初中数学湘教版九上4.2 正切 课件

4.2

正切

第4章锐角三角函数智者乐水，仁者乐山图片欣赏思考：衡量山“险”与“不险”的标准是什么呢？陡陡意味着倾斜程度大！想一想:你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？铅直高度水平宽度ACB相关概念正切的定义

从梯子的顶端

A到墙角

C的距离，称为梯子的铅直高度从梯子的底端

B到墙角

C的距离，称为梯子的水平宽度梯子与地面的夹角∠ABC称为倾斜角问题1:你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？合作探究1ABCDEF倾斜角越大——梯子越陡AB（C）问题2:如图，梯子

AB和

EF哪个更陡？你是怎样判断的？当铅直高度一样，水平宽度越小，梯子越陡当水平宽度一样，铅直高度越大，梯子越陡甲乙问题3:如图，梯子

AB和

EF

哪个更陡？你是怎样判断的？当铅直高度与水平宽度的比相等时，梯子一样陡3m6mDEFC2mB4mA问题4:你有几种方法比较梯子

AB

和

EF

哪个更陡？当铅直高度与水平宽度的比越大，梯子越陡.3m2m6m5mABCDEF倾斜角越大，梯子越陡.总结:铅直高度与水平宽度的比和倾斜角的大小都可用来判断梯子的倾斜程度.若小明因身高原因不能顺利测量梯子顶端到墙脚的距离B1C1，进而无法刻画梯子的倾斜程度，他该怎么办？你有什么锦囊妙计？AC1C2B2B1合作探究2两个直角三角形相似(2)和

有什么关系?(3)如果改变

B2在梯子上的位置

(如

B3C3)呢?思考：由此你得出什么结论?AB1C2C1B2C3B3想一想相等相似三角形的对应边成比例(1)Rt△AB1C1和Rt△AB2C2有什么关系?

在直角三角形中，我们把锐角

A

的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作

tanA，即ABC∠A的对边∠A的邻边┌tanA=归纳总结结论：tanA的值越大，

梯子越陡.∠A的对边∠A的邻边定义中的几点说明：1.初中阶段，正切是在直角三角形中定义的，

∠A是一

个锐角.

2.tanA是一个完整的符号，它表示∠A

的正切.但∠BAC的正切表示为：tan∠BAC.∠1

的正切表示为：tan∠1.3.tanA大于零

且没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中锐角∠A

的对边与邻边的比（注意顺序：）.4.tanA不表示“tan”乘以“A

”.5.tanA的大小只与∠A的大小和直角三角形的两边长的比值有关.ABC┌

锐角

A的正切值可以等于1吗？为什么？

可以大于1吗？

对于锐角A的每一个确定的值，tanA都有唯一的确定的值与它对应.解：可以等于

1，此时为等腰直角三角形；

也可以大于

1，甚至可逼近于无穷大.议一议例1下图表示两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡?解：甲梯中，β6m乙8mα5m┌甲13m乙梯中，∵tanβ＞tanα，∴乙梯更陡.提示：在生活中，常用一个锐角的正切表示梯子的倾斜程度.典例精析

1.

在

Rt△ABC中，∠C=90°，

AC=7，BC=5，则

tanA=_____，tanB=_____．练一练2.已知∠A，∠B为锐角，(1)若∠A=∠B，则tanA

tanB;

(2)若tanA=tanB，则∠A

∠B.==互余两锐角的正切值互为倒数.3.下图中∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为

D.

指出∠A和∠B的正切.(1)tanA==AC()CD(

)(2)tanB==BC()CD()

BCADBDACABCD4.如图，在Rt△ABC中，锐角

A的对边和邻边同时扩大100倍，tanA的值（

）A.扩大100倍B.缩小100倍C.不变

D.不能确定ABC┌C求

tan30°，tan60°

的值.从而AC2=AB2-

BC2=(2BC)2-

BC2=3BC2.解：如图，构造一个

Rt△ABC，使∠C=90°，∠A=30°，于是BC=AB

，

∠B=60°.由此得出AC=BC.因此因此合作探究说一说tan45°

的值tan45°

=1

30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如右表．

锐角

α三角函数值30°45°60°sinαcosαtanα归纳：1对于一般锐角α（30°，45°，60°除外）的正切值，我们也可用计算器来求.用计算器求锐角的正切值或根据正切值求角例如求

25°

角的正切值，可以在计算器上依次按键，显示结果为

0.6427…

如果已知正切值，我们也可以利用计算器求出它的对应锐角.例如，已知

tanα=0.8391，依次按键，显示结果为40.000…，表示角

α

约等于40°.总结归纳

从正弦、余弦、正切的定义看到，任意给定一个锐角

α，都有唯一确定的比值

sinα

(或

cosα，tanα)与它对应，并且我们还知道，当锐角

α

变化时，它的比值

sinα

(或

cosα，tanα)也随之变化.因此我们把锐角

α

的正弦、余弦和正切统称为

角

α

的锐角三角函数.

定义中应该注意的几个问题：1.sinA，cosA，tanA是在直角三角形中定义的，∠A是锐角(注意数形结合，构造直角三角形).2.sinA，cosA，tanA是一个完整的符号，分别表示

∠A的正弦，余弦，正切(习惯省去“∠”号).3.sinA，cosA，tanA是一个比值.注意比的顺序.且sinA，cosA，tanA均＞0，无单位.4.sinA，cosA，tanA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关.5.角相等，则其三角函数值相等；两锐角的三角函数值相等，则这两个锐角相等.例2

求下列各式的值：提示：cos260°

表示(cos60°)2，即(cos60°)×(cos60°).解：cos260°

+sin260°典例精析(1)cos260°

+sin260°；(2)解：练一练计算：(1)sin30°

+cos45°；解：原式

=(2)sin230°

+cos230°－tan45°.解：原式

=例3

已知△ABC中的∠A

与∠B

满足(1－tanA)2＋|sinB－|＝0，试判断△ABC

的形状．解：∵(1－tanA)2＋|sinB－|＝0，

∴tanA＝1，sinB＝∴∠A＝45°，∠B＝60°，

∠C＝180°－45°－60°＝75°，

∴△ABC是锐角三角形．练一练1.已知：|tanB－|＋(2sinA－)2＝0，求∠A，∠B的度数.解：∵|tanB－|＋(2sinA－)2＝0，

∴tanB＝，sinA＝∴∠B＝60°，∠A＝60°.2.已知

α

为锐角，且tan

α是方程x2+2x－3=0的一个根，求2sin2

α+cos2

α－tan(α

+

15°)的值．解：解方程x2+2x－3=0，得x1=1，x2=－3.∵tan

α＞0，∴tan

α=

1.∴α=45°.∴2sin2

α+cos2

α－tan(α

+

15°

)=2sin2

45°

+

cos2

45°－

tan

60°(1)在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5，

AC=12，tanA=().(2)在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5，

AB=13，tanA=()，tanB=().(3)在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5，tanA=，

AC=().1.完成下列填空：B

C

A2.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tanA=(

)A.B.C.D.D这个图呢？3.如图，P

是∠α

的边OA

上一点，点

P的坐标为，则=__________.M记得构造直角三角形哦！4.在等腰△ABC中，AB=AC=13，BC=10，求tanB.提示：过点

A作

AD垂直于

BC于点

D.求锐角三角函数时，勾股定理的运用是很重要的.ACB┌D解：如图，过点

A作

AD⊥BC交

BC于点

D，∴在Rt△ABD中，易知

BD=5，AD=12.5.在Rt△ABC中，∠C=90°，

AB=15，tanA=，求

AC和

BC.4k┌ACB153k解：如图，

∴设

BC=3k，AC=4k.∴BC=3k=3×3=9，AC=4k=4×3=12.6.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，求sinA、cosA、tanA的值．解：∵

AB＝10，BC＝6，

又∵ABC610变式1：如图，在Rt△ABC中，∠C＝