2023-2024学年辽宁省重点高中沈阳市郊联体高二上学期10月月考数学试题（解析版）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页第Page\*MergeFormat1页共NUMPAGES\*MergeFormat19页2023-2024学年辽宁省重点高中沈阳市郊联体高二上学期10月月考数学试题一、单选题1．已知向量，，且，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由向量平行关系可求得的值，进而求得结果.【详解】，，，.故选：A.2．若，则直线与平面的位置关系是（

）A．相交 B．平行 C．在平面内 D．平行或在平面内【答案】D【分析】利用向量的基本定理及线面平行的性质即可求解.【详解】因为，所以由平面向量基本定理知，三向量共面，所以直线与平面的位置关系是平行或在平面内.故选：D.3．已知平面直角坐标系中点且直线的法向量是，则实数的值是（

）A． B． C．3 D．1【答案】C【分析】根据与法向量垂直可求实数的值.【详解】，因为直线的法向量是，故，故，故选：C.4．直线l经过两点，那么直线l的倾斜角的取值范围为（

）A． B．∪C． D．【答案】D【分析】根据题意先求出直线的斜率，再由斜率与倾斜角可求得答案.【详解】直线l的斜率，因为，所以，设直线l的倾斜角为，则，因为，所以或，所以直线l的倾斜角的取值范围是故选：D.5．直线的方程为，当原点到直线的距离最大时，的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出直线所过定点的坐标，分析可知当时，原点到直线的距离最大，利用两直线垂直斜率的关系可求得实数的值.【详解】直线方程可化为，由可得，所以，直线过定点，当时，原点到直线的距离最大，且，又因为直线的斜率为，解得.故选：B.6．直线的方向向量为，且过点，则点到l的距离为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据直线的方向向量为，取直线的一个单位方向向量为，计算代入空间中点到直线的距离公式即可求解.【详解】依题意，因为直线的方向向量为，所以取直线的一个单位方向向量为，由，可得，所以，，所以.故选：B.7．柏拉图多面体是柏拉图及其追随者对正多面体进行系统研究后而得名的几何体．下图是棱长均为1的柏拉图多面体，分别为的中点，则（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根据向量运算得，，再求即可.【详解】由柏拉图多面体的性质可知，侧面均为等边三角形，四边形为边长为1的菱形，又≌，所以，故四边形为正方形，同理四边形也为正方形．

取的中点，连接，则，同理，．故选：A．8．已知为平面外一点，到两边的距离都为，则到面的距离（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】过点作，交于，作，交于，过作平面，交平面于，则，从而，由此能求出到平面的距离．【详解】，为平面外一点，，点到两边，的距离均为，过点作，交于，作，交于，过作平面，交平面于，连接，，则，故所以，又，到平面的距离为．故选：B．二、多选题9．给出下列命题，其中正确的命题是（

）A．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线B．若对空间中任意一点，有，则四点共面C．若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底D．是共线的充要条件【答案】BC【分析】根据线面垂直、基底、共面、点面距等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A选项，虽然，但是无法判断是否在平面外，所以A选项错误.B选项，由，得，所以，所以共面，所以四点共面，所以B选项正确.C选项，用反证法，若共面；设，因为不共面，所以，方程无解，所以不共面，可以构成空间的一个基底，所以C选项正确.D选项，是反向共线，同向共线得出，共线不能得出，是共线的充分不必要条件，D选项错误.故选：BC.10．下列说法错误的是（

）A．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是B．若三条直线不能构成三角形，则实数的取值集合为C．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为或D．过两点的直线方程为【答案】BCD【分析】求出直线与坐标轴的交点坐标即可判断A；分两种情况判断B；分直线经过原点和不经过原点两种情况求解，从而判断C；由直线的方程的两点式方程的限制条件可判断D.【详解】对于A，直线与轴和轴的交点分别为，，所以与两坐标轴围成的三角形的面积，故A正确；对于B，三条直线不能构成三角形，分两种情况：①三条直线相交于一点，即为原点，此时有，所以；②直线与或平行，则或，所以或，所以满足题意的的实数的取值集合为，故B错误；对于C，当直线过原点时，其方程为；当直线不过原点时，设其方程为，又直线过点，所以，解得，此时直线方程为，即，综上，所求直线方程为或，故C错误；对于D，由直线的两点式方程可知，当或时，此方程无意义，即直线的两点式方程不能表示垂直于坐标轴的直线，故D错误.故选：BCD11．在正三棱柱中，所有棱长为1，又与交于点，则（

）A．= B．C．三棱锥的体积为 D．与平面BB′C′C所成的角为【答案】AC【解析】画出正三棱柱，对选项A，由向量的线性运算表示出；对选项B，判断是否为直角三角形；对选项C，用棱锥体积公式计算；对选项D，利用线面垂直，得出即与平面BB′C′C所成的角，放在直角中求解.【详解】由题意，画出正三棱柱如图所示，向量，故选项A正确；在中，，，，，所以和不垂直，故选项B错误；在三棱锥中，，点到平面的距离即中边上的高，所以，所以，故选项C正确；设中点为，所以，又三棱柱是正三棱柱，所以平面，所以即与平面BB′C′C所成的角，，所以，故选项D错误.故选：AC【点睛】本题主要考查向量的线性运算、求棱锥的体积和线面角的求法，考查学生的数形结合能力和计算能力，属于中档题.12．已知正方体的棱长为2，点为棱的中点，点在侧面上运动，且直线平面，下列说法正确的是（

）A．点的轨迹长度为B．直线与直线所成的角记为，则的最小值为C．平面与平面所成的锐二面角记为，则D．平面将正方体分成的两部分体积之比为【答案】ABC【分析】利用线面平行的性质，结合空间向量夹角公式、棱台体积公式逐一判断即可.【详解】A：建立如图所示的空间直角坐标系，线段的中点分别为，连接，因为点为棱的中点，点为棱的中点，所以，由正方体的性质可知，所以，因此平面就是平面，因为点为棱的中点，点为棱的中点，所以有且，由正方体的性质可知且，于是有且，所以四边形是平行四边形，则有，而平面，平面，所以平面，因为点为棱的中点，点为棱的中点，所以，由上可知，因此，而平面，平面，所以平面，而平面，所以平面平面，当点在线段时，则有平面，一定能直线平面，即点的轨迹为线段，显然，因此本选项正确；B：，，，因为点在线段，所以设，解得，所以，，，显然当时，有最小值，最小值为，因此本选项正确；C：，，设平面的法向量为，因此有，由正方体的性质可知平面的法向量为，所以，因此选项C正确；D：由上可知平面就是平面，所以三棱台的体积为，该正方体的体积为，所以平面将正方体分成的两部分体积之比为，或者为，因此本选项不正确，故选：ABC

【点睛】关键点睛：利用线面平行的判定定理和面面平行的判定定理确定平面和点的位置是解题的关键.三、填空题13．若直线与直线互相平行，则实数的值为．【答案】0【分析】根据题意结合直线平行运算求解，注意检验防止出现重合.【详解】直线与直线互相平行，则，解得或，当时，直线与直线互相平行，符合题意；当时，直线与直线重合，不符合题意；综上所述：.故答案为：014．过点且和的距离相等的直线方程是．【答案】或【分析】当斜率不存在时，验证不满足条件；当若斜率存在时，设直线方程为，利用点到直线的距离公式，列出方程求得的值，即可求解.【详解】若斜率不存在时，过点的直线为，此时不满足条件；若斜率存在时，设过点的直线，即．根据题意，可得，解得或，当时，直线方程为，当时，直线方程为综上可得，直线方程为或．故答案为：或15．长为4的线段的两端点在直二面角的两个面内，且与这两个面都成角，求异面直线与所成的角为．【答案】【分析】根据给定条件，利用空间向量求出异面直线AB与l所成的角作答.【详解】依题意，，，过作于，过作于，连，如图，

显然，则有，于是，又因为，有，，，，因此，而，则，所以异面直线AB与l所成的角为.故答案为：.16．如图所示在三棱锥中，侧面底面，底面是边长为1的正三角形，侧面中，，且为棱中点，则直线上任意一点与上任意一点距离的最小值为．【答案】/【分析】若是中点，连接，过作于，由面面、线面垂直的性质找到异面直线、的公垂线，结合异面直线距离的定义及已知求它们的最小距离.【详解】若是中点，为棱中点，底面是正三角形，连接，所以，故，由，则，而侧面底面，侧面，侧面底面，故面，又面，则，，面，所以面，面，则，过作于，则，又，所以是异面直线、的公垂线，故直线上任意一点与上任意一点距离的最小值为长度，又是边长为1，则，故.故答案为：四、解答题17．已知直线．(1)若与垂直，求实数的值；(2)若直线在两个坐标轴上的截距的绝对值相等，求实数的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据垂直可得参数满足的方程，从而可求参数的值.（2）根据截距均为0或相等或互为相反数分类计算后可得参数的值.【详解】（1）因为直线与垂直，所以解得.（2）因为直线在两个坐标轴截距的绝对值相等，所以当直线在两个坐标轴截距为0时，，解得；当直线在两个坐标轴截距相等且不为0时，直线的斜率为，故，解得；当直线在两个坐标轴截距相反且不为0时，直线的斜率为1，故，解得；综上所述或或.18．在棱长为的正四面体中，．(1)设，，用，，表示(2)若，且，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用向量的加、减、数乘运算即可求得；（2）先表示出，根据，即可解得．【详解】（1）因为，所以是棱的中点，所以，则，故．（2）因为，所以，在棱长为的正四面体中，，所以，解得：．19．已知直线，点，点，点在直线上移动，(1)求的最小值：(2)求的最大值，以及最大值时点的坐标【答案】(1)(2)最大值为6，【分析】（1）先把原式转化为两点间距离，再把两点间距离最小值转化为点到直线距离；（2）先求的对称点为，再写出直线与直线联立求点，把最值转化为两点间距离求解.【详解】（1）因为，令则原式为，点到直线距离是的最小值，即所以原式最小值为.（2）设关于直线的对称点为则解得所以的最大值为，并且取最小值时，即得，联立，此时所以最大值为6，此时.20．如图，在正四棱锥中，O为底面中心，，，M为PO的中点，.(1)求证：平面EAC；(2)求：（i）直线DM到平面EAC的距离；（ii）求直线MA与平面EAC所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)（i）；（ii）【分析】(1)建立空间直角坐标系，求出平面EAC的法向量与，即可判断出线面的位置关系.(2)利用第一问的法向量，与平行关系，用点到平面的距离公式可求得，（ii）平面EAC法向量由(1)可得，写出代入公式即可求得.【详解】（1）证明：连接BD，则O是BD的中点，且.在正四棱锥中，平面ABCD，，，所以，，以点O为坐标原点，OA，OB，OP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图，则，，，，，，，，，，，设平面EAC的法同量，则,即，取，得，∵，∴，∵DM在平面EAC外，∴平面EAC.（2）（i），∴直线DM到平面EAC的距高.（ii），则，∴直线MA与平面EAC所成角的正弦值为.21．在中，已知，，且边上的中线在轴上的截距为2.(1)求直线的一般式方程；(2)若点在轴上方，的面积为，且过点的直线在轴､轴上的截距相等，求直线的方程.【答案】(1)(2)或【分析】（1）得到点，然后利用两点式计算得到结果.（2）依题意得到的面积，假设点的坐标，求得点到直线的距离，并得到直线的方程，然后假设直线方程，代值计算即可.【详解】（1）根据题意得到点，又直线过点，根据两点式得直线的方程为，即.（2）因为的面积为，点是线段的中点，所以的面积为39.设点的坐标为，点到直线的距离为，因为，所以，解得.因为直线的方程为，即，所以点到直线的距离解得（舍去），所以点坐标为.当直线过原点时，直线的方程为，即.当直线不过原点时，设直线的方程为，将点坐标代入得，，此时直线的方程为.综上所述，直线的方程为或.22．如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的菱形，△PAD为等边三角形，平面平面ABCD，．(1)求点A到平面PBC的距离；(2)E为线段PC上一点，若直线AE与平面ABCD所成的角的正弦值为，求平面ADE与平面ABCD夹角的余弦值．【答案】(1)(2)【分析】（1）取AD中点O，连接OB，OP.通过证明，可得，.后由等体积法可求得点A到平面PBC的距离；（2）由（1），如图建立以O为原点的空间直角坐标系，由直线AE与平面ABCD所成的角的正弦值为，可得.求得平面ADE的法向量后，利用空间向量可得平面ADE与平面ABCD夹角的余弦值.【详解】（1）取AD中点O，连接OB，OP.∵为等边三角形，∴