新高考数学高频考点题型归纳23解三角形应用（教师版）

专题23解三角形应用一、关键能力1．正余弦定理在应用题中的应用．2．能准确地建立数学模型，并能运用正余弦定理等知识和方法解决一些与测量学、力学、运动学及几何计算有关的实际问题．二、教学建议从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个考查内容．预计2022年会强化对应用问题的考查．以与三角形有关的应用问题为主要命题方向，结合正、余弦定理求解平面几何中的基本量，实际背景中求距离、高度、角度等均可作为命题角度．试题可以为客观题也可以是解答题，难度以中档为主.三、自主梳理 1．用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等．2．实际问题中的常用角(1)仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方的角叫仰角，目标视线在水平视线下方的角叫俯角(如图①)．(2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等．(3)方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．(4)坡度＝eq\f(高度,宽度)，即坡角的正切值．四、高频考点+重点题型考点一、三角形数学文化题例1.（2021·山东省高三其他）在3世纪中期，我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出了割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”.这可视为中国古代极限观念的佳作.割圆术可以视为将一个圆内接正边形等分成个等腰三角形(如图所示)，当变得很大时，等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积.运用割圆术的思想，可得到sin3°的近似值为（）(取近似值3.14)A．0.012 B．0.052C．0.125 D．0.235【答案】B【解析】当时,每个等腰三角形的顶角为,则其面积为,又因为等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积,所以,故选：B对点训练1.（2021·辽宁高三其他模拟）英国数学家约翰・康威在数学上的成就是全面性的，其中“康威圆定理”是他引以为傲的研究成果之一．定理的内容是：三角形ABC的三条边长分别为a，b，c，分别延长三边两端，使其距离等于对边的长度，如图所示，所得六点仍在一个圆上，这个圆被称为康威圆．现有一边长为2的正三角形，则该三角形生成的康威圆的面积是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由“康威圆定理”可知的康威圆圆心即为三角形内切圆的圆心，正三角形内切圆的圆心即为中心，据此可得圆的半径，进一步可求其面积.【详解】康威圆的圆心即为三角形内切圆的圆心，正三角形内切圆的圆心即为中心，所以其康威圆半径为，故面积为．故选:C.对点训练2.（2021·浙江高考真题）我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明.弦图是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示).若直角三角形直角边的长分别是3，4，记大正方形的面积为，小正方形的面积为，则___________.【答案】25【解析】分别求得大正方形的面积和小正方形的面积，然后计算其比值即可.【详解】由题意可得，大正方形的边长为：，则其面积为：，小正方形的面积：，从而.故答案为：25.对点训练3.（2021·全国高考真题（理））魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点，，在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，称为“表距”，和都称为“表目距”，与的差称为“表目距的差”则海岛的高（）A．表高 B．表高C．表距 D．表距【答案】A【解析】利用平面相似的有关知识以及合分比性质即可解出．【详解】如图所示：由平面相似可知，，而，所以，而，即＝．故选：A.考点二、平面图形的实际应用海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被誉为“地球给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上已知最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的海洋蓝洞的口径(即A，B两点间的距离)，现取两点C，D，测得CD＝80，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，则图中海洋蓝洞的口径大小为．【解析】由已知得，在△ACD中，∠ACD＝15°，∠ADC＝150°，所以∠DAC＝15°，由正弦定理得AC＝eq\f(80sin150°,sin15°)＝eq\f(40,\f(\r(6)－\r(2),4))＝40(eq\r(6)＋eq\r(2))．在△BCD中，∠BDC＝15°，∠BCD＝135°，所以∠DBC＝30°，由正弦定理eq\f(CD,sin∠CBD)＝eq\f(BC,sin∠BDC)，得BC＝eq\f(CDsin∠BDC,sin∠CBD)＝eq\f(80×sin15°,\f(1,2))＝40(eq\r(6)－eq\r(2))．在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝1600×(8＋4eq\r(3))＋1600×(8－4eq\r(3))＋2×1600×(eq\r(6)＋eq\r(2))×(eq\r(6)－eq\r(2))×eq\f(1,2)＝1600×16＋1600×4＝1600×20＝32000，解得AB＝80eq\r(5).故图中海洋蓝洞的口径为80eq\r(5).【答案】80eq\r(5)对点训练1.（2021·永丰县永丰中学）为了测量河对岸两点C，D间的距离，现在沿岸相距的两点A，B处分别测得，，则间的距离为________.【答案】2【解析】在和中应用正弦定理求得，然后在中应用余弦定理可求得结果【详解】解：在中，由正弦定理得，即，得，在中，由，所以为等边三角形，,在中，，由余弦定理得，所以，故答案为：2对点训练2.（2021·合肥一六八中学高三其他模拟（文））“湖畔波澜飞，耕耘战鼓催”，合肥一六八中学的一草一木都见证了同学们的成长．某同学为了测量澜飞湖两侧C，D两点间的距离，除了观测点C，D外，他又选了两个观测点，且，已经测得两个角，由于条件不足，需要再观测新的角，则利用已知观测数据和下面三组新观测的角的其中一组，就可以求出C，D间距离的有（）组

①和；②和；③和A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】由已知条件结合正余弦定理，可判断所选的条件是否可以求出.【详解】由，，∴可求出、，①和：△中，即可求；②和：可求、，则在△中求；③和：可求，则在△中，即可求；∴①②③都可以求.故选：D考点三、立体图形的实际应用例3.（2021·全国高考真题（理））2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影满足，．由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A，C两点到水平面的高度差约为（）（）A．346 B．373 C．446 D．473【答案】B【解析】通过做辅助线，将已知所求量转化到一个三角形中，借助正弦定理，求得，进而得到答案．【详解】过作，过作，故，由题，易知为等腰直角三角形，所以．所以．因为，所以在中，由正弦定理得：，而，所以，所以．故选：B．对点训练1..（2021·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中高三其他模拟（理））某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：在处（点在水平地面的下方，为与水平地面的交点）进行该仪器的垂直弹射，水平地面上两个观察点，两地相距100米，，其中到的距离比到的距离远40米．地测得该仪器在处的俯角为，地测得最高点的仰角为，则该仪器的垂直弹射高度为（）A．210米 B．米 C．米 D．420米【答案】C【解析】在中利用余弦定理求出，进而在中可求出，再在中求出，即可得解．【详解】设，所以，在中，，，所以，，即，．在中，，所以，又在中，，所以，因此．故答案为：C．对点训练2.（2021·山东省青岛第一中学高一期中）如图所示，为测量山高选择A和另一座山的山顶为测量观测点，从A点测得点的仰角点的仰角以及从点测得，若山高米，则山高等于（）A．米 B．米C．米 D．米【答案】A【解析】在中，可求得AC，根据正弦定理，在中，可求得AM，在中，即可求得答案.【详解】因为在中，，，所以，在中，，由正弦定理得：，即，所以，在中，，所以（米）故选：A对点训练3.（2021·北京高三其他模拟）魏晋南北朝(公元)时期，中国数学在测量学取得了长足进展.刘徽提出重差术，应用中国传统的出入相补原理，通过多次观测，测量山高水深等数值，进而使中国的测量学达到登峰造极的地步，超越西方约一千年，关于重差术的注文在唐代成书，因其第一题为测量海岛的高度和距离(图1)，故题为《海岛算经》受此题启发，小清同学依照此法测量奥林匹克公园奥林匹克塔的高度和距离(示意图如图2所示)，录得以下是数据(单位：米)：前表却行，表高，后表却行，表间.则塔高__________米，前表去塔远近__________米.【答案】246122【解析】根据相似三角形的性质计算可得；【详解】解：依题意可得，，所以，又，，所以，解得，所以故答案为：；；考点四、与速度有关的实际应用题例4.（高考真题）如图，在某海滨城市O附近的海面上正形成台风.据气象部门检测，目前台风中心位于城市O的南偏东15°方向200km的海面P处，并以10km/h的速度向北偏西75°方向移动.如果台风侵袭的范围为圆心区域，目前圆形区域的半径为100km，并以20km/h【答案】4.1小时．【解析】根据题意可设t小时后台风中心到达A点，该城市开始受到台风侵袭，如图ΔPAO中，PO=200，PA=10t，AO=100+20t由余弦定理得，100+20t2=100t化简得t2+20解得t=102答：大约4.1小时后该城市开始受到台风的侵袭.对点训练1.（2021·四川成都市·成都七中高一期中）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西匀速行驶，在公路北侧远处一座高900米的山顶D的测得点A的在东偏南方向上过一分钟后测得点B处在山顶地的东偏南方向上，俯角为，则该车的行驶速度为（）A．15米/秒 B．15米/秒C．20米/秒 D．20米/秒【答案】A【解析】根据题意可得，再除以时间即可得解.【详解】根据题意，由B处在山顶俯角为，所以，由A东偏南，B东偏南，所以，所以为等腰三角形，所以，由，所以速度为米/秒，故选：A对点训练2.游客从某旅游景区的景点A处至景点C处有两条线路．线路1是从A沿直线步行到C，线路2是先从A沿直线步行到景点B处，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处同时出发匀速步行，甲的速度是乙的速度的eq\f(11,9)倍，甲走线路2，乙走线路1，最后他们同时到达C处．经测量，AB＝1040m，BC＝500m，则sin∠BAC等于．【解析】依题意，设乙的速度为xm/s，则甲的速度为eq\f(11,9)xm/s，因为AB＝1040m，BC＝500m，所以eq\f(AC,x)＝eq\f(1040＋500,\f(11,9)x)，解得AC＝1260m.在△ABC中，由余弦定理得，cos∠BAC＝eq\f(AB2＋AC2－BC2,2AB·AC)＝eq\f(10402＋12602－5002,2×1040×1260)＝eq\f(12,13)，所以sin∠BAC＝eq\r(1－cos2∠BAC)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,13)))2)＝eq\f(5,13).【答案】eq\f(5,13)Q巩固训练一、填空题1．为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A，B(如图)，要测量A，B两点的距离，测量人员在岸边定出基线BC，测得BC＝50m，∠ABC＝105°，∠BCA＝45°．就可以计算出A，B两点的距离为____________．A．20eq\r(2)m B．30eq\r(2)m C．40eq\r(2)m D．50eq\r(2)m答案：D解析：由正弦定理得，则AB＝50eq\r(2)(m)．2．2021·合肥一六八中学高三其他模拟（文））南宋数学家秦九韶著有《数书九章》，创造了“大衍求一术”，被称为“中国剩余定理”．他所论的“正负开方术”，被称为“秦九韶程序”．世界各国从小学、中学到大学的数学课程，几乎都接触到他的定理、定律和解题原则．科学史家称秦九韶：“他那个民族、他那个时代，并且确实也是所有时代最伟大的数学家之一”．在《数书九章》中提出“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上：以小斜幂乘大斜帮，减上，余四约之，为实：一为从隅，开平方得积可用公式（其中a，b，c，S为三角形的三边和面积）表示．在中，a，b，c分别为角A、B、C所对的边，若，且则面积的最大值为______．【答案】【解析】利用余弦定理化简已知条件得到的关系式，将的关系式代入所给的面积公式中，将面积转化为关于的函数形式，根据二次函数的对称轴求解出面积的最大值即可.【详解】因为，所以，所以，所以，所以，所以当时，有最大值为，故答案为：.3．如图，一艘船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处，且与它相距8eq\r(2)nmile．此船的航速是__________nmile/h．A．16 B．32 C．64 D．128答案：B解析：设航速为vnmile/h，在△ABS中，AB＝eq\f(1,2)v，BS＝8eq\r(2)nmile，∠BSA＝45°，由正弦定理，得eq\f(8\r(2),sin30°)＝eq\f(\f(1,2)v,sin45°)，∴v＝32nmile/h．4．某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼叫信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔轮在方位角为45°距离为10海里的C处，并测得渔轮正沿方位角为105°的方向，以9海里/小时的速度向小岛靠拢，我海军舰艇立即以21海里/小时的速度前去营救，则舰艇靠近渔轮所需的时间为____________小时．A．eq\f(1,2) B．eq\f(2,3) C．eq\f(3,4) D．1答案：B解析：如图，设舰艇在B′处靠近渔轮，所需的时间为t小时，则AB′＝21t，CB′＝9t．在△AB′C中，根据余弦定理，则有AB′2＝AC2＋B′C2－2AC·B′Ccos120°，可得212t2＝102＋81t2＋2·10·9t·eq\f(1,2)．整理得360t2－90t－100＝0，解得t＝eq\f(2,3)或t＝－eq\f(5,12)(舍去)．故舰艇需eq\f(2,3)小时靠近渔轮．5．在△ABC中，若eq\f(a,cosA)＝eq\f(b,cosB)＝eq\f(c,cosC)，则△ABC的形状是________________．A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形答案：D解析：由正弦定理得eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，又eq\f(a,cosA)＝eq\f(b,cosB)＝eq\f(c,cosC)，所以eq\f(sinA,sinA)＝eq\f(sinB,sinB)＝eq\f(sinC,sinC)，即tanA＝tanB＝tanC，所以∠A＝∠B＝∠C，故△ABC为等边三角形．6．如图所示，从气球A上测得正前方的河流的两岸B、C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高度是46m，则河流的宽度BC约为________m．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin67°≈0．92，sin67°≈0．39，sin37°≈0．60，sin37°≈0．80，eq\r(3)≈1．73)A．46 B．50 C．54 D．60答案：D解析：过A点向地面作垂线，记垂足为D，则在Rt△ADB中，∠ABD＝67°，AD＝46m，∴AB＝eq\f(AD,sin67°)＝eq\f(46,0.92)＝50(m)．在△ABC中，∠ACB＝30°，∠BAC＝67°－30°＝37°，AB＝50m，由正弦定理，得BC＝eq\f(ABsin37°,sin30°)＝60(m)，故河流的宽度BC约为60m．7．某小区有一个四边形草坪ABCD，∠B＝∠C＝120°，AB＝40m，BC＝CD＝20m，则该四边形ABCD的面积等于__________m2．答案：500eq\r(3)解析：连结BD，在△BCD中，BC＝CD＝20，∠BCD＝120°，∴∠CBD＝30°，BD＝20eq\r(3)，S△BCD＝eq\f(1,2)×20×20×sin120°＝100eq\r(3)．在△ABD中，∠ABD＝120°－30°＝90°，AB＝40，BD＝20eq\r(3)，∴S△ABD＝eq\f(1,2)AB·BD＝eq\f(1,2)×40×20eq\r(3)＝400eq\r(3)，∴四边形ABCD的面积是500eq\r(3)m2．8．某同学骑电动车以24km/h的速度沿正北方向的公路行驶，在点A处测得电视塔S在电动车的北偏东30°方向上，15min后到点B处，测得电视塔S在电动车的北偏东75°方向上，则点B与电视塔的距离是________km．答案：3eq\r(2)解析：如题图，由题意知AB＝24×eq\f(15,60)＝6，在△ABS中，∠BAS＝30°，AB＝6，∠ABS＝180°－75°＝105°，∴∠ASB＝45°，由正弦定理知eq\f(BS,sin30°)＝eq\f(AB,sin45°)，∴BS＝eq\f(AB·sin30°,sin45°)＝3eq\r(2)．9．如图，一栋建筑物的高为(30－10eq\r(3))m，在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD．在它们之间的地面点M(B，M，D三点共线)处