椭圆及其标准方程（一） 高二上学期数学人教A版选修2-1

§2.2.1椭圆及其标准方程第二章圆锥曲线与方程

椭圆双曲线抛物线数学实验：新课讲解椭圆的定义:

平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫椭圆。这两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点，两焦点之间的距离叫做椭圆的焦距。F1F2M思考：当常数等于|F1F2

|时，点M的轨迹是什么？当常数小于|F1F2

|时，点M的轨迹是什么？满足几个条件的动点的轨迹是椭圆？[1]平面内----这是前提[2]动点M

到两个定点F1、F2

的距离之和是常数2a

[3]常数2a

要大于焦距2cF1F2M满足几个条件的动点的轨迹是椭圆？[1]平面内----这是前提[2]动点M

到两个定点F1、F2

的距离之和是常数2a

[3]常数2a

要大于焦距2cF1F2M动点M的轨迹是线段F1F2.动点M没有轨迹.OXYF1F2M步骤一：建立直角坐标系步骤二：设动点坐标步骤三：列方程步骤四：化简方程求曲线方程的步骤:2、椭圆的标准方程步骤五：完备性检验解：取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系(如图).

设M(x,y)是椭圆上任意一点，椭圆的焦距2c(c>0)，M与F1和F2的距离的和等于正常数2a(2a>2c)

，则F1、F2的坐标分别是(

c,0)、(c,0).（想一想：下面怎样化简？）由椭圆的定义，代入坐标OxyMF1F2将方程移项后平方得：两边再平方得：由椭圆定义知：()()aycxycx22222=+-+++∴

这个方程叫做椭圆的标准方程，它所表示的椭圆的焦点在x轴上，焦点是F1(-c，0)、F2(c，0)，这里

c2=a2-b2

.

如果椭圆的焦点在y轴上，用类似的方法，可得出它的方程为：它也是椭圆的标准方程。两边同除以得：焦点在y轴：焦点在x轴：椭圆的标准方程1oFyx2FM12yoFFMx

F1（-c，0）、F2（c，0）

F1（0，-c）、F2（0，c）

注意理解以下几点：①在椭圆的两种标准方程中，都有的要求；

②在椭圆的两种标准方程中，由于，所以可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上；③椭圆的三个参数之间的关系是，其中大小不确定．（2），焦点在y轴上；（1），焦点在x轴上；课堂练习.写出适合下列条件的椭圆的标准方程:思考：观察图，你能从中找出表示的线段吗？由图可知，变式一:将上题焦点改为(0，-4)、(0，4)，结果如何？变式二:将上题改为两个焦点的距离为8，椭圆上一点P到两焦点的距离和等于10，结果如何？

已知两个焦点的坐标分别是(-4,0)、(4,0)，椭圆上一点P到两焦点距离的和等于10；例1.写出适合下列条件的椭圆的标准方程当焦点在X轴时，方程为：当焦点在Y轴时，方程为：变式1.椭圆焦距是4，并且经过点P，求标准方程。解：法1：若椭圆的焦点在x轴上，设它的标准方程为∵

c=2，且c2=a2

-b2

∴4=a2-

b2……①又∵椭圆经过点P∴……②∴椭圆的标准方程为

xyF1F2P联立①②可求得：变式1.椭圆焦距是4，并且经过点P，求标准方程。解：法1：若椭圆的焦点在y轴上，设它的标准方程为∵

c=2，且c2=a2

-b2

∴4=a2-

b2……①又∵椭圆经过点P∴……②∴椭圆的标准方程为

xyF1F2P法2：椭圆的定义求椭圆标准方程的步骤：（1）先判断焦点的位置，设出标准方程；（先定位）（2）根据椭圆定义或待定系数法求a,b.

（后定量)法3：椭圆在坐标轴上的交点坐标解方法一①当椭圆的焦点在x轴上时，∴a2＝1，b2＝9不合题意，即焦点在x轴上的椭圆的方程不存在.②当椭