云南省曲靖市师宗县彩云中学高三数学文联考试题含解析

云南省曲靖市师宗县彩云中学高三数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.关于函数有下述四个结论：①的最小值为；②在上单调递增；③函数在上有3个零点；④曲线关于直线对称.其中所有正确结论的编号为（

）A.①② B.②③ C.②④ D.③④参考答案：D【分析】根据各个选项研究函数的性质，如最值，单调性，零点，对称性等．【详解】，①错；当时，，在上不是单调函数，实际上它在上递减，在递增，②错；当时，，函数无零点，当，即时，注意到是偶函数，研究时，，只有，因此在时，函数有三个零点，③正确；，∴曲线关于直线对称，④正确．∴正确结论有③④，故选：D．【点睛】本题考查正弦函数和余弦函数的图象和性质，本题的难点在于含有绝对值符号，因此我们可以通过绝对值定义去掉绝对值符号后研究函数的性质，如，然后分段研究．2.定义在上的偶函数满足，当时，，则（

）A．

B．C.

D．参考答案：C

【解析】∵由题意可得函数是以2为周期的周期函数且为偶函数，当x∈[0，1]时，f(x)=3x，∴f(－1)=f(1)=3，f(2)=f(0)=1，f(4)=f(0)=1，=，=，故选C.

3.设a1=3，则数列{an}的通项公式是an=（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】数列递推式．【分析】a1=3，，变形为：an﹣2=（an﹣1﹣2），利用等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：∵a1=3，，变形为：an﹣2=（an﹣1﹣2），∴数列{an﹣2}是等比数列，首项为1，公比为．∴an﹣2=．∴数列{an}的通项公式是an=2+=．故选：A．4.8名学生和2位教师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为

（

）（A）

（B）

（C）

（D）

参考答案：A5.把的图象经过某种平移得到的图象，则平移方式可为（A）按平移

（B）按平移

（C）先向右平移个单位再向上平移个单位（D）先向左平移个单位再向下平移个单位参考答案：B6.曲线f（x）=axn（a，n∈R）在点（1，2）处的切线方程是y=4x﹣2，则下列说法正确的是（）A．函数f（x）是偶函数且有最大值 B．函数f（x）是偶函数且有最小值C．函数f（x）是奇函数且有最大值 D．函数f（x）是奇函数且有最小值参考答案：B【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数奇偶性的判断．【分析】求导数，利用f（x）=axn（a，n∈R）在点（1，2）处的切线方程是y=4x﹣2，求出a，n，即可得出结论．【解答】解：∵曲线f（x）=axn，∴f′（x）=naxn﹣1，∵f（x）=axn（a，n∈R）在点（1，2）处的切线方程是y=4x﹣2，∴na=4，a=2，∴n=2，∴f（x）=2x2，∴函数f（x）是偶函数且有最小值0，故选：B．7.定义：表示的解集中整数的个数.若，且，则实数a的取值范围是（

）A. B. C. D.参考答案：B【分析】根据函数图象，结合，则有求解.【详解】因为如图所示：则有解得：故选：B【点睛】本题主要考查函数与不等式问题，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.8.函数的图象大致是

参考答案：D函数为奇函数，所以图象关于原点对称，排除A,B.当时，，排除C,选D.9.已知偶函数在区间上满足，则满足的的取值范围是A．

B．

C．

D．参考答案：D10.将函数y=sinx的图象上所有点向右平行移动个单位长度，再把所得的各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是(

) A．y=sin（2x﹣） B．y=sin（2x﹣） C．y=sin（﹣） D．y=sin（﹣）参考答案：D考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．解答： 解：将函数y=sinx的图象上所有点向右平行移动个单位长度，可得函数y=sin（x﹣）的图象；再把所得的各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式y=sin（x﹣），故选：D．点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在中，，与交于点，设=，=，则

(用,表示)参考答案：12.已知等比数列{an}的各均为正数，且，则数列{an}的通项公式为．参考答案：an=【考点】等比数列的性质；等比数列的通项公式．【专题】计算题．【分析】设公比为q，由题意可得a1（1+2q）=3且=4，解方程组求出首项和公比的值，即可得到数列{an}的通项公式．【解答】解：等比数列{an}的各均为正数，且，设公比为q，则可得

a1（1+2q）=3且=4，解得a1=，q=，故数列{an}的通项公式为an=×=，故答案为an=．【点评】本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式的应用，属于中档题．13.设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y），则|PA|+|PB|的最大值是．参考答案：2

【考点】两点间距离公式的应用．【分析】由直线过定点可得AB的坐标，由直线垂直可得|PA|2+|PB|2=|AB|2=10，由基本不等式可得．【解答】解：由题意可得动直线x+my=0过定点A（0，0），直线mx﹣y﹣m+3=0可化为（x﹣1）m+3﹣y=0，令可解得，即B（1，3），又1×m+m×（﹣1）=0，故两直线垂直，∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10，由基本不等式可得10=|PA|2+|PB|2=（|PA|+|PB|）2﹣2|PA||PB|≥（|PA|+|PB|）2﹣2（）2=（|PA|+|PB|）2，∴（|PA|+|PB|）2≤20，解得|PA|+|PB|≤2当且仅当|PA|=|PB|=时取等号．故答案为：2．14.已知正方体的棱长为4，点是的中点，点是内的动点，若，则点到平面的距离的范围是

.参考答案：[3,4]15.的值为

．参考答案：-216.已知二项式的展开式中各项系数和为256，则展开式中的常数项为

.（用数字作答）参考答案：28

17.把一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为，第二次出现的点数记为，方程组只有一组解的概率是_________．（用最简分数表示）参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数，（Ⅰ）求；（Ⅱ）求的最大值与最小值.参考答案：（Ⅰ）………………5分（Ⅱ）.因为，所以.又因为在区间上是递增，在区间上递减.所以，当，即时，有最大值；当，即时，有最小值.

……14分19.已知{an}是公差不为0的等差数列，a1=1，且a1，a3，a9成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若bn=，求证：数列{bn}的前n项和Sn＜1．参考答案：【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【分析】（1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．（2）利用“裂项求和”方法即可得出．【解答】（1）解：设等差数列{an}的公差为d≠0，∵a1，a3，a9成等比数列．∴，即（1+2d）2=1×（1+8d），化为：d2=d，d≠0，解得d=1．∴an=1+（n﹣1）=n．（2）证明：bn===．∴Sn=+…+=1﹣＜1．20.已知数列{}的前n项和为，且满足．(I)证明：数列为等比数列，并求数列{}的通项公式；(II)数列{}满足，其前n项和为，试求满足的最小正整数n．

参考答案：（Ⅰ）证明数列为等比数列.略,；（Ⅱ）8.解析：（Ⅰ）当时，；当时，；即（），且，故为等比数列（）.（Ⅱ）设

………………①…………②①②：∴，

∴，，∴满足条件的最小正整数略21.已知函数f（x）=ln﹣ax2+x，（1）讨论函数f（x）的极值点的个数；（2）若f（x）有两个极值点x1，x2，证明：f（x1）+f（x2）＞3﹣4ln2．参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，得到函数的单调区间，从而求出函数的极值的个数；（2）根据x1，x2是方程2ax2﹣x+1=0的两根，得到，，求出f（x1）+f（x2），根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（1）由，得：，（ⅰ）a=0时，，x∈（0，1），f′（x）＜0，x∈（1，+∞），f′（x）＞0，所以x=1，f（x）取得极小值，x=1是f（x）的一个极小值点．（ⅱ）a＜0时，△=1﹣8a＞0，令f′（x）=0，得显然，x1＞0，x2＜0，∴，f（x）在x=x1取得极小值，f（x）有一个极小值点．（ⅲ）a＞0时，△=1﹣8a≤0即时，f′（x）≤0，f（x）在（0，+∞）是减函数，f（x）无极值点．当时，△=1﹣8a＞0，令f′（x）=0，得当x∈（0，x1）和x∈（x2，+∞）f′（x）＜0，x∈（x1，x2）时，f′（x）＞0，∴f（x）在x1取得极小值，在x2取得极大值，所以f（x）有两个极值点．综上可知：（ⅰ）a≤0时，f（x）仅有一个极值点；（ⅱ）当时，f（x）无极值点；（ⅲ）当时，f（x）有两个极值点．（2）证明：由（1）知，当且仅当a∈（0，）时，f（x）有极小值点x1和极大值点x2，且x1，x2是方程2ax2﹣x+1=0的两根，∴，，===，设，，∴时，g（a）是减函数，，∴，∴f（x1）+f（x2）＞3﹣4ln2