2021年中考数学复习：图形的性质3《三角形》测试卷练习卷（答案及解析）

2021年中考数学复习专题：图形的性质3《三角形》测试卷练习卷（答案及解析）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）

1.方程/-9%+14=0的两个根分别是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长

为（）

A.11B.16C.11或16D.不能确定

2.我们定义：如果一个等腰三角形有一条边长是3,那么这个三角形称作帅气等腰三

角形.已知△ABC中，AB=3近,AC=5,BC=7,在△ABC所在平面内画一条

直线，将A4BC分割成两个三角形，若其中一个三角形是帅气等腰三角形，则这样

的直线最多可画（）

A.0条B.1条C.2条D.3条

3.在RtARBC中,ZC=90°,tanA=则cosA等于（）

A.JB.与C.4D.更

4.如图，在等腰直角A/IBC中，4C=BC/BE=£

ZXE为斜边A8上的点，乙DCE=45°,若力D=2

DE=5,则BE的长是（）

BEDA

A.3

B-i

C.V19

D.vn

5.一个三角形的三个内角中，锐角的个数最少为（）

A.0B.1C.2D.3

clrNED

6.如图，在正方形ABCQ中，取48=4,AE=2,

图中共有直角三角形（）个.

A.1

B.2

BC

C.3

D.4

7.在△力BC中，AB=1,BC=正,下列选项中，可以作为4c长度的是（）

A.2B.4C.5D.6

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8.已知直线将一块含45。角的直角三角板ABC按

如图方式放置，其中斜边BC与直线〃交于点D若

Z1=25°,则42的度数为（）

A.60°

B.65°

C.70°

D.75°

9.如图，△ABD与ZMEC都是等边三角形，力BHAC,

下列结论中，正确的个数是（），

①BE=CD;②乙BOD=60°;③乙BDO=Z.CFO:

④若NB4C=90。，S.DA//BC,则BC_LCE.

A.1B.2C.3

10.如图，在正方形ABCD中，ABPC是等边三角形，BP、

CP的延长线分别交A£＞于点E、F,连结B£＞、DP,BD与

CF相交于点从给出下列结论：

（?）ABDE-^DPE；②霁=|；③DP2=PH-PB；

④tanz_Z）BE=2—V3.

其中正确的是（）

A.①②③④

B.①②④

C.②③④

D.①③④

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

11.点G是AABC的重心，如果4B=4C=13,BC=10,那么AG的长是

12.在RtA/lBC中，AC=3,8c=4,点P是斜边48上一

点，若APAC是等腰三角形，则线段4P的长可能为

13.梯形ABCO中4B〃CD,AADC+^BCD=90°,以A。、

AB,BC为斜边向形外作等腰直角三角形，其面积分别是

S1、52、S3且Si+$3=4S2，则CD=AB.

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14.如图，△ABC和△力DE均为等腰直角三角形，AB=3,AD=2,连接CE、BE,点

F、G分别为£>E、BE的中点，连接FG,在AADE旋转的过程中，当。、E、C三

点共线时，线段FG的长为.

三、解答题(本大题共7小题，共56.0分)

15.如图，A4BC三△08C,连接AQ,延长CB交于点E.

(1)若NC4B=35。，"CD=76。,求ZCBO的度数；

(2)求证：XABE/DBE.

16.某中学八(1)班小明在综合实践课上剪了一个四边形

ABCQ,如图，连接AC,经测量AB=12,BC=9,CO=8,

AD=17,NB=90。.求证：△AC。是直角三角形.

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17.如图1,在AaBC中，AB=AC=10,BC=12.

(1)求AC边上的高的长；

(2)如图2,点。、E分别在边A3、BC上，G、尸在边AC上，当四边形QEGP是

正方形时，求。E的长.

18.如图，AB=AC,CD148于。，BEJ.AC于E,BE与CD

相交于点O.

(1)求证：AD=AE.

(2)连接OA,BC,试判断直线04,8c的关系，并说明理

由.

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19.如图，在四边形ABC。中，AD//BC,点。是对角线AC的中点，过点。作AC的

垂线，分别交A£＞、BC于点E、F,连接AF、CE.试判断四边形AECF的形状，并

证明.

20.如图，在△ABC中，AB=BC,Z.ABC=90°,E为8c边上一点(不与8、C重合),

。为AB延长线上一点且BD=BE.点尸、G分别为AE、C。的中点.求证：

⑴力E=CD；

(2)ABFG为等腰直角三角形.

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21.如图，正方形ABCQ的对角线AC、BQ交于点0,直------

角三角形EOF绕点0按逆时jSc

针旋转，/.EOF=90°./\\

（1）若直角三角形绕点。逆时针转动过程中，分别交―AC

AD,CD两边于M,N两点.

①求证：0M=ON；

②连接CM、BN,那么CM,BN有什么样的关系？试说明理由.

（2）若正方形的边长为2,则正方形ABCD与Rt△EOF两个图形重叠部分的面积为

多少？（不需写过程直接写出结果）

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答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：-9x+14=0,

•••(%-2)(x-7)=0,

则x-2=0或x-7=0,

解得x=2或x=7,

当等腰三角形的腰长为2,底边长为7,此时2+2<7,不能构成三角形，舍去；

当等腰三角形的腰长为7,底边长为2,此时周长为7+7+2=16,

故选:B.

先利用因式分解法解方程求出x的值，再分情况讨论求解可得.

本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接

开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解

题的关键.

2.【答案】B

【解析】解：如图所示，过4作AD1BC,

则4D=BD=3,

这样的直线最多可画1条,

故选：B.

根据等腰三角形的性质分别利用AB为底以及A8为腰得出符合题意的图形即可.

此题主要考查了等腰三角形的判定等知识，正确利用图形分类讨论得出等腰三角形是解

题关键.

3.【答案】D

设BC=5x,

tanA.=—5

12

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・•・AC=12x,AB=yjAC24-BC2=13%，

AAC12x12

：•cosA=—=——=一.

AB13x13

故选：D.

根据tcmA='求出第三边长的表达式，求出cos/4即可.

本题利用了勾股定理和锐角三角函数的定义.解题的关键是掌握勾股定理和锐角三角函

数的定义.

4.【答案】D

【解析】如图，将ABCE绕点。逆时针旋转90。，得到△AC凡连结。?

由旋转的性质得，CE=CF,AF=BE=2,Z.ACF=

乙BCE,Z.CAF=zfi=45°,//\\"

・・・乙ACB=90°,Z.DCE=45°,//

BEDA

:.乙DCF=Z.ACD+Z-ACF=乙ACD+(BCE=

Z.ACB-乙DCE=90°-45°=45°,

・•・Z.DCE=乙DCF,

在ZkCDE和ACDF中，

(CE=CF

\z-DCE=/LDCF,

VCD=CD

・•・△CDE=^CDF(SAS),

・•・DF=DE,

・・•/LDAF=乙BAC+Z.CAF=45°+45°=90°,

.•.△AOF是直角三角形，

DF2=AD2+AF2,

•••DE2=AD2+BE2,

■：AD=2,DE=5

：.BE=vn；

将^CEB绕点、C逆时针旋转90。，得到△ACF,连结OF,根据旋转的性质可得CE=CF,

AF=BE,^ACF=£.BCE,^CAF=NB=45°,然后求出NDCF=45°,从而得到tDCE=

乙DCF,再利用“边角边”证明ACDE和ACDF全等，根据全等三角形对应边相等可得

DF=DE,再求出A/1DF是直角三角形，然后勾股定理得出DE?=4。2+BEZ,由此即

可解决问题.

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本题考查了作图-旋转变换，作图-翻折变换，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，

等腰直角三角形的性质，勾股定理，难度适中.准确作出旋转后的图形是解题的关键.

5.【答案】C

【解析】解：假设在一个三角形中只有1个锐角或一个锐角都没有，则另外的两个角或

三个角都大于或等于90。，

于是可得这个三角形的内角和大于180。，

这样违背了三角形的内角和定理，假设不成立.

所以任何一个三角形的三个内角中至少有2个锐角.

故选(C).

依据三角形的内角和是180。，假设在一个三角形中只有1个锐角或一个锐角都没有，则

可以得出这个三角形的内角和大于180。，所以假设不成立，据此即可判断.

此题主要考查三角形的内角和定理，解决问题的关键是知道三角形的内角和为180。.

6.【答案】D

【解析】解：•.•正方形各内角为直角，AB=4,4E=2,DF=1,

•••BC=CD=AD=AB=4,△ABE、△CBF、△DEF为直角三角形，DE=2,CF=3,

图中，BE2=AE2+AB2=22+42=20；

EF2=DE2+DF2=22+l2=5,

BF2=BC2+CF2=42+32=25,

BE2+EF2=BF2,

即ABEF为直角三角形，

故图中有4个直角三角形.

故选：D.

根据正方形各内角为直角的性质，可以证明△ABE、&CBF、△DEF为直角三角形，分

别求其斜边，即BE,EF,Bk的值，根据边的长度和勾股定理的逆定理可以判定

为直角三角形，即可解题.

本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理；熟练掌握勾股定理，由勾股定理的逆定理证

明4BE尸是直角三角形是解题的关键.

7.【答案】A

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【解析】解：・••在△ABC中，AB=1,BC=V5.

•••V5-1<zlC<V5+1.

vV5-1<2<V5+1.4>V5+1.5>V5+1，6>通+1，

•••AC的长度可以是2,

故选项4正确，选项8、C、。不正确：

故选：A.

根据三角形三边关系，两边之差小于第三边，两边之和大于第三边，可以得到AC的长

度可以取得的数值的取值范围，从而可以解答本题.

本题考查三角形三边关系，解答本题的关键是明确题意，利用三角形三边关系解答.

8.【答案】C

【解析】解：设A8与直线“交于点E,

则"ED=Nl+NB=250+45°=70°.

又直线m〃n,

Z2=Z.AED=70°.

故选：C.

先求出乙4EO=N1+48=25°+45°=70°,再根据平行线的性质可知=乙4ED=

70°.

本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质，解题的关键是借助平行线和三角形

内外角转化角.

9.【答案】C

【解析】解：•••△A8D与AAEC都是等边三角形，

AD=AB,AE=AC,Z.ADB=Z.ABD=60°,4DAB=/.EAC=60°,

・•・乙DAB+乙BAC=Z-EAC+Z.BAC，

・••Z.DAC=Z.BAE,

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AD=AB

在A£MC和ABAE中，Z.DAC=Z.BAE,

AC=AE

•••ADAC=LBAEVAS'),

•••BE=DC,Z-ADC-/.ABE,

■■■乙BOD=180°-4ODB-LDBA-UBE=180°-乙ODB-60°-Z.ADC=120°-

(AODB+AADC)=120°-60°=60°,

NBOD=60。，.•.①正确；②正确；

•・•△48。与4AEC都是等边三角形，

/.ADB=Z.AEC=60°,但根据已知不能推出=Z.AEB,

:.乙BDO=4CE。错误，二③错误；

•:DA//BC,

•••乙DAB=&ABC=60°,

vNB4C=90°,

乙4cB=30。，

,:/.ACE=60°,

•••LECB=90°,

BCICE,④正确，

综上所述，①②④正确，

故选：C.

由等边三角形的性质得出40=AB,AE=AC,Z.ADB=4ABD=60°,4DAB=Z.EAC=

60°,则ZJMC=4BAE,由SAS证得△£MC三△BAE得出BE=DC,Z.ADC=/.ABE,则

乙BOD=180°-Z.ODB-4DBA-/.ABE=180°-Z.ODB-60°-Z.ADC=120°-

(NODB+乙4DC)=60。，即①正确；②正确；/.ADB=2.AEC=60°,但根据已知不能

推出乙4DC="EB,则ZB。。="EO错误，即③错误；由平行线的性质得出4n4B=

AABC=60°,推出乙4cB=30。，则BC1CE,④正确.

本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、直角三角形的性质等知识,

熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键.

10.【答案】D

【解析】

【解答】

解：•・•△BPC是等边三角形,

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.・.BP=PC=BC,乙PBC=Z.PCB=乙BPC=60°,

在正方形A5CO中，

・・・AB=BC=CD,乙4=Z,ADC=(BCD=90°

・・・乙ABE=乙DCF=30°,

・•・乙CPD=Z.CDP=75°,・•・乙PDE=15°,

・・•乙PBD=乙PBC-乙HBC=60°-45°=15°,

・•・乙EBD=乙EDP,

v乙DEP=乙DEB,

.SBDE八DPE；故①正确；

vPC=CD,Z-PCD=30°,

・・.Z.PDC=75°,

・•・乙FDP=15°,

v4DBA=45°,

:.乙PBD=15°,

・•・乙FDP=乙PBD,

v乙DFP=乙BPC=60°,

•••△DFP〜△BPH,

...竺=竺=竺=理，故②错误；

PHPBCD3

•・•乙PDH=乙PCD=30°,

•・・"PH=乙DPC,

・••△DPH~&CDPf

PDPH

:、—=--,

CDPD

PD2=PH-CD,

vPB=CD,

：.PD2=PH-PB,故③正确；

如图，过P作PMJ.CD,PN1BC,

设正方形ABC。的边长是4,ABPC为正三角形,

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・•・乙PBC=Z.PCB=60°,PB=PC=BC=CD=4,

:.乙PCD=30°

:,CM=PN=PB•sin600=4x—=2B，PM=PC-sm30°=2,

2

•・•DE//PM,

・••乙EDP=乙DPM,

乙DBE=乙DPM,

tanZ-DBE=tanZ-DPM=~~=，一产=2—圾,故④正确；

故选:D.

【分析】

本题考查的正方形的性质，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，三角函数定义，

等积变换，解答此题的关键是作出辅助线，利用锐角三角函数的定义求出PM及PN的

长.

根据等边三角形的性质和正方形的性质，得至I」4PC。=30。，于是得至IJ/CPD=4CDP=

75°,证得NEDP=乙PBD=15°,于是得到^BDE-ADPE,故①正确由于NFDP=

乙PBD,乙DFP=乙BPC=60°,推出△DFPfBPH,得至I」竺=—=—=遮故②错误；

PHPBCD3

pnpH

由于4PDH=4PCD=30°,4DPH=Z.DPC,推出△CPD,得至=言，PB=

CD,等量代换得到P£)2=P“.PB,故③正确；过P作PM1CD,PN1BC,设正方形

48co的边长是4,ABPC为正三角形，于是得到4PBe=乙PCB=60°,PB=PC=BC=

CD=4,求得/PCD=30。，根据三角函数的定义得到CM=PN=PB-sin6(r=4x

—=2V3.PM=PC-sin30°=2,由平行线的性质得到/EDP=WPM,等量代换得

2

至lJz_CBE=Z.DPM,于是求得tan/DBE=tanz.DPM=翳=4”=2—V3>故④正确.

11.【答案】8

【解析】解：如图所示：连接AG并延长交BC于点。,

•••G^ABC^lW^,AB=AC=13,BC=10,

AD1.BC,BD=-BC=ix10=5,

22

•••AD=7AB2-BD2=12，

•••点G是△力BC的重心，

2

・•・AG=-AD=8,

3

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故答案为：8.

连接AG并延长交BC于点D,根据等腰三角形的性质求出BD,根据勾股定理求出AD,

根据重心的概念计算即可.

本题考查的是三角形的重心的概念和性质：三角形的重心是三角形三条中线的交点，且

重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍.

12.【答案】3,2.5或三

【解析】解:

若AP4C是等腰三角形，®PA=AC=3,

②AP=PC时，P为4B的中点，AP=\AB=|V32+42=2.5,

③PC=AC时，过C作CD1AB于D,则AP=2AD=2AC-cosA=2x3x|=y,

综上所述，AP的长为3,2.5或孩，

故答案为：3,2.5或£.

根据等腰三角形的性质分三种情况解答即可.

此题考查等腰三角形的性质，关键是根据等腰三角形的性质解答.

13.【答案】3

【解析】解：•••以A。、AB,BC为斜边向外作等腰直角三角

形,

其面积分别是Si、$2、S3,

cAD2cAB2cBC2

••5-1=------，3?=-------»=------

•L4N434

S1+S3=4s2,

・・・AD2+BC2=4AB2

过点3作8K〃40交CD于点K,

vAB//CD

：.AB=DK,AD=BK,Z-BKC=Z.ADC

vZ.ADC+乙BCD=90°

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乙BKC+乙BCD=90°

BK2+BC2=CK2

AD2+BC2=CK2

•.CK2=4AB2

•••CK=2AB

・•・CD=3AB.

分别用斜边A。、AB,BC把Si、S2、S3表示出来，然后根据a+S3=4s2求出AD,AB.

BC之间的关系.在过点8作BK〃力。交CO于点K后，根据数据发现AKBC又是一个直

角三角形，再次利用勾股定理即可发现CD和AB之间的关系.

此题考查了等腰直角三角形的面积的求法，还考查了勾股定理，以及梯形的性质，特别

要注意辅助线的作法.

14.【答案】m

【解析】

【分析】

本题主要考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、三角形中位线性质，解题的关键

是找到共顶点的全等三角形，从而得到直角三角形，运用勾股定理求解线段长度.连接

BD,证明AADB三△4EC,求得NBDC=90。，在Rt△BDC中利用勾股定理求出BD长

度，最后利用三角形中位线性质求解FG长度.

【解答】

解：连接B£>,

•••△ABC^^ADE均为等腰直角三角形，

A/.BAD=90°-zFi4F,/.CAE=90°-Z-BAEf

:.乙BAD=Z.CAE.

又AD=AE,AB=AC,

ADB=^AEC(^SAS').

・•・BD=CE,乙ADB=Z.AEC=135°,

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/.zBDC=135o-45°=90°.

vAB=3,AD=2,

•••DE=2V2,BC=3V2.

设BD=x,则DC=2V2+x.

在RtABDC中，禾U用勾股定理+。。2=BC2,

所以/+（2>/2+x）2=18,解得X]=—V2—夕（舍去），刀2=—y/2+V7.

•••点F、G分别为。从8E的中点，

厂•厂FG=1r->rB*D=-V-2-+V-7-

・・22

故答案为咨在

2

15.【答案】⑴解：•••△4BC三△DBC,ACAB=35°,

^CAB=乙CDB=35°,〃ACB=/DCB（全等三角形的对应角相等），

•:乙ACD=76°,

•••乙ACB=乙DCB=38°,

:.乙CBD=180°-35°-38°=107。（三角形的内角和是180。）.

⑵证明：三△DBC,

AC=DC,4B=OB（全等三角形的对应边相等），

.•.△4CD是等腰三角形，

又：乙4cB=乙DCB,

•••CE是A£＞边上的中线（三线合一），即力E=DE,

在A4BE与ADBE中，

;AB=DB

BE=BE（公共边），

AE=DE

•••△4BE三△DBE（SSS）.

【解析】（1）直接利用全等三角形的性质得出乙4cB=/DCB=38。，进而得出答案;

（2）利用全等三角形的判定方法分析得出答案.

此题主要考查了全等三角形的性质和判定，正确掌握相关性质是解题关键.

16.【答案】证明：Zfi=90°,AB=12,BC=9,

•••AC2=AB2+BC2=144+81=225,

■■■AC=15,

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XvAC2+CD2=225+64=289,AD2=289,

AC2+CD2=AD2,

・•.A4CD是直角三角形.

【解析】先根据勾股定理求出4c的长，然后在△4CD中，由勾股定理的逆定理，即可

证明△4CD为直角三角形.

此题主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，正确得出AC的长是解题关键.

17.【答案】解：（1）过点4作4N1BC于N,

vAB=AC=10,BC=12,AN1BC,

BN=CN=6.

:.AN=7AB2-BN?=V100-36=8,

•••SRABC=\ACXBH=：BCXAN,

8X12八一

：•BnHrt=-----=9.6；

io

(2)如图2,设BH与DE交于点、M,

•••四边形。EGF是正方形，

:.DE=EG=DF,DE//AC,乙EDF=LDFC=9。°,S.BH1AC,

.•・四边形OF4M是矩形，

DF=MH,

•••DE//AC,

■1•ABDEFBAC,

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DE_BM

AC-BH

DE_9.6-DE

TO=~9^6-

240

・•・DE

49

【解析】(1)过点A作于M由等腰三角形的性质可得BN=CN=6,由勾股

定理可求4V=8,由面积法可求3〃的长；

(2)通过证明△BDE7BAC,可得器=警，即可求解.

ACBH

本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正方形的性质，利用面积法

求出8”是本题的关键.

18.【答案】解：(1)证明：・・・CD14B于。，BELAC于E,

・•・乙ADC=乙AEB=90°,

在△ADC与△4EB中，

乙ADC=^LAEB

Z-A=Z-A,

AC=AB

••・△ACD=^ABE,

-AD=AE；

(2)直线04垂直平分BC,理由如下：

如图，连接AO,BC,延长A。交BC于F,

^£RtADO^RtLAEO^V,

(AD=AE

Uo=AO'

■■■RtAADOeRt△AEO,

■1•OD=OE,

vCD14B于D,BE1AC于E,

二4。平分NB4C,

AB-AC,

AO1BC.

【解析】(1)根据全等三角形的判定方法，证明△ACD三AABE,即可得出4D=AE,

(2)根据已知条件得出△40。三△HE。，得出NO4O=NE4。，即可判断出OA是4c的

平分线，即。力，BC.

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本题考查了全等三角形的判定与性质.应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公

共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形.

19.【答案】解：四边形AEC尸为菱形.

证明如下：

・•・z.1=Z.2.

。是AC中点，

•••AO=CO.

在和△c。尸中

Z.1=42

Z.AOE=Z.COF

AO=CO

・••△AOEwaCOFRAAS').

・•・AE=CF.

又AE〃CF,

・・.四边形AECF为平行四边形，

・・・EFA.AC,

二平行四边形AECr为菱形.

【解析】由条件可先证四边形AFCE为平行四边形，再结合线段垂直平分线的性质可证

得结论.

本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及菱形的判定，解题时注意：在应用全等三

角形的判定时、要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形.

20.【答案】证明：(1)・.・乙ABC=90°,

・•.Z.CBD=9