美洲的面积是北美洲的3/4,是非洲的3/5。分别算出各个洲的面积。（苏教国标版小学数学六年级上册第65页第12题）本题是“求一个数的几分之几是多少”与“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”这两种分数实际问题的混合运用，题目中条件多，数量间的关系复杂，到底是用分数乘法计算，还是用分数除法或方程计算，学生往往分辨不清。这时，理清各数量间的关系，通过列出数量关系式来分析问题就能取得很好的效果。为了节省时间，提高教学效率，列数量关系式时，教师可以要求学生简写数量关系式，已知量可以标出在关系式下方，未知量可以用“？”表示。如下：（1）欧洲的面积是大洋洲的10/9,是北美洲的5/12。大洋洲X10/9=欧洲北美洲X5/12=欧洲900??1000（欧洲：900X10/9=1000）（北美洲：1000^5/12=2400,或列方程解）（2）北美洲的面积是亚洲的6/11,是南极洲的12/7。亚洲X6/11=北美洲南极洲X12/7=北美洲？2400?2400（亚洲：2400^6/11=4400,或列方程解）（南极洲：2400-12/7=1400,或列方程解）（3）南美洲的面积是北美洲的3/是非洲的3/5。北美洲X3/4=南美洲非洲X3/5=南美洲2400??1800（南美洲：2400X3/4=1800）（非洲：1800-3/5=3000,或列方程解）对列出的数量关系式进行分析后，可使复杂的数量关系明朗化，解决问题的思路和方法也就明确了。例2.光明畜牧场养了900头肉牛。（1）肉牛比奶牛少1/奶牛有多少头？（2）奶牛比肉牛多1/4,奶牛有多少头？本题是稍复杂的分数实际问题，通过关系句，我们可以列出基本数量关系式来分析。如下：（1）奶牛XI/5=肉牛比奶牛少的（2）肉牛XI/4=奶牛比肉牛多的？？900?对于第（2）题，很明显可以先求出奶牛比肉牛多的头数，再加上900就可以求出奶牛的头数。而对于第（1）题，列出的数量关系式中奶牛头数与肉牛比奶牛少的头数都是未知的，这样就没法算出奶牛的头数。这时，通过关系句“肉牛比奶牛少1/5”还能想到：把奶牛的头数看作单位“1”，肉牛比奶牛少的头数是奶牛头数的1/5,那么肉牛头数就应该是奶牛头数的1—1/5,可以找出隐含的数量关系式“奶牛X（1—1/5）=肉牛”。同理，第（2）题也能找出类似形式的隐含数量关系式（如下）。（1）奶牛X（1—1/5）=肉牛（2）肉牛X（1+1/4）=奶牛？900900?从中可以发现，通过上面的数量关系式可以很容易算出所求的问题。例3.商店运来一批水果，第一天卖出9/20，第二天卖出105千克，还剩全部水果的3/8,这批水果共有多少千克？通过关系句，可以列出如下的基本数量关系式。一批水果X9/20=第一天卖的一批水果X3/8=还剩的？？？？本题运用上面的基本数量关系式解决不了所求问题，那么可以找隐含的数量关系式来分析解决问题。先画出线段图，如下。从图中可以看出，“第二天卖出的105千克苹果”对应的分率应该是这批水果的（1—9/20—3/8），可以通过数量关系式来解决本问题，列式为105：（1—9/20—