2021年中考数学 汇编：相似三角形及其应用（含答案）

2021中考数学专题汇编：相似三角形及其应用

一、选择题（本大题共io道小题）

1.如图，在△ABC中，D,E分别是AB,AC边上的点，DE//BC,若AO=2,

AB=3,DE=4,则3c等于()

D.8

AV9

2.（2020•永州）如图，在ABC中，EF//BC,—=-,四边形3CEE的面积

EB3

为21,则ABC的面积是（）

C.35D.63

3.（2020.嘉兴）如图，在直角坐标系中，△048的顶点为。（0,0）,A（4,3）,

B（3,0）.以点。为位似中心，在第三象限内作与△0A8的位似比为［的位似图

3

形△OC0,则点C坐标为（）

44

A.(-1,-1)B.(--,-1)C.(-1,--)D.(-

33

2,-1)

4.(2019•巴中)如图ABCD,产为中点，延长A。至E,使OE：AD=1：3,

连接EF交DC于点G,则S&DEG:SMFG

A.2：3B.3：2

C.9：4D.4：9

5.（2020.河南）如图，在△ABC中，ZACB=90°,边BC在x轴上，顶点A,B

的坐标分别为（-2,6）和（7,0）.将正方形OCDE沿x轴向右平移，当点E落在AB边

上时，点D的坐标为（）

6.（2020.河北）在图5所示的网格中，以点。为位似中心，四边形ABCO的位似

图形是

A.四边形NPM。B.四边形NPMR

C.四边形NHMQD.四边形NHMR

7.（2019•贺州）如图，在“吕。中，D,E分别是AB,AC边上的点，DE//BC,

若4）=2,43=3,DE=4,则3C等于

A.5B.6

C.7D.8

8.如图，在放aABC中，ZC=90°,NCAB的平分线交BC于D,DE是AB

的垂直平分线，垂足为E.若BC=3,则DE的长为（）

A.1B.2C.3D.4

9.（2020•丽水）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形

ABCD与正方形EFGH.连结EG,BD相交于点0、BD与HC相交于点P.若

GO=GP,则13丝的值是（）

5正方形

AD

BC

A.1+\f2B.2+>/2C.5—J215

T

10.（2020•新疆）如图，在△ABC中，ZA=90°,。是AB的中点，过点。作

BC的平行线交AC于点E,作BC的垂线交BC于点F,若AB=CE,且△。产E

的面积为1,则3C的长为

A.2人C.4有D.10

二、填空题（本大题共8道小题）

11.如图，在△ABC中，ZACD=ZB,若AD=2,BD=3,则AC长为.

12.在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m,同时同地测得一栋楼

的影长为90m,则这栋楼的高度为m.

7

13.（2020•郴州）在平面直角坐标系中，将AAOB以点O为位似中心，4为位似

3

比作位似变换，得到AA。？.已知A（2,3），则点A,的坐标是.

14.如图，在中，ZACB=90°,AC=3,BC=4,CDLAB,垂足为

D,E为8C的中点，AE与CD交于点尸，则DF的长为.

15.（2019•泸州）如图，在等腰RtAABC中，NC=90。，AC=15,点E在边CB上,

CE=2EB,点。在边A3上，CDLAE,垂足为F，则AD长为.

16.（2020.杭州）如图是一张矩形纸片，点E在河边上，把△8CE沿直线CE对折,

使点3落在对角线AC上的点F处，连接OF.若点、E,F,。在同一条直线上，AE=2,

则DF=,BE=.

17.如图，在RQA8C中，ZBAC=90°,AB=\5,AC=20,点。在边AC上,

AD=5,QELBC于点£,连接AE,则△ABE的面积等于.

I)

18.（2020・长沙）如图，点尸在以MN为直径的半圆上运动，（点尸与MN不重

合）PQLMN,NE平分/MNP,交PM于点E,交PQ于点、F.

⑴『喘

(2)若PN2=PM•MN,则竺2=

NQ

三、解答题（本大题共4道小题）

19.（2020・凉山州）（7分）如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC,边8C=

120mm,高A£>=80mm,把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC■上，

其余两个顶点分别在A3、AC上，这个正方形零件的边长是多少？

20.如图，在RQA3C中，ZACB=90°,A3=10,BC=6,CD//AB,NABC的平

分线交AC于点£,求。E的长.

21.已知：在等边△A3C中，D、E分别是AC、上的点，且NBAE=NCBD

<60°,DH1AB,垂足为点H.

(1)如图①，当点£>、E分别在边AC、上时，求证：XABEQXBC6

(2)如图②，当点。、E分别在AC、CB延长线上时，探究线段AC、AH、BE的

数量关系；

(3)在(2)的条件下，如图③，作EK〃8O交射线AC于点K,连接"K,交于

点G,交BD于点P,当AC=6,BE=2时，求线段BP的长.

22.已知在4ABC中，AB边上的动点D由A向B运动(与A,B不重合)，同

时，点E由点C沿BC的延长线方向运动(E不与C重合)，连接DE交AC于

点F,点H是线段AF上一点.

AT

(1)如图①，若4ABC是等边三角形，DH1AC,且D,E的运动速度相等，求一上

HF

的值.

(2)如图②，若在4ABC中，ZABC=90°,ZADH=ZBAC=30°,且点D,E

的运动速度之比是：1,求4c的值；

HF

(3)如图③，若在4ABC中，AB=AC,NADH=NBAC=36°,记生=m，且点

AC

D,

2021中考数学专题汇编：相似三角形及其应用

-答案

一、选择题(本大题共io道小题)

1.【答案】B［解析］..•OE〃8C,

/.△ADE^AABC,

ADDE24

.-.AB=BC,EP3=BC,解得BC=6,故选B.

2.【答案】B

【详解】解：•••EF//5C

:.ZAEF=/B,ZAFE=NC

:.AEEs

..AE_2

•EB-3

.AE2

・・--=—

AB5

•SAEH_4

S四边形BCFE2.

•S四边形BCFE=21

SAEB=4

•,SABC=25

故选：B.

3.【答案】B

【解析】本题考查了在坐标系中，位似图形点的坐标.在平面直角坐标系中，如

果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为

k,那么与原图形上的点（x,y）对应的位似图形上的点的坐标为（依，ky）或（-依,

-0）.由A（4,3）,位似比仁1"可得C4因此本题选B.

4.【答案】D

【解析】设。£=X,vDE：AD=\：3,AD=3x,

・•,四边形ABC。是平行四边形，/.AD//BC,BC=A£）=3x,

13

•••点F是的中点，彳x,

22

AD//BC,：.4DEGs/\CFG,

/DE21%、24

=旨=（『=§故选D.

——X

2

5.【答案】B

【解析】••,点A,B的坐标分别为(-2,6)和(7,0),/.OC=2,AC=6,OB=7,

，BC=9,正方形的边长为2.将正方形OCDE沿％轴向右平移，当点E落在AB边

上时，设正方形与*轴的两个交点分别为G、F,•.•EF，x轴，EF=GF=DG=2,

，EF〃AC,D,E两点的纵坐标均为2,

二空=空，即:=竺，解得BF=3.；.OG=OB-BF-GF=732=2，二D点的横坐

ACBC69

6.【答案】A

【解析】解析：连接AO并延长AO至点N,连接BO并延长PO至点P,连接CO并延

AOBOCODO

长CO至点M,连接DO并延长DO至Q,可知N°P°MOQO耳，所以以

点O为位似中心，四边形ABCD的位似图形是四边形NPMQ,故答案为A.

7.【答案】B

【解析】VDE//BC,：.2DES&BC,

—,即解得:

2=/-,BC=6,故选B.

ABBC3BC

8.【答案】A【解析】'：AD是NBAC的平分线，ACU8C,AE±DE,：.DC=

DE,AE=AC又YOE是A3的垂直平分线，：.BE^AE,即AB=2AE=2AC,

Y1

NB=30°.设。E=尤，则B£>=3—x.在中，丁一=7，解得x=l,:.DE

3—x2

的长为1.

9.【答案】C

【解析】•.•四边形EFGH为正方形，.,.ZEGH=45°,ZFGH=90°,VOG=

GP,/.ZGOP=ZOPG=67.5°,AZPBG=22.5°,又•；NDBC=45°,AZ

GBC=22.5°,/.ZPBG=ZGBC,

VZBGP=ZBG=90°,BG=BG,AABPG^ABCG,.*.PG=CG.设OG=

PG=CG=x,

•.•0为EG,BD的交点，，EG=2x,FG=^x-.•四个全等的直角三角形拼成“赵

爽弦图"，.•.BF=CG=x,

.J5■口巾一口八0”「0=苫2（应+1尸+/=（4+20）x?

・・BG—+.BC2—BG2+CG2'7,

SiLsc。=（4+2"）厂=2+应

%方彩印21,因此本题选D.

10.【答案】A

【解析】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形的中位线定理.如答图,

过点E作EGLBC于G,过点A作AH_LBC于H.

又因为DFLBC,所以DF〃AH〃EG,四边形DEGF是矩形.所以△BDFs4

BAH,DF=EG,所以=因为D为AB中点，所以^=所以

AHBABA2AH

=1.设DF=EG=x,则AH=2x.因为NBAC=90°,所以NB+NC=90°,

因为EG_LBC,所以NC+NCEG=90°,所以NB=/CEG,又因为/BHA=

ZCGE=90°,AB=CE,所以AABH0ACEG,所以CG=AH=2x.同理可证

RFRD111

△BDF^AECG,所以一=—，因为BD=—AB=—CE,所以Bb=—EG=

EGEC222

；x.在RrABDF中，由勾股定理得BD=4DF2+BF1=Jx2+（y%）2=*x,所以

AD=@x,所以CE=AB=2AD=7^X.因为DE〃BC,所以空=当=（，

2ACAD2

所以AE=gAC=CE=6x.

在RfZ^ADE中，由勾股定理得DE==樗》）2+（氐）2=，x.因^

DEF的面积为1,所以;DE・DF=1,即gx|x・x=l,解得x=|石，所以

DE=|X|A/5=75»因为AD=BD,AE=CE,所以BC=2DE=2正，因此本

题选D.

二、填空题1本大题共8道小题）

11.【答案】师ZACD=ZB,ZCAD=ZBAC,：.^ACD^AABC,

ACADAC2

/.AB=AC,即2+3=AC,

：.AC=fi^^4。=-呵舍去）.

12.【答案】54

13.【答案】（生2）

3

【解析】•.•将△AOB以点0为位似中心，2为位似比作位似变换，得到△40B,

3

A（2,3）,...点4的坐标是:（2x2,2x3）,即Ai（生2）.故答案为：（生2）.

3333

54

14.【答案】—

85

【解析】本题考查平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质.已知N

ACB=90°,AC=3,BC=4,由勾股定理，得45=5.CD1AB,由三角形的面

积，得CD=AC8C=乜易得△ABCSAACDS^CBD,由相似三角形对应

AB5

边成比例，得AD=A。A。=2,BD=BCBC=—.过点E作EG〃AB交CO

AB5AB5

于点G,由平行线分线段成比例，得DG=LCD=9,EG=J所以空=丝，

255GFEG

9

即卢_=&,所以。E=,故答案为四.

。乡85

55

15.【答案】9&

【解析】如图，过。作£>H_L4C于〃，则乙4"。=90。,

•.•在等腰RtA48C中，ZC=90°,AC=15,

AC=BC=15,ZC4D=45°,

ZADH=9Q°-ZCAD=45°=ZCAD,

：.AH=DH,

：.CH=AC-AH=\5-DH,

,：CFA.AE,:.NDHA=NDFA=90°,

又NANH=ZDNF,：.ZHAF=ZHDF,

.PHCH

：.SDUC

AACEA,"7c-cF

,:CE=2EB,CE+BE=BC=i5,，CE=10,

.DH\5-DH

••-----=-----------,

1510

:.DH=9,

AD="JAH2+DH2=9>/2»故答案为：9\/2-

16.【答案】26一1

【解析】设BE=x,则AB=AE+BE=2+x.•.•四边形ABCD是矩形，；.CD=AB

=2+x,AB〃CD,.*.ZDCE=ZBEC.由折叠得NBEC=/DEC,EF=BE=x,

/.ZDCE=ZDEC.，DE=CD=2+x.*.•点D,F,E在同一条直线上，；.DF=

DCDFx+2

DE—EF=2+x—x=2.：AB〃CD,ADCF^AEAF,:.EA=EF.:.2

2____

=x,解得%1=逐-1,x2=一6-1.经检验，xl=布-1,x2=一6一1都

是分式方程的根•••”>（），即BE=^—1.

17.【答案】78【解析】如解图，过A作AH_LBC,VAB=15,AC=20,ZBAC

=90°,...由勾股定理得，BC=）152+勾2=25,VAD=5,.*.DC=20-5=15,

VDE1BC,ZBAC=90°,AACDE^ACBA,，齐=7^，/.CE=^|x20=12.

CACDZJ

法-*：BC,AH—AB-AC,AH—口r-—TZ—12,SAABE=^^12X13—78.

DUZDz

法二：DE=-152—122=9,由△CDEs/\CAH可得，胃=瞿，，AH=^1^=

YLAHAID

亚一

18.【答案】1;1

2

【解析】本题考查了圆的基本性质，角平分线性质，平行相似，相似判定与性质,

(1)EHLMN,又〈MN是直径,NE平分/MNP,PQ工MN,，易证出PE

•ME_EH_PF

=EH=HF=PF,EH//PQ,：.4EMHS4PMQ,

’•丽一而一而

尸"+PE_ME_卜PE_]

~PQPM~~PM~PM~'

(2)由相似基本图射影型得：解得PN?=QN・MN又,：PN?=PM•MN,：.QN=

PM,设QN=PM=a,MQ=b,由相似基本图射影型得：解得PM?=MQ・MN,

02=岫+劝解得，=(T+/)«或匕=£1二^^(舍去).•.理=2=上；

22NQa2

因此本题答案为1;3二

三、解答题(本大题共4道小题)

19.【答案】

解：设这个正方形零件的边长为xmm,则4AEF的边EF上的高AK=(80-

x)mm.

・••四边形EFHG是正方形，；.EF〃GH,即EF〃BC./.AAEF^AABC.

EFAKx80-x

/.BC~AD,即120—80..•.x=48..•.这个正方形零件的边长是48mm.

20.【答案】

解:BD平分ZABC,：.ZABD=ZCBD.

,:AB〃CD,:.ND=NABD,：.NCBD=ND,：.CD=BC=6.

I29I~~29

在RSABC中，AC以AB-BCJ10-6=8

"：AB//CD,:.XABEs/\CDE,

CEDECD63

...AE=BE=AB=10=5,

3333

CE=^AE,DE±BE,即CE至4。=叔8=3.

在RtABCE中，BE=\，BC2+CE」6~+32=35

DEqBE士x3*=^.

21.【答案】

⑴证明：•••△ABC为等边三角形，

...NA3C=NC=NC4B=60°,AB=BC,

在AABE和△BCD中，

ZBAE=ZCBD

AB=BC,

NABE=/BCD

：.AABE^ABCD(ASA)；

(2)解：..•△ABC为等边三角形，

AZABC=ZCAB=60°,AB=BC,

：.ZABE=ZBCD=\SO°-60°=120°.

.•.在△ABE和△BCD中，

/BAE=/CBD

AB=BC,

NABE=NBCD

：.AABE^ABCD(ASA),

：.BE=CD.

,：DHLAB,

：.ZDHA=90°,

VZC4B=60°,

/.ZADH=30°,

：.AD=2AH,

：.AC=AD-CD=2AH-BE；

(3)解：如解图，作。SLBC延长线于点S,作“加〃4。交8。于点M,

D

解图

'：AC=6,BE=2,

.,.由(2)得A"=4,BH=2,

与(1)同理可得3E=CD=2,CE=8,

VZSCD=ZACB=6Q°,

AZCD5=30°,

，CS=1,SO=小，BS=7,

'：BD2=BS2+SD2=l2+(43)2,

：.BD=2g,

\'EK//BD,

：./\CBD^/\CEK,

.CBCDBD

''~CET~CK=~EK,

CD•CE2X88CE•BD8X27158713

,,CK=CB=~T=VEK=CB=6=3'

^HM/ZAC,

：.ZHMB=ZACB=60°,

...△HMB为等边三角形，BM=BH=HM=2,

CM=CB-BM=4,

又‘：HM"AC,

：./\HMGS/\KCG,

.HMMG

''~KC=~CG'

2