9.第九节二次函数综合题

第三章函数第九节二次函数综合题(建议时间：分钟)1.(2019三明5月质检)已知二次函数y1＝mx2－nx－m＋n(m>0).(1)求证：该函数图象与x轴必有交点；(2)若m－n＝3.①当－m≤x＜1时，二次函数的最大值小于0，求m的取值范围；②点A(p，q)为函数y2＝|mx2－nx－m＋n|图象上的动点，当－4＜p＜－1时，点A在直线y＝－x＋4的上方，求m的取值范围.2.抛物线y＝ax2＋bx＋c与直线y＝mx＋n交于M(0，－eq\f(1,2))、N(m－b，m2－mb＋n)两点，其中a，b，c，m，n为实数，且a，m不为0.(1)求c的值；(2)设抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的两个交点是(x1，0)和(x2，0)，若b＝1，求此时抛物线的解析式以及x1＋x2的值；(3)若m＝1，－1≤b≤2，求MN2＋3ON2的最大值.参考答案第九节二次函数综合题1.(1)证明：∵Δ＝(－n)2－4m(－m＋n)＝(n－2m)2≥0，∴该函数图象与x轴必有交点；(2)解：①∵m－n＝3，∴n＝m－3.∴y1＝mx2－nx－m＋n＝mx2－(m－3)x－3.当y1＝0时，mx2－(m－3)x－3＝0，解得x1＝1，x2＝－eq\f(3,m).∴二次函数图象与x轴交点为(1，0)和(－eq\f(3,m)，0).∵当－m≤x＜1时，二次函数的最大值小于0，∴－eq\f(3,m)＜－m＜1.又∵m＞0，∴0＜m＜eq\r(3)；②∵y2＝|mx2－nx－m＋n|，m－n＝3，∴当x＜－eq\f(3,m)或x＞1时，y2＝mx2－(m－3)x－3，当－eq\f(3,m)≤x≤1时，y2＝－mx2＋(m－3)x＋3.∵当－4＜p＜－1时，点A在直线y＝－x＋4的上方，∴情况一：当－1＜－eq\f(3,m)，即m＞3时，有m×(－1)2－(m－3)×(－1)－3≥－(－1)＋4，解得m≥eq\f(11,2)；情况二：当－eq\f(3,m)＜－4，即m＜eq\f(3,4)时，有－m×(－1)2＋(m－3)×(－1)＋3≥－(－1)＋4且－m×(－4)2＋(m－3)×(－4)＋3≥－(－4)＋4，∴m≤eq\f(7,20).又∵m＞0，∴0＜m≤eq\f(7,20).综上所述，符合条件的m的取值范围为0＜m≤eq\f(7,20)或m≥eq\f(11,2).2.解：(1)∵M(0，－eq\f(1,2))在y＝ax2＋bx＋c上，∴－eq\f(1,2)＝a×02＋b×0＋c，.∴c＝－eq\f(1,2)；(2)将点M(0，－eq\f(1,2))代入直线y＝mx＋n得n＝－eq\f(1,2)，∵点N(m－b，m2－mb＋n)在y＝ax2＋bx＋c上，∴m2－mb－eq\f(1,2)＝a(m－b)2＋b(m－b)－eq\f(1,2).∴(a－1)(m－b)2＝0.若m－b＝0，则N(m－b，m2－mb＋n)与M(0，－eq\f(1,2))重合，与题意不符.∴a＝1.又∵b＝1，∴抛物线y＝ax2＋bx＋c＝x2＋x－eq\f(1,2).Δ＝b2－4ac＝12－4×(－eq\f(1,2))＝3＞0，∴抛物线与x轴有两个交点.∴由根与系数的关系得x1＋x2＝－1；(3)∵m＝1，∴N(1－b，eq\f(1,2)－b).∴MN2＋3ON2＝2(1－b)2＋3[(1－b)2＋(eq\f(1,2)－b)2]＝8b2－13b＋eq\f(23,4)＝8(b－eq\f(13,16))2＋eq\f(15,32).①当－1≤b＜eq\f(13,16)时，当b＝－1时，MN2＋3ON2取得最大值，最大值为8×(－1－eq\f(13,16))2＋eq\f(15,32)＝eq\f(107,4)；②当eq\f(13,16)≤b≤2时，当b＝2时，MN2＋3ON2取最大值，最大值为8×(2－eq\f(13,16))2＋eq\f(15,32)＝eq\f(47,