2021年中考数学压轴题答案解析

2021年中考数学压轴题

1.如图，已知。0的直径AC与弦BO相交于点F,点E是QB延长线上的一点，ZEAB=

ZADBi

(1)求证：AE是。。的切线；

(2)己知点8是E尸的中点，求证：△E4Fs/\C8A.

(3)已知A尸=4,CF=2,在(2)的条件下，求AE的长.

E

(1)证明：如图1,连接CD,

：AC是。0的直径，

ZADC=90°,

：.ZADB+ZEDC=90°,

NBAC=/EDC,/EAB=NADB,

：.ZEAC=ZEAB+ZBAC=90°,

；.AE是。。的切线.

(2)证明：如图2,连接BC,

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〈AC是OO的直径，

AZABC=90°,

：.ZCBA=ZABC=90°

•・・B是所的中点,

・••在RtZ\E4F中，AB=BF,

：.ZBAC=ZAFEf

：./\EAF^/\CBA.

(3)解：■:△EAFsXCBN,

.ABAC

"AF-EFf

VAF=4,CF=2.

・"C=6,EF=2ABf

AB6A”「

・・・一=——，解得AB=2V1

42AB

：.EF=4y/3,

'.AE=y/EF2—AF2=J(46)2_42=4四,

2.解决问题：

(1)如图①，半径为4的。。外有一点尸，且P0=7,点A在。。上，则出的最大值

和最小值分别是11和3.

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(2)如图②，扇形A08的半径为4,NAOB=45°,P为弧AB上一点，分别在0A边

找点E,在0B边上找一点F,使得△PEF周长的最小，请在图②中确定点E、F的位置

并直接写出△PE尸周长的最小值；

拓展应用

(3)如图③，正方形ABCQ的边长为4或；E是CO上一点(不与。、C重合)，CF±

BE于F,尸在BE上，且尸F=CF,M、N分别是AB、AC上动点，求△尸MN周长的最

小值.

解：(1)如图①，..•圆外一点P到这个圆上所有点的距离中，最大距离是和最小距离都

在过圆心的直线0P上，

此直线与圆有两个交点，圆外一点与这两个交点的距离个分别最大距离和最小距离.

：.PA的最大值=以2=尸0+042=7+4=11,

PA的最小值=%|=20-04=7-4=3,

故答案为11和3；

(2)如图②，以。为圆心，0A为半径，画弧AC和弧8£),作点P关于直线0A的对

称点Pi,作点尸关于直线0B的对称点尸2,连接Pi、P2,与。4、0B分别交于点E、F,

点E、尸即为所求.

连接0P1、。尸2、。尸、PE、PF,

由对称知识可知，ZAOPi^ZAOP,NB0P2=NB0P,PE=P\E,PF=P1F

：.ZAOP\+ZBOP1^NAOP+NBOP=/AO8=45°

NP1OP2=45°+45°=90°,

APi0P2为等腰直角三角形，

：.PlP2=显叫=4V2,

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△PEF周长=PE+PF+EF=PIE+P2F+EF=PiP2=4收,止匕时△「《下周长最小.

故答案为4注；

(3)作点P关于直线AB的对称Pi,连接AP、BPi,作点P关于直线AC的对称P2,

连接P、P2,与A3、AC分别交于点M、N.

由对称知识可知，PM=P\M,PN=P2N,丛PMN周长=PM+PN+MN=PMI+P2N+MN=

P1P2,

此时，△PMN周长最小=日「2.

由对称性可知，NBAPi=NBAP,NEAP2=NEAP,AP\=AP=API,

：.NBAP1+NEAP2=ZBAP+ZEAP=NBAC=45°

ZPIAP2=45°+45°=90°,

...△P1AP2为等腰直角三角形，

...△PMN周长最小值PP2=夜/lP,当AP最短时，周长最小.

连接DF.

,：CFLBE,且PF=CF,

PC

：.ZPCF=45°,—=Vr2

CF

；/AC£>=45°,

：.ZPCF=ZACD,

NPCA=NFCD

AC

又而3r

ACPC

.•.在△APC与△OFC中，一=一,ZPCA=ZFCD

CDCF

:.XAPCsXDFC,

APAC

：.—=—="2r,

DFCD

：.AP=y/2DF

'：ZBFC=90°,取BC中点。

.•.点尸在以BC为直径的圆上运动，当。、F、。三点在同一直线上时，力F最短.

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DF=DO-FO=70c2+CD2-0C=J(2V2)+(472)-272=2同-272,

：.AP最小值为4P=V2DF

此时，△PMN