江苏省淮安市凌桥中学高三数学文联考试题含解析

江苏省淮安市凌桥中学高三数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若点在曲线与所围成的封闭区域内（包括边界），则的最大值为（）A．－6B．4C．6D．8参考答案：C略2.下列函数中，最小正周期为的偶函数为（

）(A)

(B)(C)

(D)参考答案：A试题分析：这种问题首先应该把函数化简，，，，这时会发现只有A是偶函数，当然它的最小正周期也是，只能选A．考点：最小正周期，函数的奇偶性．

3.我们知道，可以用模拟的方法估计圆周率p的近似值，如图，在圆内随机撒一把豆子，统计落在其内接正方形中的豆子数目，若豆子总数为n，落到正方形内的豆子数为m，则圆周率p的估算值是（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】模拟方法估计概率．【分析】根据几何概型的概率公式，即可以进行估计，得到结论．【解答】解：设正方形的边长为2．则圆的半径为，根据几何概型的概率公式可以得到，即π=，故选：B．4.已知向量与的夹角为，=（2，0），||=1，则|﹣2|=（）A． B． C．2 D．4参考答案：C【考点】平面向量数量积的运算．【分析】求出及||，计算（）2的数值再开方即可．【解答】解：||=2，=||||cos=1，∴（）2=﹣4+4=4．∴|﹣2|=2．故选C．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，属于基础题．5.给出性质：①最小正周期为；②图象关于直线对称，则下列四个函数中，同时具有性质①②的是

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：B6.复数等于(

)A．1

B．－1

C．i

D．－i参考答案：C7.若对圆上任意一点，的取值与无关，则实数的取值范围是（

）A.

B.

C.或

D.参考答案：D要使符合题意，则圆上所有点在直线之间，因为圆心到直线的距离且，则所有圆心到直线的距离，且，解得，故答案选D．8.若则p是q成立的 A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件参考答案：A略9.函数的最大值和最小值分别是（）A．， B．，﹣2 C．2， D．2，﹣2参考答案：B【考点】三角函数的最值．【分析】由题意可得y=﹣（cosx﹣1）2+2，且cosx∈[﹣1，]，再利用二次函数的性质求得y的最大值和最小值．【解答】解：∵函数=1﹣cos2x+2cosx=﹣（cosx﹣1）2+2，∴cosx∈[﹣1，]，故当cosx=﹣1时，即x=π时，函数y取得最小值为﹣4+2=﹣2，当cosx=时，即x=时，函数y取得最大值为﹣+2=，故选：B．10.已知集合A={﹣1，0，1，2}，B={x|0≤x≤2}，则A∩B=（）A．{﹣1，0，1，2} B．{0，1，2} C．{0，1} D．{1，2}参考答案：B【考点】交集及其运算．【分析】根据交集的定义写出A∩B即可．【解答】解：集合A={﹣1，0，1，2}，B={x|0≤x≤2}，则A∩B={0，1，2}．故选：B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.（5分）（2015?浙江模拟）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为，以顶点A为球心，2为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于．参考答案：【考点】：球内接多面体．【专题】：计算题；空间位置关系与距离．【分析】：球面与正方体的六个面都相交，所得的交线分为两类：一类在顶点A所在的三个面上；另一类在不过顶点A的三个面上，且均为圆弧，分别求其长度可得结果．解：如图，球面与正方体的六个面都相交，所得的交线分为两类：一类在顶点A所在的三个面上，即面AA1B1B、面ABCD和面AA1D1D上；另一类在不过顶点A的三个面上，即面BB1C1C、面CC1D1D和面A1B1C1D1上．在面AA1B1B上，交线为弧EF且在过球心A的大圆上，因为AE=2，AA1=，则∠A1AE=．同理∠BAF=，所以∠EAF=，故弧EF的长为2?=，这样的弧共有三条．在面BB1C1C上，交线为弧FG且在距球心为的平面与球面相交所得的小圆上，此时，小圆的圆心为B，半径为1，∠FBG=，所以弧FG的长为．这样的弧也有三条．于是，所得的曲线长为×3+×3=．故答案为：．【点评】：本题为空间几何体交线问题，找到球面与正方体的表面相交所得到的曲线是解决问题的关键，属基础题12.已知向量，,若//,则实数等于______________.参考答案：略13.某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0．19．现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为

．

一年级二年级三年级女生373男生377370参考答案：1614.已知函数的导数为，且满足关系式则的值等于__________．参考答案：-915.设R，向量且，则．参考答案：16.的展开式中,的系数是__________.(用数字填写答案)参考答案：1017.已知是定义在上的偶函数，其导函数，若，且，，则不等式的解集为

．参考答案：（0，+∞）三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数.（1）求的定义域及最小正周期；（2）求的单调递减区间.参考答案：解：（1）由得，故的定义域为.因为===,所以的最小正周期.（2）函数的单调递减区间为.由得所以的单调递减区间为.19.选修4－2矩阵与变换若点A（2，2）在矩阵对应变换的作用下得到的点为B（－2，2），求矩阵M的逆矩阵．参考答案：选修4－2矩阵与变换解：

，即

，………4分所以

解得

……………6分所以．由，得．………10分另解：

＝1，．另解：，看作绕原点O逆时针旋转90°旋转变换矩阵，于是．20.已知函数.（1）当时，恒成立，求实数m的取值范围；（2）证明：当时，函数有最小值，设最小值为，求函数的值域.参考答案：解：（1）因为对恒成立，等价于对恒成立，设得，故在上单调递增，

当时，由上知，所以,即，所以实数的取值范围为；（2）对求导得，记，，由（1）知在区间内单调递增，又，所以存在唯一正实数，使得，当时，，，函数在区间单调递减；时，，，函数在区间单调递增；所以在内有最小值，

由题设即．

又因为．所以．根据（1）知，在内单调递增，，所以．令，则，函数在区间内单调递增，所以，即函数的值域为．

21.己知函数f（x）=sinxcosx+sin2x+（x∈R）（1）当x∈[﹣，]时，求函数f（x）的最小值和最大值；（2）设△ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且c=，f（C）=2，若向量=（1，a）与向量=（2，b）共线，求a，b的值．参考答案：【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】（1）首先，化简函数解析式f（x）=sin（2x﹣）+1，然后，结合x∈[﹣，]，利用三角函数的单调性求解最大值和最小值；（2）首先，求解C的大小，然后，利用共线的条件得到b=2a，再结合余弦定理求解即可．【解答】解：（1）∵函数f（x）=sinxcosx+sin2x+（x∈R）∴f（x）=sin2x++=sin2x﹣cos2x+1=sin（2x﹣）+1，∵﹣≤x≤，∴﹣≤2x﹣≤，∴﹣≤sin（2z﹣）≤1，从而1﹣≤sin（2x﹣）+1≤2，则f（x）的最小值是1﹣，最大值是2；（2）∵f（C）=sin（2C﹣）+1=2，则sin（2C﹣）=1，∵0＜C＜π，∴﹣＜2C﹣＜，∴2C﹣=，解得C=．∵向量=（1，a）与向量=（2，b）共线，∴b﹣2a=0，即b=2a①由余弦定理得，c2=a2+b2﹣2abcos，即a2+b2﹣ab=3②由①②解得a=1，b=2．【点评】本题综合考查了三角恒等变换公式、三角函数的图象与性质等知识，向量共线的条件，余弦定理等知识点，考查比较综合，属于中档题．22.在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C：+=1，以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l：ρ（cosθ﹣2sinθ）=6．（Ⅰ）写出直线l的直角坐标方程和曲线C的参数方程；（Ⅱ）在曲线C上求一点P，使点P到直线l的距离最大，并求出此最大值．参考答案：【考点】直线与椭圆的位置关系．【专题】方程思想；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（I）直线l：ρ（cosθ﹣2sinθ）=6，由互化公式可得直角坐标方程．由曲线C：+=1，利用平方关系可得可得C的参数方程．（II）设点P，θ∈[0，π）．则点P到直线l的距离d==，利用余弦函数的单调性即可得出．【解答】解