2021年中考数学模拟试卷附答案解析 (十二)

2021年中考数学模拟试卷

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

1.（3分）-2020的绝对值是（）

A.-2020B.2020C.--1-D.-1—

20202020

2.（3分）华为Mare20手机搭载了全球首款7纳米制程芯片，7纳米就是0.000000007米.数

据0.000000007用科学记数法表示为（）

A.7X10-7B.0.7X10-8C.7X10-8D.7X10"

3.（3分）窗根即窗格（窗里面的横的或坚的格）是中国传统木构建筑的框架结构设计，窗

根上雕刻有线槽和各种花纹，构成种类繁多的优美图案.下列表示我国古代窗标样式结

构图案中是中心对称图形但不是轴对称图形的是

座嚏鹿喳I

函而国

i%iiliiKi

I菊新的初

4.（3分）计算（fy）3的结果是（）

A.x6y3B.小/C..

5.（3分）使正三有意义的x的取值范围是（）

A.xW3B.x<3C..

6.（3分）在数学活动课上，九年级（1）班数学兴趣小组的同学们要测量某公园人工湖亭

子A与它正东方向的亭子B之间的距离.现测得亭子A位于点尸北偏西30°方向，亭子

3位于点P北偏东a方向，测得点P与亭子A之间的距离为200米.则亭子A与亭子3

之间的距离为（）

A.100+100V3,sinaXB.100+100，^"ana米

c.ioo+米D.100+米

sinCLtanCI

7.（3分）用三角板作△ABC的边3C上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（)

8.（3分）如图，在平面直角坐标系中，RtAABC的顶点A,B分别在）,轴、x轴上，0A=2,

OB=1,斜边AC〃x轴.若反比例函数y=K（%>0,x>0）的图象经过AC的中点。，

X

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

9.（3分）因式分解：/_16〃=.

10.（3分）不等式组［x+2>°的解集是_______.

l2x-l<0

11.（3分）用举反例的方法，说明命题“关于x的方程/-4x+/n=0一定有实数根”是假

命题，则机的值可以是.

12.（3分）在我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有圆材，埋在壁

中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”其大意为：如图，AB为

QO的直径，弦CD_LA8于点E,若AE=1寸，CD=10寸，则00的直径等于寸.

B

13.（3分）把正五边形和正六边形按如图所示方式放置，则Na=

14.（3分）跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛

物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）近似

满足函数关系），=—+法+。（aWO）.如图记录了某运动员起跳后的x与），的三组数据，

根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为

米.

y/mk

57.9-------1

।

54.0!

46.2-------h------I

°2040x%

三、解答题（本大题共10小题，共78分）

15.（6分）计算：V32-6sin45°+（1-A/2）°-（―）

2

16.（6分）甲、乙两人做摸球游戏，在不透明的口袋里放入大小相同的两个黑球和两个白

球，甲摸出两个球后放回，乙再摸出两个球，若摸出一黑一白甲赢，若摸出两个相同颜

色的乙匾.这个游戏公平吗？为什么？

17.（6分）在大城市，很多上班族选择“低碳出行”，电动车和共享单车成为他们的代步工

具.某人去距离家8千米的单位上班，骑共享单车虽然比骑电动车多用20分钟，但却能

强身健体，已知他骑电动车的速度是骑共享单车的1.5倍，求骑共享单车从家到单位上班

花费的时间.

18.（7分）中国古代有二十四节气歌：“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连，秋处露秋寒霜

降，冬雪雪冬小大寒”它是为便于记忆我国古时历法中二十四节气而编成的小诗歌，流

传至今.其中第一个“冬”是指立冬，为冬季的开始.但在气象学上的入冬日是有严格

定义的，即日平均气温连续五天低于10℃,才算是进入冬天，其中5天中的第一天即为

入冬日.

日平均气温是指以天24小时的平均气温，气象学上通常用一天中的2时、8时、14时、

20时4个时刻的气温的平均值作为这一天的日平均气温(即4个气温相加除以4),结果

保留一位小数.

如表是长春市某年10月6日至10月12日的气温纪录及日平均气温(单位：℃)

时间2时8时14时20时平均气温

10月6日28181310.3

10月7日271510a

10月8日271498.0

10月9日261397.5

10月10日35965.8

10月11日251397.3

10月12H48171310.5

根据以上材料解答下列问题：

(1)求出10月7日的日平均气温a.

(2)采用适当的统计图将这7天的日平均气温的变化情况表示出来.

(3)请指出这一年的哪一天是长春市在气象学意义上的入冬日.

19.(7分)如图：△A8C是。。的内接三角形，NACB=45°,NAOC=150°,过点C作

QO的切线交AB的延长线于点D.

(1)求证：CD=CB；

(2)如果。。的半径为J5，求AC的长.

20.(7分)定义：我们把三边比为1：血：逐的三角形称为尾翼三角形.

(1)请你在下面5X5和2X7的网格中分别画出面积最大的格点尾翼三角形.

2)尾翼三角形的最大角为

21.（8分）周末，甲、乙两名大学生骑自行车去距学校6000米的净月潭公园，两人同时从

学校出发，以。米/分的速度匀速行驶，出发4.5分钟时，甲同学发现忘记带学生证，以

1.5a米/分的速度按原路返回学校，取完学生证（在学校取学生证所用时间忽略不计），

继续以返回时的速度追赶乙，甲追上乙后，两人以相同的速度前往净月潭，乙骑自行车

的速度始终不变，设甲，乙两名大学生距学校的路程为s（米），乙同学行驶的时间为Z

（分），5与£之间的函数图象如图所示.

（1）求a,b的值;

（2）求甲追上乙时，距学校的路程；

数学活动课上，老师提出如下问题：

如图①，在四边形A8CQ中，ABLBC,DCLBC,AB=2,DC=4,BC=8,点尸为BC

边上的动点，求当BP的值是多少时，AP+O尸有最小值，最小值是多少.

小丽和小明对老师提出的问题进行了合作探究：

小丽：设BP=x,则CP=8-x,

根据勾股定理，可得"+公=62+*2+“2+⑶*）2.但没有办法继续求解.

小明：利用轴对称作图，如图②，

作点A关于直线8c的对称点A',连接A'D,与交于点尸，根据两点之间线段最

短，将求AP+DP的最小值转化为求线段A'D的长.

由AA'BPs^DCP,得_^_=ALA=2

8-BPCD4

所以8P=&.

3

过点A'作A'H±DC,交DC的延长线于点H,再由勾股定理，可得A'D=

VA/H2+DH2=V82+62=10-

所以当BP=2时，AP+O尸有最小值，最小值为10.

3

图①图②

任务：

(1)类比探究：

对于函数y=、i+x2+6+(4-X产当》=时，y有最小值，最小值为

(2)应用拓展：如图③，若点。在BC上运动，ADLBC,A£>=3,BC=5.连接A8,

AC.求△A8C周长的最小值.

图③

23.(10分)综合与实践

［动手操作］任意一个四边形A8CO通过剪裁，都可以拼接成一个三角形，方法如下：

如图1,点E、F、G、，分别是边AB、BC、CD、04的中点.连结EH,点尸是线段EH

的中点，连结PF、PG.沿线段EH、PF、PG剪开，将四边形ABC。分成①、②、③、

④四部分，按如图所示的方式即可拼成一个无缝隙也不重叠的三角形尸MN.

在拼接过程中用到的图形的变换有

A.轴对称B.平移C.中心对称。.位似

图1图2图3

［性质探究］如图3,连结EF'、F'G'、G'H.判断四边形EF'G'H的形状，并说

明理由.

［综合运用］若三角形P'MN是一个边长为4的正三角形，则四边形ABC。周长的最小值

为.

24.(12分)如图①，在平面直角坐标系中，当线段AB与坐标轴不垂直时，以线段

AB为斜边作Rt^ABC,且边轴，则称AC+BC的值为线段A8的直角距离，记作

L(AB)；当线段A8与坐标轴垂直时，线段48的直角距离不存在.

(1)在平面直角坐标系中，A(1,4),B(4,2),求£(AB).

(2)在平面直角坐标系中，点4与坐标原点重合，点B(x,y),且乙(AB)=2.

①当点B(x,y)在第一象限时，易知AC=x,BC=y.由AC+BC=L(AB),可得y与

x之间的函数关系式为,其中x的取值范围是,在图②中画出这个函数

的图象.

②请模仿①的思考过程，分别探究点B在其它象限的情形，仍然在图②中分别画出点B

在二、三、四象限时，》与x的函数图象.(不要求写出探究过程)

(3)在平面直角坐标系中，点A(1,1),在抛物线y=a(x-/z)?+5上存在点B,使得

2WL(AB)W4.

①当时，直接写出〃的取值范围.

4

②当〃=0,且△4BC是等腰直角三角形时，直接写出a的取值范围.

图①图②

2021年中考数学模拟试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

1.（3分）-2020的绝对值是（）

A.-2020B.2020C.--1—D.—?—

20202020

【分析】根据绝对值的定义直接进行计算.

【解答】解：根据绝对值的概念可知:|-20201=2020,

故选:B.

2.（3分）华为Mc"e20手机搭载了全球首款7纳米制程芯片，7纳米就是0.000000007米.数

据0.000000007用科学记数法表示为（）

A.7X10-7B.0.7X10-8c.7X10-8D.7X10-9

【分析】由科学记数法知0.000000007=7X10?

【解答】解：0.000000007=7X10'9；

故选：D.

3.（3分）窗板即窗格（窗里面的横的或坚的格）是中国传统木构建筑的框架结构设计，窗

根上雕刻有线槽和各种花纹，构成种类繁多的优美图案.下列表示我国古代窗根样式结

构图案中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）

画而函

impB.

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.

【解答】解：人是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项错误：

8、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；

C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项正确；

。、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误，

故选：C.

4.（3分）计算（Wy）3的结果是（）

A.x6y3B.十/C.金〉D.7/

【分析】根据积的乘方和基的乘方法则求解.

【解答】解：（/>）3=（x2）3y3=工6,3,

故选：A.

5.（3分）使《巧有意义的X的取值范围是（）

A.xW3B.x<3C.x23D.x>3

【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出X的取值范围即可.

【解答】解：•.•式子正巧有意义，

...X-320,

解得x23.

故选：C.

6.（3分）在数学活动课上，九年级（1）班数学兴趣小组的同学们要测量某公园人工湖亭

子A与它正东方向的亭子B之间的距离.现测得亭子A位于点P北偏西30。方向，亭子

B位于点P北偏东a方向，测得点尸与亭子A之间的距离为200米.则亭子A与亭子B

之间的距离为（）

A.100+100T•sina米B.100+100V3*tana

C.100+照返米D.100+史曳③米

sinatana

【分析】直接利用直角三角形的性质结合锐角三角函数关系得出PC,BC的长，进而得

出答案.

【解答】解：过点P作PCJ_AB于点C,

由题意可得：NAPC=30°,布=200，*,NCPB=a,

则AC=LP=100〃?，PC=%COS30°=100«米，

2

故tana=@^=—匹―

PClOCh/3

则BC=1tana米，

故AB=AC+BC=(100+100V3*tana)米.

故选：B.

7.（3分）用三角板作△ABC的边BC上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（）

【分析】根据高线的定义即可得出结论.

【解答】解：B,C,。都不是△A8C的边BC上的高，

故选：A.

8.（3分）如图，在平面直角坐标系中，RtZ^ABC的顶点A,8分别在y轴、x轴上，04=2,

08=1,斜边AC〃x轴.若反比例函数），=K（Q>0,x>0）的图象经过AC的中点。，

X

【分析】根据平行于X轴的直线上任意两点纵坐标相同，可设C（x,2）.则0（工，4）,

2

由勾股定理得出A82+BC2=AC2,列出方程2?+/+（%-1）2+22=/,求出x,得到。点

坐标，代入y=K，利用待定系数法求出此

X

【解答】解：・・・AC〃x轴，OA=2,。8=1,

，A(0,2),

：.C,A两点纵坐标相同，都为2,

可设C(x,2).

•.•。为AC中点.

：.D&,2).

2

VZABC=90°,

：.AB2+BC2^AC2,

22

1+2+(x-1)2+22=X2,

解得x=5,

：.D①，2).

2

:反比例函数y=K(/>0,x>0)的图象经过点。，

x

：.k=^.X2=5.

2

故选：B.

二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)

9.(3分)因式分解：/-16a=a(4+4)(a-4).

【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可.

【解答】解：原式=a(a2-16)

=a(a+4)(a-4),

故答案为：a(a+4)(〃-4)

10.(3分)不等式组fx+2>°的解集是-2〈启工.

l2x-l<02~

【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解.

【解答】解：I.

2x-l《。②

解不等式①得，-2,

解不等式②得，

所以不等式组的解集是-2VxW」.

2

故答案为：-2<xW工.

2

11.(3分)用举反例的方法，说明命题“关于x的方程--4x+,〃=0一定有实数根”是假

命题，则〃，的值可以是5（答案不唯一）

【分析】直接利用一元二次方程根的判别式进而计算得出答案.

【解答】解：•••关于x的方程/-4x+机=0一定有实数根，

/.b2-4ac=16-4，〃20,

解得：机<4,

•••说明命题“关于x的方程/-4x+〃?=0一定有实数根”是假命题，

.♦•”的值可以是：5（答案不唯一）.

故答案为：5（答案不唯一）.

12.（3分）在我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有圆材，埋在壁

中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”其大意为：如图，AB为

。。的直径，弦于点E,若AE=1寸，8=10寸，则G>0的直径等于26寸.

【分析】连接OC,由直径A8与弦C£>垂直，根据垂径定理得到E为CC的中点，由CZ）

的长求出。E的长，设OC=OA=x寸，则AB=2x寸，OE=（x-1）寸，由勾股定理得

出方程，解方程求出半径，即可得出直径A8的长.

【解答】解：如图所示，连接OC.

•.,弦C£）_L4B,AB为圆。的直径,

为C。的中点，

又；C£>=10寸，

:.CE=DE=LCD=5寸，

2

设0C=O4=x寸，则AB=2r寸，OE=(x-1)寸,

由勾股定理得：OE2+CE2=OC2,

即（%-1）2+52—^,

解得：x—13,

，AB=26寸，

即直径AB的长为26寸.

故答案为：26.

13.（3分）把正五边形和正六边形按如图所示方式放置，则Na=48°

【分析】根据多边形内角和公式，计算出NA、ZACD.NBCC的度数，再计算出NAC8

的度数，最后根据三角形的内角和公式求出a的度数

【解答】解：•••正六边形的内角和为（6-2）X1800=720°,

正五边形的内角和为（5-2）X180°=540°,

AZA=ZACD=120°,

ZBCD=108°.

AZACB=ZACD-ZBCD=120°-108°=12°.

；.a=180°-ZA-ZACB

=180°-120°-12°

=48。

14.（3分）跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛

物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）近似

满足函数关系y=a^+bx+c（aWO）.如图记录了某运动员起跳后的x与），的三组数据，

根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时.，水平距离为15

米.

y/mk

57.9-

54.0

46.2-

°2040-xJm

【分析】将点（0,540）、（40,46.2）、（20,57.9）分别代入函数解析式，求得系数的值;

然后由抛物线的对称轴公式可以得到答案.

【解答】解：根据题意知，抛物线（aWO）经过点（0,54.0）、（40,46.2）、

（20,57.9）,

'c=54.0

WJ-1600a+40b+c=46.2,

400a+20b+c=57.9

^=-0.0195

解得一b=0.585，

c=54.0

所以x=-M=____°-585----=15（/M）.

2a2X（-0.0195）

故答案为：15.

三、解答题（本大题共10小题，共78分）

15.（6分）计算：J32-6sin45o+（1-72）°-（―）L

2

【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幕的性质和负整数指数累的性质的性

质分别化简得出答案.

【解答】解：原式=4&-6X返+一

2

=4&-3扬1-2

=近-1.

16.（6分）甲、乙两人做摸球游戏，在不透明的口袋里放入大小相同的两个黑球和两个白

球，甲摸出两个球后放回，乙再摸出两个球，若摸出一黑一白甲赢，若摸出两个相同颜

色的乙赢.这个游戏公平吗？为什么？

【分析】根据题意画出树状图列出所有等可能结果，再求出两个球颜色相同和一黑一白

的概率，即可得出答案.

【解答】解：不公平,

画树状图如下：

里白白

A小A

黑白白黑白白黑黑白黑黑白

由树状图知，P（一黑一白）―_8_—2—,P（颜色相同）-_4_—1—,

123123

•••2/1,

33

...不公平.

17.（6分）在大城市，很多上班族选择“低碳出行”，电动车和共享单车成为他们的代步工

具.某人去距离家8千米的单位上班，骑共享单车虽然比骑电动车多用20分钟，但却能

强身健体，已知他骑电动车的速度是骑共享单车的1.5倍，求骑共享单车从家到单位上班

花费的时间.

【分析】设骑共享单车从家到单位上班花费x分钟，根据骑电动车的速度是骑共享单车

的1.5倍列出方程并解答.

【解答】解：设骑共享单车从家到单位上班花费x分钟，

依题意得：1x1.5-^—,

xx~20

解得x=60.

经检验，x=60是原方程的解，且符合题意.

答：骑共享单车从家到单位上班花费的时间是60分钟.

18.（7分）中国古代有二十四节气歌：“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连，秋处露秋寒霜

降，冬雪雪冬小大寒”它是为便于记忆我国古时历法中二十四节气而编成的小诗歌，流

传至今.其中第一个“冬”是指立冬，为冬季的开始.但在气象学上的入冬日是有严格

定义的，即日平均气温连续五天低于10℃,才算是进入冬天，其中5天中的第一天即为

入冬日.

日平均气温是指以天24小时的平均气温，气象学上通常用一天中的2时、8时、14时、

20时4个时刻的气温的平均值作为这一天的日平均气温（即4个气温相加除以4）,结果

保留一位小数.

如表是长春市某年10月6日至10月12日的气温纪录及日平均气温（单位：℃）

时间2时8时14时20时平均气温

10月6日28181310.3

10月7日271510a

10月8日271498.0

10月9日261397.5

10月10日35965.8

10月11日251397.3

10月12日48171310.5

根据以上材料解答下列问题:

(1)求出10月7日的日平均气温a.

(2)采用适当的统计图将这7天的日平均气温的变化情况表示出来.

(3)请指出这一年的哪一天是长春市在气象学意义上的入冬日.

【分析】(1)根据算术平均数的求法即可得到结论；

(2)根据题意绘制统计图；

(3)根据题意即可得到结论.

【解答】解：⑴a=2+7+15+10=&5；

(2)如图所示,

平均气温(℃)

10月6日10月7日10月8日10月9日10月10日10月11日10月120

(3)这一年的10月7日是长春市在气象学意义上的入冬日..

19.(7分)如图：△4BC是。。的内接三角形，NACB=45°,NAOC=150°,过点C作

O。的切线交AB的延长线于点D.

(1)求证：CD=CB；

(2)如果的半径为J5，求4C的长.

【分析】(I)首先连接0B,则NA0B=2N4cB=2X45°=90°,由NAOC=150°,

易得△OBC是等边三角形，又由过点C作。。的切线交AB的延长线于点D,易求得N

CBD=/D=75°,继而证得结论；

(2)由。。的半径为证,可求得A8=2,CD=BC=OC=近,易证得SQC

△£>8CZ\A,

然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案.

【解答】(1)证明：连接。8,则乙4OB=2/ACB=2X45°=90°,

,：OA=OB,

：.ZOAB=OBA=45Q,

；NAOC=150°,OA=OC,

：.ZOCA=ZOAC=\5a,

AZOCB=ZOCA+ZACB=60°,

...△O8C是等边三角形，

.•./BOC=/O8C=60°,

.\ZCBD=180°-NOBA-NOBC=75°,

是。。的切线，

/.OCLCD,

；./£>=360°-NOBD-NBOC-NOCD=360°-(60°+75°)-60°-90°=75°,

:.NCBD=ND,

.".CB=CD；

(2)在RtZXAOB中，AB=&OA=«X&=2,

；CD是。。的切线，

：.ZDCB=ZCAD,

：NO是公共角，

：./\DBC^ADCA,

••C--D--=B-D-

ADCD

：.CD2^AD-BD=BD・(BD+AB),

♦：CD=BC=OC=M，

，2=B»(2+B。)，

解得：BD=43-b

BD

20.（7分）定义：我们把三边比为1：&：、石的三角形称为尾翼三角形.

（1）请你在下面5义5和2X7的网格中分别画出面积最大的格点尾翼三角形.

（2）尾翼三角形的最大角为135

【分析】（1）直接利用网格结合勾股定理得出符合题意的图形；

（2）直接利用相似三角形的判定与性质得出尾翼三角形的最大角.

【解答】解：（1）如图所示：

（2）由网格可得：

AZ）=^2>DC=2,AC=yJ101

•'•AD：DC：AC—1：A/5,

•.•△4CB的三边比为1：72：、后，

二可得△AOCs/MCB,

：.ZDCA=ZABC,

：.ZDAC+ZDCA^ND4C+NA8C=45°,

ZACB=ZADC=135°.

故答案为：135.

21.（8分）周末，甲、乙两名大学生骑自行车去距学校6000米的净月潭公园，两人同时从

学校出发，以。米/分的速度匀速行驶，出发4.5分钟时，甲同学发现忘记带学生证，以

1.5a米/分的速度按原路返回学校，取完学生证（在学校取学生证所用时间忽略不计），

继续以返回时的速度追赶乙，甲追上乙后，两人以相同的速度前往净月潭，乙骑自行车

的速度始终不变，设甲，乙两名大学生距学校的路程为s（米），乙同学行驶的时间为t

（分），s与f之间的函数图象如图所示.

（1）求a,b的值；

（2）求甲追上乙时，距学校的路程;

【分析】（1）根据速度=路程+时间，即可解决问题.

（2）首先求出甲返回用的时间，再列出方程即可解决问题.

（3）分两种情形列出方程即可解决问题.

【解答】解：（1）由题意。=史&=200,6=6000=30,

4.5200

，a=200,b=30.

(2)900.+4.5=7.5,

1.5X200

设/分钟甲追上乙，由题意，300(r-7.5)=200f,

解得f=22.5,

22.5X200=4500,

甲追上乙时，距学校的路程4500米.

(3)两人相距500米是的时间为，分钟.

由题意：1.5X200(Z-4.5)+200(/-4.5)=500,解得f=5.5分钟,

或300(/-7.5)+500=200/,解得f=17.5分钟，

故答案为5.5分钟或17.5分钟.

22.(9分)阅读下列材料，完成相应的任务

数学活动课上，老师提出如下问题：

如图①，在四边形4BCO中，ABA.BC,DC1.BC,AB=2,£>C=4,BC=8,点、P为BC

边上的动点，求当6P的值是多少时，AP+CP有最小值，最小值是多少.

小丽和小明对老师提出的问题进行了合作探究：

小丽：设BP=x,则CP=8-x,

根据勾股定理，可得AP+DP=y^^+{42+(8一x)2・但没有办法继续求解.

小明：利用轴对称作图，如图②，

作点A关于直线8C的对称点A',连接A'D,与BC交于前P,根据两点之间线段最

短，将求AP+DP的最小值转化为求线段A'D的长.

由△△'BP^/XDCP,得型_=或_旦=2

8-BPCD4

所以BP=B.

3

过点A'作A'HLDC,交DC的延长线于点H,再由勾股定理，可得A'D=

7AyH2+DH2=V82+62=10-

所以当■时，AP+OP有最小值，最小值为10.

3

D

D

图①图②

任务:

(1)类比探究:

对于函数y={]+X2+{9+(4_X)2,当*=1时，y有最小值，最小值为4后.

(2)应用拓展：如图③，若点。在BC上运动，ADLBC,A£>=3,BC=5.连接AB,

AC.求△ABC周长的最小值.

图③

【分析】(1)仿照材料，构造出图形，仿照材料的方法计算即可得出结论;

(2)先利用勾股定理求出AB,AC,进而得出AC+4B最小时，△ABC的周长最小，同

(1)的方法求出AB+AC的最小值，即可得出结论.

【解答】解：(1)

：丫=V1+X2+V9+(4-X)2=V12+X2+V32+(4-X)2,

如图，取BC=4,4B=1,CD=3,于B,C£>_LCB于C,

设贝ljCP=BC-BP=4-x,

ZlP+DP-A/12+x2+^32+(4_x)2-y)

要y最小，则AP+OP最小,

作点A关于2C的对称点4,连接4P,当点A，，P,。在同一条线上时，AP+O尸最小=

A'£>,

:NA'BP=NDCP=90°,ZA'PB=ZDPC,

.'.△A'BPs/\DCP,

.A7BBP

■CDB

•.---1—x>

34~x

,\x=1,

过点H作AH//BC交DC的延长线于H,则四边形BA'HC是矩形，

：.CH=A'B=AB=l,A、H=BC=4,N”=90°,

：.DH=CD+CH=4,

在RtZWHQ中，根据勾股定理得，

H2+DR2=4V2>

故答案为1,4,\/2；

(2)设则C£)=BC-8。=5-4,

在中，根据勾股定理得，AB=4BD2+AD2=Q32+a

在Rt^ADC中，根据勾股定理得，AC=yjAD2+CD2={32+(5二)一

△ABC的周长为AB+AC+BC=iy32+a2+^32+(-5_a')2+5,

要△ABC的周长最小，则有落石二5工)最小，

同(1)的方法得，(^32+a2+V32+(5-a)2)®，b=V52+(3+3)

［动手操作］任意一个四边形A8CQ通过剪裁，都可以拼接成一个三角形，方法如下：

如图1,点E、F、G、〃分别是边AB、BC、CD、D4的中点.连结EH,点P是线段EH

的中点，连结PF、PG.沿线段EH、PF、PG剪开，将四边形A8CO分成①、②、③、

④四部分，按如图所示的方式即可拼成一个无缝隙也不重叠的三角形P'MN.

在拼接过程中用到的图形的变换有

A.轴对称B.平移C.中心对称力.位似

图1图2图3

［性质探究］如图3,连结EF，、F'G'、G'H.判断四边形EF'G'H的形状，并说

明理由.

［综合运用］若三角形P'MN是一个边长为4的正三角形，则四边形周长的最小值

为一近_•

【分析】［动手操作］根据中心对称，平移变换等知识判断即可.

［性质探究］利用三角形的中位线定理证明即可.

［综合运用］由（2）可知四边形/C"E是平行四边形，设EC'交.HP于。，则0E

=0C,OF'=0H,把问题转化为求尸H+CE的最小值，即求。尸+0C的最小

值.

【解答】解：［动手操作］观察图象可知②一②，③一③是中心对称，④一④是平移变

换，

故答案为8,C.

［性质探究］如图3中，结论：四边形尸C'HE是平行四边形.

图3

理由：由题意：P'F'=F'M,P'C=CN,

：.F'C'=MN,F'C'=、MN,

2

,:PH=HN,PE=EM,

:.EH=LMN,

2

：.F'C'=EH,

VF,C//EH,

四边形F'C'是平行四边形.

［综合运用］如图4中,

由（2）可知四边形尸C"E是平行四边形，设EC'交HF'于0,贝I］0E=0C',

OF'=0H,

过点。作直线/〃MM作尸'HLMN