【高中数学】基本不等式课件 2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第2章

一元二次函数、方程和不等式2.2基本不等式

我们知道，乘法公式在代数式的运算中有重要作用，那么，是否也有一些不等式，它们在解决不等式问题时有着与乘法公式类似的重要作用呢？下面就来研究这个问题．【素养目标】1．了解基本不等式的代数和几何背景．(数学抽象)2．理解并掌握基本不等式及其变形．(逻辑推理)3．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．(数学运算)4．会用基本不等式进行代数式大小的比较及证明不等式．(逻辑推理)5．会用基本不等式求最值问题和解决简单的实际问题．(数学运算)

两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．问题1：基本不等式及其推导

由重要不等式可得：

问题1：基本不等式及其推导问题1：基本不等式及其推导【证法二】当然我们也可以利用分析法：把这个过程倒过来，就是证明的过程.

综合法

基本不等式链

问题1：基本不等式及其推导

ABDCE

问题2：基本不等式的几何意义【例1】

一正：各项必须为正二定：各项之和或各

项之积为定值三相等：必须验证取等号

时的条件十分具备问题3：利用基本不等式求最值思考问题3：利用基本不等式求最值

问题4：最值定理及其应用

问题4：最值定理及其应用

【证明】

【例题】(1)用篱笆围成一个面积为100平方米的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用的篱笆最少，最短长度是多少？

问题5：基本不等式的实际应用【例题】(2)用一段长为36米的铁丝网围成一个矩形菜园，当这个矩形的长和宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？

问题5：基本不等式的实际应用【例题】（3）某工厂要建造一个长方体形状的无盖蓄水池，其容积为4800立方米，深为3米.如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么怎样设计水池才能使总造价最低？最低造价是多少？

问题5：基本不等式的实际应用练习4：已知直角三角形的面积为50，当两条直角边的长度各为多少时，

两条直角边的和最小？最小值是多少？.

练习（第48页）1．用20cm长的铁丝折成一个面积最大的矩形，应当怎样折？因为周长等于20，所以所以当且仅当a=b=5时取等号。答：当矩形的长与宽均为5cm时，面积最大。最大值为25cm2.2．用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m．当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？3．做一个体积为32m3，高为2m的长方体纸盒，当底面的边长取什么值时，用纸最少？解：设底面的长与宽分别为am,bm.a>0,b>0,因为体积等于32m3,高2m,所以底面积为16m2,即：所以用纸面积是当且仅当a=b=4时取等号。答：当底面的长与宽均为4m时，用纸最少。4．已知一个矩形的周长为36cm？矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱．当矩形的边长为多少时，旋转形成的圆柱的侧面积最大？当矩形的长和宽分别为9时，圆柱的侧面积最大。习题2.2（第48页）2．（1）把36写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？答：当这两个正数均为6时，它们的和最小。2．（2）把18写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？答：当这两个正数均为96时，它们的积最大。3．某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为48m2，房屋正面每平方米的造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元．如果墙高为3m，且不计屋脊面和地面的费用，那么怎样设计房屋使总造价最低？最低总造价是多少？当3600y=4800x,即x=6,y=8时，z有最小值，最低造价为63400元。6．一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费y1（单位：元）与仓库到车站的距离x（单位：km）成反比，每月库存货物费用y2（单位：元）与x成正比；若在距离车站10km处建仓库，则y1和y2分别为2万元和8万元．这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小？所以仓库应建在距离车站5km处，才能使两项费用之和最小，最小费用为8万元．7．一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买10g黄金，售货员先将5g的砝码放在天平左盘中，取出一些