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第六章:离散系统的z域分析Chapter6本章要点FFF

Z变换Z变换的性质反Z变换Z域分析F

与连续系统类似,离散系统也可用变换域法进行分析。差分方程Z变换代数方程6.1Z变换一Z变换的定义

1、由抽样信号的拉氏变换引出z变换定义。6.1Z变换令z=esT,上式为复变量z的函数,用F(z)表示;f(kT)→f(k)

,得称为序列f(k)的双边z变换称为序列f(k)的单边z变换两边取双边拉普拉斯变换,得通常记为或6.1Z变换若f(k)为因果序列,则单边、双边z变换相等,否则不等。6.1Z变换

z变换定义为一无穷幂级数之和,显然当该幂级数收敛,即z变换才存在。上式称为绝对可和条件,序列f(k)的z变换存在的充分必要条件。例1求以下有限序列的z变换↓k=0

(1)f1(k)=(k)(2)f2(k)={1,2,3,2,1}解(1)其单边、双边z变换相等。与z无关,所以其收敛域为整个z平面。(2)f2(k)的双边z变换为

F2(z)=z2+2z+3+2z-1+z-2

收敛域为0<

z

<∞

f2

(k)的单边z变换为收敛域为

z

>0

对有限序列的z变换的收敛域一般为0<

z

<∞,有时它在0或/和∞也收敛。

6.1Z变换例2求因果序列的z变换(式中a为常数)。解:代入定义可见,仅当az-1<1,即

z>a时,其z变换存在。收敛域为|z|>|a|6.1Z变换例3求反因果序列的z变换。解可见,b-1z<1,即z<b时,其z变换存在,收敛域为|z|<|b|6.1Z变换例4双边序列f(k)=fy(k)+ff(k)=解的z变换。可见,其收敛域为a<z<b(显然要求a<b,否则无共同收敛域)6.1Z变换序列的收敛域大致有以下几种情况:(1)对有限长序列,其双边z变换的收敛域在整个平面;(2)对因果序列,其z变换的收敛域为某个圆外区域;(3)对反因果序列,其z变换的收敛域为某个圆内区域;(4)对双边序列,其z变换的收敛域为环状区域;注意:(1)对双边z变换必须标明收敛域,否则其对应的原序列将不唯一。例f1(k)=2k(k)←→F1(z)=,z>2f2(k)=–2k(–k–1)←→F2(z)=,z<2(2)对单边z变换,其收敛域比较简单,一定是某个圆以外的区域。可以省略。6.1Z变换6543

21z平面1收敛域序号常用序列的Z变换–(–k–1)–bk(–k–1)6.1Z变换一、线性6.2z变换的性质本节讨论z变换的性质,若无特殊说明,它既适用于单边也适用于双边z变换。若f1(k)←→F1(z)1<z<1,

f2(k)←→F2(k)2<z<2对任意常数a1、a2,则

a1f1(k)+a2f2(k)←→a1F1(z)+a2F2(z)其收敛域至少是F1(z)

与F2(z)收敛域的相交部分。6.2Z变换的性质例1:2(k)+3(k)←→,z>1二、移位(移序)特性单边、双边差别大!双边z变换的移位:

若f(k)←→F(z),<z<,且对整数m>0,则f(km)←→zmF(z),<z<证明:Z[f(k+m)]=

6.2Z变换的性质单边z变换的右移位:

若f(k)←→F(z),|z|>,且有整数m>0,则f(k-1)←→z-1F(z)+f(-1)f(k-2)←→z-2F(z)+f(-2)+f(-1)z-1

6.2Z变换的性质证明:Z[f(k–m)]=

上式第二项令k–m=nf(k+1)←→zF(z)–f(0)zf(k+2)←→z2F(z)–f(0)z2–f(1)z特例:若f(k)为因果序列,则

f(k–m)←→z-mF(z)6.2Z变换的性质单边z变换的左移位:

若f(k)←→F(z),|z|>,且有整数m>0,则例3:求周期为N的有始周期性单位序列的z变换。解:

z>16.2Z变换的性质根据移位性质得由线性性质得例4:求f(k)=kε(k)的单边z变换F(z).(法一)解f(k+1)=(k+1)ε(k+1)=(k+1)ε(k)=f(k)+ε(k)对上式两端分别取Z变换,根据移位性质得

zF(z)–zf(0)=F(z)+F(z)=6.2Z变换的性质6.2Z变换的性质根据移位性质得

由线性性质得三、序列乘ak(z域尺度变换)若f(k)←→F(z),<z<

且有常数a0,则akf(k)←→F(z/a),a<z<a

证明:Z[akf(k)]=

6.2Z变换的性质6.2Z变换的性质根据尺度变换性质得

四、卷积定理若f1(k)←→F1(z)1<z<1,f2(k)←→F2(z)2<z<2

则f1(k)*f2(k)←→F1(z)F2(z)对单边z变换,要求f1(k)、f2(k)为因果序列其收敛域一般为F1(z)与F2(z)收敛域的相交部分。6.2Z变换的性质6.2Z变换的性质解:故又(法二)五、序列乘k(z域微分)若f(k)←→F(z),<z<则,<z<6.2Z变换的性质例9:求f(k)=kε(k)的z变换F(z).(法三)解:6.2Z变换的性质六、序列除(k+m)(z域积分)若f(k)←→F(z),<z<,设有整数m,且k+m>0,则,<z<若m=0,且k>0,则6.2Z变换的性质例10:求序列的z变换。解6.2Z变换的性质七、k域反转(仅适用双边z变换)若f(k)←→F(z),<z<则f(–k)←→F(z-1),1/<z<1/

6.2Z变换的性质证明:根据Z变换的定义,令n=-kZ[f(-k)]=

例11:已知

,|z|>a求a–k(–k–1)的z变换。解,|z|>a,|z|<1/a由线性性质得,|z|<1/a6.2Z变换的性质6.3逆z变换一般而言,双边序列f(k)可分解为因果序列f1(k)和反因果序列f2(k)两部分,即

f(k)=f2(k)+f1(k)=f(k)(–k–1)+f(k)(k)相应地,其z变换也分为两部分F(z)=F2(z)+F1(z),<|z|<其中F1(z)=Z[f(k)(k)]=,|z|>

F2(z)=Z[f(k)(–k–1)]=,|z|<当已知象函数F(z)时,根据收敛域由F(z)求得F1(z)和F2(z),并分别求得原序列f1(k)和f2(k),将两者相加得原序列f(k)。部分分式展开法式中m≤n(1)F(z)均为单极点,且不为0可展开为:根据收敛域,将F(z)划分为F1(z)(

z

>

)和F2(z)(

z

<

)两部分,根据已知的变换对,求得原序列。6.3逆z变换例1:已知象函数其收敛域分别为:(1)

z

>2(2)

z

<1(3)1<

z

<2解部分分式展开为

(1)当

z

>2,故f(k)为因果序列(2)当

z

<1,故f(k)为反因果序列(3)当1<

z

<2,6.3逆z变换例2:已知象函数,1<

z

<2的逆z变换。解:部分分式展开为

由收敛域可知,上式前两项的收敛域满足

z

>1,后两项满足

z

<2。6.3逆z变换(2)F(z)有共轭单极点

如z1,2=cjd=ej,则令K1=K1ej

若z>,f(k)=2K1

kcos(k+)(k)若z<,f(k)=–2K1

kcos(k+)(–k–1)6.3逆z变换(3)F(z)有重极点F(z)展开式中含项(r>1),则逆变换为若z>,对应原序列为6.3逆z变换以

z

>

为例:当r=2时,为kak-1

(k)当r=3时,为可这样推导记忆:Z[ak

(k)]=两边对a求导得Z[kak-1

(k)]=

再对a求导得Z[k(k-1)ak-2

(k)]=故Z[0.5k(k-1)ak-2

(k)]=6.3逆z变换例3:已知象函数,z

>1的原函数。解f(k)=[k(k-1)+3k+1]

(k)6.3逆z变换6.4z域分析

一、差分方程的变换解设f(k)在k=0时接入,系统初始状态为y(-1),y(-2),…y(-n)。取单边z变换得6.4z域分析

A(z)-M(z)B(z)Yzi(z)Yzs(z)A(z)、B(z)的系数仅与差分方程的系数有关。M(z)的系数与an-i和初始状态有关,而与激励无关。例1:若某系统的差分方程为y(k)–y(k–1)–2y(k–2)=f(k)+2f(k–2)y(–1)=2,y(–2)=–1/2,f(k)=(k)。求系统的yzi(k)、yzs(k)、y(k)。解方程取单边z变换6.4z域分析

Y(z)-[z-1Y(z)+y(-1)]-2[z-2Y(z)+y(-2)+y(-1)z-1]=F(z)+2z-2F(z)例2:某系统,已知当输入f(k)=(–1/2)k(k)时,其零状态响应求系统的单位序列响应h(k)和描述系统的差分方程。解h(k)=[3(1/2)k–2(–1/3)k](k)令称为系统函数h(k)←→H(z)二、系统函数6.4z域分析

三、系统的z域框图另外两个基本单元:数乘器和加法器,k域和z域框图相同。6.4z域分析

例3:某系统的k域框图如图,已知输入f(k)=(k)。求系统的单位序列响应h(k)和零状态响应yzs(k)。若y(-1)=0,y(-2)=0.5

,求零输入响应yzi(k)解:(1)画z域框图z-1z-1F(z)Yzs(z)设中间变量X(z)X(z)z-1X(z)z-2X(z)X(z)=3z-1X(z)–2z-2X(z)+F(z)6.4z域分析

h(k)=[2–(2)k](k)当f(k)=(k)时,F(z)=z/(z-1)yzs(k)=[2k+3

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