第三章材料力学扭转

第三章材料力学扭转第1页，课件共69页，创作于2023年2月§3–1概述§3–2传动轴的外力偶矩·扭矩及扭矩图§3–3薄壁圆筒的扭转§3–4等直圆杆在扭转时的应力·强度分析§3–5等直圆杆在扭转时的变形·刚度条件§3–6等直圆杆的扭转超静定问题§3–7等直圆杆在扭转时的应变能§3–8非圆截面等直杆在自由扭转时的应力和变形§3–9开口和闭合薄壁截面在自由扭转时的应力第三章扭转作业第2页，课件共69页，创作于2023年2月扭转§3–1概述轴：工程中以扭转为主要变形的构件。如：机器中的传动轴、石油钻机中的钻杆等。扭转：外力的合力为一力偶，且力偶的作用面与直杆的轴线垂直，杆发生的变形为扭转变形。ABOmm

OBA

第3页，课件共69页，创作于2023年2月扭转扭转角（

）：任意两截面绕轴线转动而发生的角位移。剪应变（

）：直角的改变量。mm

OBA

第4页，课件共69页，创作于2023年2月扭转工程实例第5页，课件共69页，创作于2023年2月扭转§3–2传动轴的外力偶矩·扭矩及扭矩图一、传动轴的外力偶矩

传递轴的传递功率、转速与外力偶矩的关系：其中：P—功率，千瓦（kW）n—转速，转/分（rpm）其中：P—功率，马力（PS）n—转速，转/分（rpm）其中：P—功率，马力（HP）n—转速，转/分（rpm）1PS=735.5N·m/s,1HP=745.7N·m/s,1kW=1.36PS第6页，课件共69页，创作于2023年2月3扭矩的符号规定：“T”的转向与截面外法线方向满足右手螺旋规则为正，反之为负。扭转二、扭矩及扭矩图1扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“T”。

2截面法求扭矩mmmTx第7页，课件共69页，创作于2023年2月扭转4扭矩图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。目的①扭矩变化规律；②|T|max值及其截面位置强度计算（危险截面）。xT

第8页，课件共69页，创作于2023年2月扭转[例1]已知：一传动轴，n=300r/min，主动轮输入P1=500kW，从动轮输出P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩图。nABCDm2

m3

m1

m4解：①计算外力偶矩第9页，课件共69页，创作于2023年2月扭转nABCDm2

m3

m1

m4112233②求扭矩（扭矩按正方向设）第10页，课件共69页，创作于2023年2月扭转③绘制扭矩图BC段为危险截面。xTnABCDm2

m3

m1

m44.789.566.37

––第11页，课件共69页，创作于2023年2月扭转§3–3薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒：壁厚（r0：为平均半径）一、实验：1.实验前：①绘纵向线，圆周线；②施加一对外力偶m。第12页，课件共69页，创作于2023年2月扭转2.实验后：①圆周线不变；②纵向线变成斜直线。3.结论：①圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改变，只是绕轴线作了相对转动。

②各纵向线均倾斜了同一微小角度

。

③所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。第13页，课件共69页，创作于2023年2月扭转

acddxbdy´´

①无正应力②横截面上各点处，只产生垂直于半径的均匀分布的剪应力

，沿周向大小不变，方向与该截面的扭矩方向一致。4.

与的关系：

微小矩形单元体如图所示：第14页，课件共69页，创作于2023年2月扭转二、薄壁圆筒剪应力

大小：

A0：平均半径所作圆的面积。第15页，课件共69页，创作于2023年2月扭转三、剪应力互等定理：

上式称为剪应力互等定理。该定理表明：在单元体相互垂直的两个平面上，剪应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向则共同指向或共同背离该交线。acddxb

dy´´tz

第16页，课件共69页，创作于2023年2月扭转四、剪切虎克定律：

单元体的四个侧面上只有剪应力而无正应力作用，这种应力状态称为纯剪切应力状态。第17页，课件共69页，创作于2023年2月扭转

T=m

剪切虎克定律：当剪应力不超过材料的剪切比例极限时（τ≤τp)，剪应力与剪应变成正比关系。第18页，课件共69页，创作于2023年2月五、剪切变形能由纯剪切单元体：扭转第19页，课件共69页，创作于2023年2月扭转式中：G是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，因

无量纲，故G的量纲与

相同，不同材料的G值可通过实验确定，钢材的G值约为80GPa。剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系（推导详见后面章节）：可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量就可以推算出来。第20页，课件共69页，创作于2023年2月五、剪切变形能由纯剪切单元体，有第21页，课件共69页，创作于2023年2月扭转§3–4等直圆杆在扭转时的应力·强度条件等直圆杆横截面应力①变形几何方面②物理关系方面③静力学方面1.横截面变形后仍为平面；2.轴向无伸缩；3.纵向线变形后仍为平行。一、等直圆杆扭转实验观察：第22页，课件共69页，创作于2023年2月第23页，课件共69页，创作于2023年2月扭转二、等直圆杆扭转时横截面上的应力：1.变形几何关系：距圆心为

任一点处的

与到圆心的距离

成正比。——扭转角沿长度方向变化率。第24页，课件共69页，创作于2023年2月扭转Ttmaxtmax2.物理关系：虎克定律：代入上式得：第25页，课件共69页，创作于2023年2月扭转3.静力学关系：TOdA

令代入物理关系式得：第26页，课件共69页，创作于2023年2月扭转—横截面上距圆心为

处任一点剪应力计算公式。4.公式讨论：①仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面直杆。②式中：T—横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。

—该点到圆心的距离。

Ip—极惯性矩，纯几何量，无物理意义。第27页，课件共69页，创作于2023年2月扭转单位：mm4，m4。③尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，只是Ip值不同。对于实心圆截面：D

d

O第28页，课件共69页，创作于2023年2月扭转对于空心圆截面：dDO

d

第29页，课件共69页，创作于2023年2月扭转④应力分布TtmaxtmaxtmaxtmaxT（实心截面）（空心截面）工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻，结构轻便，应用广泛。第30页，课件共69页，创作于2023年2月扭转⑤确定最大剪应力：由知：当Wt—抗扭截面系数（抗扭截面模量），几何量，单位：mm3或m3。对于实心圆截面：对于空心圆截面：第31页，课件共69页，创作于2023年2月扭转三、等直圆杆扭转时斜截面上的应力低碳钢试件：沿横截面断开。铸铁试件：沿与轴线约成45

的螺旋线断开。因此还需要研究斜截面上的应力。第32页，课件共69页，创作于2023年2月扭转1.点M的应力单元体如图(b)：(a)M(b)tt´tt´(c)2.斜截面上的应力；取分离体如图(d)：(d)

t´t

tasax第33页，课件共69页，创作于2023年2月扭转(d)

t´t

tasaxnt转角规定：轴正向转至截面外法线逆时针：为“+”顺时针：为“–”由平衡方程：解得：第34页，课件共69页，创作于2023年2月扭转分析：当

=0°时，当

=45°时，当

=–45°时，当

=90°时，tt´smaxsmin45°由此可见：圆轴扭转时，在横截面和纵截面上的剪应力为最大值；在方向角

=

45

的斜截面上作用有最大压应力和最大拉应力。根据这一结论，就可解释前述的破坏现象。第35页，课件共69页，创作于2023年2月扭转四、圆轴扭转时的强度计算强度条件：对于等截面圆轴：([

]

称为许用剪应力。)强度计算三方面：①校核强度：②设计截面尺寸：③计算许可载荷：第36页，课件共69页，创作于2023年2月扭转[例2]功率为150kW，转速为15.4转/秒的电动机转子轴如图，

许用剪应力[

]=30MPa,试校核其强度。Tm解：①求扭矩及扭矩图②计算并校核剪应力强度③此轴满足强度要求。D3

=135D2=75D1=70ABCmmx第37页，课件共69页，创作于2023年2月扭转§3–5等直圆杆在扭转时的变形·刚度条件一、扭转时的变形由公式知：长为

l一段杆两截面间相对扭转角

为第38页，课件共69页，创作于2023年2月扭转二、单位扭转角

：或三、刚度条件或GIp反映了截面抵抗扭转变形的能力，称为截面的抗扭刚度。[

]称为许用单位扭转角。第39页，课件共69页，创作于2023年2月扭转刚度计算的三方面：①校核刚度：②设计截面尺寸：③计算许可载荷：有时，还可依据此条件进行选材。第40页，课件共69页，创作于2023年2月扭转[例3]长为L=2m的圆杆受均布力偶m=20Nm/m的作用，如图，若杆的内外径之比为

=0.8，G=80GPa，许用剪应力[

]=30MPa，试设计杆的外径；若[

]=2º/m，试校核此杆的刚度，并求右端面转角。解：①设计杆的外径第41页，课件共69页，创作于2023年2月扭转40NmxT代入数值得：D

0.0226m。②由扭转刚度条件校核刚度第42页，课件共69页，创作于2023年2月扭转40NmxT③右端面转角为：第43页，课件共69页，创作于2023年2月[例4]某传动轴设计要求转速n=500r/min，输入功率N1=500马力，输出功率分别N2=200马力及N3=300马力，已知：G=80GPa，[

]=70MPa，[

]=1º/m，试确定：①AB段直径d1和BC段直径d2？②若全轴选同一直径，应为多少？③主动轮与从动轮如何安排合理？扭转解：①图示状态下,扭矩如图，由强度条件得：

500400N1N3N2ACBTx–7.024–4.21(kNm)第44页，课件共69页，创作于2023年2月扭转由刚度条件得：500400N1N3N2ACBTx–7.024–4.21(kNm)第45页，课件共69页，创作于2023年2月扭转

综上：②全轴选同一直径时第46页，课件共69页，创作于2023年2月扭转

③轴上的绝对值最大的扭矩越小越合理，所以，1轮和2轮应

该换位。换位后,轴的扭矩如图所示,此时,轴的最大直径才

为75mm。Tx–4.21(kNm)2.814第47页，课件共69页，创作于2023年2月扭转§3–6等直圆杆的扭转超静定问题解决扭转超静定问题的方法步骤：平衡方程；几何方程——变形协调方程；补充方程：由几何方程和物理方程得；物理方程；解由平衡方程和补充方程组成的方程组。①②③④⑤第48页，课件共69页，创作于2023年2月扭转[例5]长为L=2m的圆杆受均布力偶m=20Nm/m的作用，如图，若杆的内外径之比为

=0.8，外径D=0.0226m，G=80GPa，试求固端反力偶。解：①杆的受力图如图示，

这是一次超静定问题。

平衡方程为：第49页，课件共69页，创作于2023年2月扭转②几何方程——变形协调方程③综合物理方程与几何方程，得补充方程：④由平衡方程和补充方程得：另:此题可由对称性直接求得结果。第50页，课件共69页，创作于2023年2月扭转§3–7等直圆杆在扭转时的应变能一、应变能与能密度acddxb

dy´´dzz

xy单元体微功：应变比能：第51页，课件共69页，创作于2023年2月扭转二、圆柱形密圈螺旋弹簧的计算1.应力的计算=+tQtTQT近似值：QTP第52页，课件共69页，创作于2023年2月扭转2.弹簧丝的强度条件:精确值：（修正公式，考虑弹簧曲率及剪力的影响）其中：称为弹簧指数。称为曲度系数。第53页，课件共69页，创作于2023年2月扭转3.位移的计算(能量法）外力功：变形能：第54页，课件共69页，创作于2023年2月扭转[例6]圆柱形密圈螺旋弹簧的平均直径为：D=125mm，簧丝直径为：d=18mm，受拉力P=500N的作用，试求最大剪应力的近似值和精确值；若G=82GPa，欲使弹簧变形等于6mm，问：弹簧至少应有几圈？解：①最大剪应力的近似值：第55页，课件共69页，创作于2023年2月扭转②最大剪应力的精确值：③弹簧圈数：（圈）第56页，课件共69页，创作于2023年2月扭转§3–8非圆截面等直杆在自由扭转时的应力和变形非圆截面等直杆：平面假设不成立。即各截面发生翘曲不保持平面。因此，由等直圆杆扭转时推出的应力、变形公式不适用，须由弹性力学方法求解。第57页，课件共69页，创作于2023年2月扭转一、自由扭转：杆件扭转时，横截面的翘曲不受限制，任意两相邻截面的翘曲程度完全相同。二、约束扭转：杆件扭转时，横截面的翘曲受到限制，相邻截面的翘曲程度不同。三、矩形杆横截面上的剪应力:

h³bht1T

t

max注意！b1.剪应力分布如图：（角点、形心、长短边中点）第58页，课件共69页，创作于2023年2月扭转2.最大剪应力及单位扭转角h³bht1T

t

max注意！b其中：其中：It—相当极惯性矩。第59页，课件共69页，创作于2023年2月扭转注意！对于Wt

和It，多数教材与手册上有如下定义：查表求

和

时一定要注意，表中

和

与那套公式对应。h³bht1T

t

max注意！b第60页，课件共69页，创作于2023年2月扭转[例8]一矩形截面等直钢杆，其横截面尺寸为：h=100mm，