新高考数学高频考点题型归纳06函数的单调性及最值（教师版）

专题06函数的单调性及最值一、关键能力理解函数的单调性，会判断函数的单调性，会用函数的单调性的功能去求最值、解不等式、比较大小，理解函数的最大（小）值的含义，会求函数的最大（小）值.二、教学建议主要以基本初等函数为载体，考查函数单调性的判定、函数单调区间的确定、函数单调性的应用（解不等式、确定参数的取值范围、比较函数值大小）、研究函数的最值等，常与奇偶性、周期性结合，有时与导数综合考查，也可以抽象函数为载体，加强对函数各种性质的理解。三、自主梳理知识点一函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．知识点二函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M(3)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M结论M为最大值M为最小值四、真题感悟1．（2021•甲卷）下列函数中是增函数的为A． B． C． D．答案：D解答：解：由一次函数性质可知在上是减函数，不符合题意；由指数函数性质可知在上是减函数，不符合题意；由二次函数的性质可知在上不单调，不符合题意；根据幂函数性质可知在上单调递增，符合题意．故选：．2．（2020•海南）已知函数在上单调递增，则的取值范围是A． B．， C． D．，答案：D解答：解：由，得或．令，外层函数是其定义域内的增函数，要使函数在上单调递增，则需内层函数在上单调递增且恒大于0，则，，，即．的取值范围是，．故选：．3．（2017•山东）若函数是自然对数的底数）在的定义域上单调递增，则称函数具有性质，下列函数中具有性质的是A． B． C． D．答案：A解答：解：当时，函数在上单调递增，函数具有性质，故选：．4．（2020•新课标Ⅱ）若，则A． B． C． D．答案：A解答：解：方法一：由，可得，令，则在上单调递增，且，所以，即，由于，故．方法二：取，，满足，此时，，可排除．故选：．5．（2017•新课标Ⅱ）函数的单调递增区间是A． B． C． D．答案：D解答：解：由得：，，，令，则，时，为减函数；时，为增函数；为增函数，故函数的单调递增区间是，故选：．6．（2016•天津）已知是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，若实数满足，则的取值范围是A． B．，， C．， D．，答案：C解答：解：是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，在上单调递减．，，．，解得．故选：．五、高频考点+重点题型考点一、判断函数的单调性（增减+区间）例1（1）函数f(x)=在（）A．(-∞，1)∪(1，+∞)上单调递增B．(-∞，1)∪(1，+∞)上单调递减C．(-∞，1)和(1，+∞)上单调递增D．(-∞，1)和(1，+∞)上单调递减（2）函数f(x)=xA.(−∞,−2]B.(−∞,1]C.[1,+∞)D.[4,+∞)（3）（2020·新课标Ⅱ）设函数，则f(x)（）A.是偶函数，且在单调递增 B.是奇函数，且在单调递减C.是偶函数，且在单调递增 D.是奇函数，且在单调递减【答案】（1）C（2）D（3）D（1）【解析】分离函数得f(x)=-1，结合函数y=-在(-∞，0)和(0，+∞)上单调递增，由平移即可判断.【详解】f(x)的定义域为{x|x≠1}.f(x)==-1=-1，因为函数y=-在(-∞，0)和(0，+∞)上单调递增，由平移关系得，(x)在(-∞，1)和(1，+∞)上单调递增.故选：C.（2）【解析】x2−2x−8≥0得x≥4或令x2−2x−8=t，则∴t=x2−2x−8∴原函数的单调递增区间为[4,+∞)，故选D.（3）【解析】由得定义域为，关于坐标原点对称，又，为定义域上的奇函数，可排除AC；当时，，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，排除B；当时，，在上单调递减，在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：在上单调递减，D正确.对点训练1．（2021·灌云县中学高三二模（理））下列函数中，是偶函数且在区间上单调递减的函数是（）A． B． C． D．f(x)=lg|x|答案：A【分析】由奇偶性的定义判断各个选项函数的奇偶性，排除B；结合反比例函数、二次函数、对数函数的单调性即可选出正确答案.【详解】解：因为，所以B不正确；A,C,D中函数定义域均关于原点对称，，A是偶函数；，C是偶函数；，所以D也是偶函数；当时，单调递减，故A正确；由二次函数的性质可得，此时递增，则C不正确；也单调递减，则D不正确；故选:A.对点训练2.【多选题】设函数f(x)在R上为增函数，则下列结论不一定正确的是（）A．y=在R上为减函数 B．y=|f(x)|在R上为增函数C．y=在R上为增函数 D．y=f(x)在R上为减函数【答案】ABC【解析】令可判断出ABC不正确，利用单调函数的定义判断可得结果.【详解】对于A，若f(x)=x，则y==，在R上不是减函数，A错误；对于B，若f(x)=x，则y=|f(x)|=|x|，在R上不是增函数，B错误；对于C，若f(x)=x，则y==，在R上不是增函数，C错误；对于D，函数f(x)在R上为增函数，则对于任意的x1，x2∈R，设x1<x2，必有f(x1)<f(x2)，对于y=f(x)，则有y1-y2=[f(x1)][f(x2)]=f(x2)f(x1)>0，则y=f(x)在R上为减函数，D正确.故选：ABC总结：确定函数的单调区间常见方法：1.利用基本初等函数的单调区间2.图象法：对于基本初等函数及其函数的变形函数，可以作出函数图象求出函数的单调区间.3.复合函数法：对于函数，可设内层函数为，外层函数为，可以利用复合函数法来进行求解，遵循“同增异减”，即内层函数与外层函数在区间D上的单调性相同，则函数在区间D上单调递增；内层函数与外层函数在区间D上的单调性相反，则函数在区间D上单调递减.4.变换法：已知函数单调性，判断的单调性4.导数法：不等式的解集与函数的定义域的交集即为函数的单调递增区间，不等式的解集与函数的定义域的交集即为函数的单调递减区间.考点二、讨论并证明函数的单调性（解答题）例2.（2021·广东省肇庆中学模拟）试讨论函数f(x)＝eq\f(ax,x－1)(a≠0)在(－1,1)上的单调性．【解析】(方法一：定义法)设－1<x1<x2<1，f(x)＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x－1＋1,x－1)))＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x－1)))，则f(x1)－f(x2)＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x1－1)))－aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x2－1)))＝eq\f(ax2－x1,x1－1x2－1).因为－1<x1<x2<1，所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0.故当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，函数f(x)在(－1,1)上单调递减；当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，函数f(x)在(－1,1)上单调递增．(方法二：导数法)f′(x)＝eq\f(ax′x－1－axx－1′,x－12)＝eq\f(ax－1－ax,x－12)＝－eq\f(a,x－12).当a>0时，f′(x)<0，函数f(x)在(－1,1)上单调递减；当a<0时，f′(x)>0，函数f(x)在(－1，1)上单调递增．对点训练1（2021·安徽蚌埠模拟）证明：函数f(x)＝ax2＋eq\f(1,x)(其中1<a<3)在[1,2]上的单调性．【解析】函数f(x)＝ax2＋eq\f(1,x)(1<a<3)在[1,2]上单调递增．证明：设1≤x1<x2≤2，则f(x2)－f(x1)＝axeq\o\al(2,2)＋eq\f(1,x2)－axeq\o\al(2,1)－eq\f(1,x1)＝(x2－x1)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a(x1＋x2)－\f(1,x1x2)))，由1≤x1<x2≤2，得x2－x1>0,2<x1＋x2<4，1<x1x2<4，－1<－eq\f(1,x1x2)<－eq\f(1,4).又因为1<a<3，所以2<a(x1＋x2)<12，得a(x1＋x2)－eq\f(1,x1x2)>0，从而f(x2)－f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)，故当a∈(1,3)时，f(x)在[1,2]上单调递增．对点训练2.已知函数，.讨论的单调性；【答案】当时，在单调递增；当时，在单调递增，在单调递减；【详解】函数的定义域为，.当时，，在单调递增；当时，令，得，当时，；当时，.所以在单调递增，在单调递减.综上所述，当时，在单调递增；当时，在单调递增，在单调递减.总结：1、定义法，2导数法考点三、已知单调性求参例3．定义在上的函数为递增函数，则头数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】根据定义域和单调性可知，再根据时的单调性判断出，由此求解出的取值范围..【详解】因为，所以时，即，由单调性可知，所以，解得；当时，为增函数，若单调递增，则只需，所以，解得，综上可知的取值范围是：，故选：D.对点训练1．(2021·河北模拟)函数f(x)＝2|x－a|＋3在区间[1，＋∞)上不单调，则a的取值范围是()A．[1，＋∞) B．(1，＋∞)C．(－∞，1) D．(－∞，1]【答案】B【解析】函数f(x)＝2|x－a|＋3的增区间为[a，＋∞)，减区间为(－∞，a]，若函数f(x)＝2|x－a|＋3在区间[1，＋∞)上不单调，则a>1.对点训练2.若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．答案：D【分析】由题意可得对于恒成立，分离参数可得，即可求解.【详解】因为，所以；又因为在上单调递增，所以在上恒成立，即在上恒成立，只需要，因为在单调递增，所以，所以.故选：D．对点训练3.（2021·湖南模拟）若函数是上的增函数，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由函数是上的增函数，则，解得，即实数的取值范围是，故选B。考点四、利用单调性解不等式例4（2021·江西）已知函数则不等式的解集为（）A． B．C． D．【答案】A【详解】易得函数在R上单调递增，则由可得，解得，故不等式的解集为.故选：A．对点训练1（2021·湖北高三二模（理））已知函数，若，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】根据函数为奇函数且在上单调递减可得求解.【详解】易知为上的奇函数，且在上单调递减，由，得，于是得，解得．故选：C．对点训练2．设函数，则满足的x的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】分析：首先根据题中所给的函数解析式，将函数图像画出来，从图中可以发现若有成立，一定会有，从而求得结果.详解：将函数的图像画出来，观察图像可知会有，解得，所以满足的x的取值范围是，故选D.考点五、利用单调性求最值例5、（2020·上海高三一模）设，，若，则的（）A．最小值为8 B．最大值为8C．最小值为2 D．最大值为2【答案】A【详解】因为，，所以，因为，所以，，则，故当时，最小，，故选：A.对点训练1（2020·全国高三专题练习）已知函数的最小值为2，则实数a=（）A．2 B．4 C．8 D．16【答案】B【详解】由得，故函数的定义域为，易知函数在上单调递增，所以，解得故选：B.对点训练2．(2021·山西省临汾模拟)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(logax，x>3，,mx＋8，x≤3.))若f(2)＝4，且函数f(x)存在最小值，则实数a的取值范围为()A．(1，eq\r(3)] B．(1,2]C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),3))) D．[eq\r(3)，＋∞)【答案】A【解析】因为f(2)＝2m＋8＝4，所以m＝－2，所以当x≤3时，f(x)＝－2x＋8.此时f(x)≥f(3)＝2.因为函数f(x)存在最小值，所以当x>3时，f(x)单调递增，且loga3≥2，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>1，,loga3≥logaa2，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>1，,a2≤3，))解得a∈(1，eq\r(3)]．对点训练3．（2017·浙江高考真题）若函数在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则的值A．与a有关，且与b有关 B．与a有关，但与b无关C．与a无关，且与b无关 D．与a无关，但与b有关答案：B【详解】因为最值在中取，所以最值之差一定与无关，选B．总结：求函数最值的四种常用方法(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.(3)均值不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用均值不等式求出最值.(4)解不等式法：创建目标的不等式，求解其范围，求出最值.考点六、利用单调性比较函数值的大小例6（2021·四川遂宁市·高三三模（文））已知函数，若，则（）A．B．C．D．【答案】D【详解】解：是上的减函数，是上的减函数，是上的减函数，，，，，．故选：．对点训练1．(2021·安徽合肥模拟)若2x＋5y≤2－y＋5－x，则有()A．x＋y≥0 B．x＋y≤0C．x－y≤0 D．x－y≥0【答案】B【解析】原不等式可化为2x－5－x≤2－y－5y，记函数f(x)＝2x－5－x，则原不等式可化为f(x)≤f(－y)．又函数f(x)在R上单调递增，所以x≤－y，即x＋y≤0.对点训练2．（2021·安徽省泗县第一中学高三其他模拟（理））已知，且，则下列式子中正确的是（）A． B． C． D．答案：D【分析】设，求出导数可得在上单调递增，在上单调递增，从而可判断A,B选项，设，求出其导数，得出单调性，可判断C，D选项，得出答案.【详解】设，则所以在上单调递增，在上单调递增.所以当，时，不能判断出与的大小.所以选项A,B都不正确.设.则，由，得，，得，所以在上函数单调递增，在函数单调递减，因为，且，，即.所以选项C不正确，线线D正确.故选：D.考点七、单调性与奇偶性结合使用例7．已知函数满足，且对任意的，都有，则满足不等式的的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【详解】根据题意可知，可转化为，所以在[0，+∞)上是增函数，又，所以为奇函数，所以在R上为增函数，因为，，所以，所以，解得，即x的取值范围是.对点训练1．已知偶函数y=f(x)在区间上是减函数，则下列不等式一定成立的是（）A． B．C． D．【答案】D【详解】因为偶函数y=f(x)在区间(﹣∞，0]上是减函数，所以f(x)在(0，+∞)上是增函数，对于A，f(﹣3)=f（3），0<2<3，所以f（2）<f（3）=f(﹣3)，故A错误；对于B，f(﹣2)=f（2），2>1>0，所以f(﹣2)=f（2）>f（1），故B错误；对于C､D，f(﹣1)=f（1），0<1<2，所以f(﹣1)=f（1）<f（2），故C错误，D正确.故选：D.对点训练2．已知函数，则满足的x的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为，所以，即为偶函数，当时，单调递增，且，可得，即，所以，即.所以，解得.故选：D.对点训练3．已知定义域为R的偶函数y＝f（x）﹣3x在[0，+∞）单调递增，若f（m）+3≤f（1﹣m）+6m，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，2] B．[2，+∞） C．[，+∞） D．（﹣∞，]【答案】D【详解】设，由题意可知函数为偶函数，并且在[0，+∞）单调递增，由，得，即，所以，因为在[0，+∞）单调递增，所以，两边平方得，解得，所以实数m的取值范围是（﹣∞，]，故选：D巩固训练一、单选题1．（2021·全国高三其他模拟（理））已知函数的定义域为，，是偶函数，任意满足，则不等式的解集为（）A． B．C． D．【答案】D【分析】由是偶函数，得函数图像关于直线对称，结合单调性求解不等式即可得到结果.【详解】因为是偶函数，所以的图像关于直线对称，则，因为任意满足，所以在上单调递增，在上单调递减，故等价于，解得.故选：D2．（2020·北京东城区·高三期中）下列函数图象中，满足的只可能是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】由题意结合函数图象的特征逐项判断即可得解.【详解】对于A，函数在上单调递增，所以不满足，故A错误；对于B，函数在上单调递增，所以不满足，故B错误；对于C，函数图象开口朝上，且对称轴为，所以，故C错误；对于D，函数在上单调递减，在上单调递增，故可能满足，故D正确.故选：D.3．（2020·江西吉安市·高三月考（文））下列函数中，在其定义域上是减函数的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】对选项逐一分析函数的定义域和单调性，由此判断出正确选项.【详解】对于A选项，的定义域为，在定义域上没有单调性，不符合题意.对于B选项，，定义域为，在定义域上没有单调性，不符合题意.对于C选项，的定义域为，在上递增，不符合题意.对于D选项，的定义域为，在上递减，符合题意.故选：D【点睛】本小题主要考查函数的定义域和单调性，属于基础题.4．（2018·浙江嘉兴市·高三月考）已知，函数在上的最大值是5，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先由题意得到，分别讨论，，三种情况，即可求出结果.【详解】因为在上单调递减，因此；若，则的最大值为，符合题意；若时，的最大值为与中较大的，由，即，解得，显然时，的最大值为，时，的最大值不为定值．综上可得：时，在上的最大值是.故选A【点睛】本题主要考查由函数的最值求参数的问题，熟记函数单调性，灵活运用分类讨论的思想即可，属于常考题型.5．（2021·重庆一中高三其他模拟）已知函数在定义域上单调，且，则的值为（）A．3 B．1 C．0 D．﹣1【答案】A【分析】先求出函数的解析式，将代入计算即可.【详解】因为函数在定义域上单调，且，所以为常数，不妨设，则由得，解得：，所以，所以.故选：A6．（2021·四川高三三模（文））已知函数，记，，，则（）A． B．C． D．【答案】D【分析】先判断出的单调性，分别判断出a、b、c的范围，利用单调性比较a、b的大小，即可得到结论.【详解】，，令，解得：；令，解得：，所以在上单增，在上单减；因为，所以，所以;因为,,所以，所以.故选：D7．（2020·辽宁抚顺市·高三月考（文））已知函数在上是减函数，则的取值范围是（）.A． B． C． D．【答案】B【分析】求出的导函数，由函数在上是减函数，得到导函数恒小于0，结合二次函数的性质求解函数的最小值，推出结果即可．【详解】解：由，得到，因为在上是减函数，所以在上恒成立，所以，，，，所以，则的取值范围是．故选：B．【点睛】本题考查学生会利用导函数的正负判断函数的单调区间，灵活运用二次函数的性质解决实际问题，属于中档题．8．（2021·安徽高三一模（文））意大利著名天文学家伽利略曾错误地猜测链条自然下垂时的形状是抛物线．直到1690年，雅各布·伯努利正式提出该问题为“悬链线”问题并向数学界征求答案．1691年他的弟弟约翰·伯努利和菜布尼兹、惠更斯三人各自都得到了正确答案，给出悬链线的数学表达式——双曲余弦函数：（为自然对数的底数）．当，时，记，，，则，，的大小关系为（）．A． B． C． D．【答案】C【分析】先利用导数证明函数在区间上单调递增，再结合单调性比较大小即可.【详解】由题意知，，当时，，即函数在区间上单调递增，，即故选：C【点睛】关键点睛：解决本题的关键是利用导数证明函数的单调性，再结合单调性比较大小.二、多选题9．（2020·山东高三期末）已知函数，，则以下结论错误的是（）A．任意的，且，都有B．任意的，且，都有C．有最小值，无最大值D．有最小值，无最大值【答案】ABC【分析】根据与的单调性逐个判定即可.【详解】对A,中为增函数,为减函数.故为增函数.故任意的,且,都有.故A错误.对B,易得反例,.故不成立.故B错误.对C,当因为为增函数,且当时,当时.故无最小值,无最大值.故C错误.对D,,当且仅当即时等号成立.当时.故有最小值,无最大值.故选：ABC【点睛】本题主要考查了函数的单调性与最值的判定,需要根据指数函数的性质分析.属于基础题.10．（2022·全国高三专题练习）一般地，若函数的定义域为，值域为，则称为的“倍跟随区间”；若函数的定义域为，值域也为，则称为的“跟随区间”.下列结论正确的是（）A．若为的跟随区间，则B．函数存在跟随区间C．若函数存在跟随区间，则D．二次函数存在“3倍跟随区间”【答案】ABCD【分析】根据“倍跟随区间”的定义,分析函数在区间内的最值与取值范围逐个判断即可.【详解】对A,若为的跟随区间,因为在区间为增函数,故其值域为,根据题意有,解得或,因为故.故A正确；对B,因为函数在区间与上均为减函数,故若存在跟随区间则有,解得：.故存在,B正确.对C,若函数存在跟随区间,因为为减函数,故由跟随区间的定义可知,即,因为,所以.易得.所以,令代入化简可得,同理也满足,即在区间上有两根不相等的实数根.故,解得,