工程数学试卷及答案

工程数学试卷及答案2018年1月得分评卷人一、单项选择题（每小题3分，共15分）1.B.至少有一发击中。2.A.X和Y独立。3.B.f(x)=0.5|x|，|x|≤2。4.B.对于任意的μ，P1<P2。5.A.D(X+c)=D(X)。二、填空题（每空3分，共15分）6.21。7.(1,0,-1)。8.1-(1-P)^3。9.1/2。10.12。三、计算题（每小题10分，共50分）11.傅氏变换为F(ω)=1/(β+jω)，其中j为虚数单位。证明：由于f(t)为实函数，所以F(ω)的共轭也是F(ω)。即F*(ω)=1/(β-jω)。因此F(ω)F*(ω)=1/(β^2+ω^2)。根据傅氏反演公式，得到f(t)=(1/2π)∫F(ω)e^(jωt)dω=(1/2π)∫F(ω)e^(-jωt)dω。将F(ω)F*(ω)代入可得f(t)=(1/2π)∫e^(-βt)dt=1/(2πβ)。1.发报台发出信号“1”的概率为：0.6*0.8+0.4*0.1=0.53。2.当收报台收到信号“1”时，发报台确是发出信号“1”的概率为：0.6*0.8/0.53=0.905。13.(1)常数c为1/16；(2)P(X≥Y)=∫∫{ce^[-(2x+4y)]}dxdy=1/2；(3)X与Y不相互独立，因为P(X≥1,Y≥1)=1/16≠P(X≥1)P(Y≥1)=3/16*1/4=3/64。14.设随机变量Xi表示第i个盒子中是否有球，Xi的期望为E(Xi)=n/N，因为每个球放入各个盒子是等可能的。设随机变量X表示有球的盒子数，则X=∑Xi，所以E(X)=E(∑Xi)=∑E(Xi)=n*N/N=n。15.(1)X的概率分布律为P(X=1)=1/6，P(X=2)=3/6，P(X=3)=2/6；X的分布函数为F(x)=0(x<1)，1/6(1≤x<2)，4/6(2≤x<3)，1(x≥3)。(2)EX=1*1/6+2*3/6+3*2/6=2。16.(1)A2=aaT*aaT=aaT(aT*a)=║a║2aaT=║a║2A。(2)设x为a的线性组合，即x=k1a1+k2a2+...+knan，则Ax=aaT(k1a1+k2a2+...+knan)=k1║a║2a+k2║a║2a+...+kn║a║2a=║a║2x，所以a是A的一个特征向量，而║a║2是A的n-1重特征值。(3)A不能相似于对角阵Λ，因为A只有一个线性无关的特征向量，而对角阵Λ需要n个线性无关的特征向量。17.设需要组织x吨货源，对应的收益为f(x)=3x*(min(x,4000)-2000)-(x-min(x,4000))*10000，求f(x)的最大值。当x≤2000时，f(x)=3x*(x-2000)，当2000<x≤4000时，f(x)=3x*(4000-2000)-(x-4000)*10000=-7x+20000。所以最大值出现在x=2000时，此时f(x)=3*2000*(4000-2000)=18000万元。根据付氏积分公式，将第一段话改写为：根据付氏积分公式，有：f(t)=1/2π∫F(β+jω)e^(jωt)dω代入公式β+jω=√(β^2+ω^2)e^(jarctan(ω/β))，得：f(t)=1/2π∫F(√(β^2+ω^2)e^(jarctan(ω/β)))e^(jωt)dω将其化简得到：f(t)=1/2π∫(cos(ωt)/√(β^2+ω^2))dω进一步化简得到：∫cos(ωt)/(β^2+ω^2)dω=πe^(βt)/(2β)将第二段话改写为：设事件A1为“发出信号1”，事件A0为“发出信号”，事件A为“收到信号1”。根据全概率公式，有：P(A)=P(A|A1)P(A1)+P(A|A0)P(A0)代入已知概率值得到：P(A)=0.8×0.6+0.1×0.4=0.52根据贝叶斯公式，有：P(A1|A)=P(A|A1)P(A1)/P(A)代入已知概率值得到：P(A1|A)=0.8×0.6/0.52=12/13将第三段话改写为：(1)根据联合概率密度的性质，有：∫∫f(x,y)dxdy=1代入已知函数得到：∫∫ce^-(2x+4y)dxdy=1解出c得到c=8。(2)根据定义，有：P(X≥Y)=∫∫f(x,y)dxdy,x≥y代入已知函数得到：P(X≥Y)=∫∫8e^-(2x+4y)dxdy,x≥y化简得到：P(X≥Y)=2/3(3)对于x>0，有：f_X(x)=∫f(x,y)dy=-2e^(-2x)对于x≤0，有：f_X(x)=∫f(x,y)dy=0同理可得f_Y(y)=4e^(-4y)。由于f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)，因此X与Y相互独立。将第四段话改写为：设事件Ai表示第i个盒子有球，i=1,2,...,N。则X表示有多少个盒子有球，有公式：X=∑Xi,i=1toN其中Xi为第i个盒子有球的指示函数，取值为0或1。根据概率公式，有：P(Xi=1)=n/NP(Xi=0)=1-n/N因此，有：E(Xi)=P(Xi=1)=n/N代入公式得到：E(X)=N(1-(1-n/N)^2)随机变量X的取值为1、2、3，且P{X=2}=P(X=3)=1/6。X的分布函数F(x)=P{X≤x}，当x<1时，F(x)=0；当1≤x<2时，F(x)=1/6；当2≤x<3时，F(x)=1/2；当x≥3时，F(x)=1。因此，P{X=1}=1/3。设矩阵A=[aa;aa]，则A²=[a²+aba²+ab;a²+aba²+ab]，而A·a=[a²+a·b;a²+a·b]，故a是A的一个特征向量。又A对称，故A必相似于对角阵diag(λ₁,λ₂,…,λₙ)=B，其中λ₁,λ₂,…,λₙ是A的特征值。因为rank(A)=1，所以rank(B)=1，从而λ₁,λ₂,…,λₙ中必有n-1个为0，即是A的n-1重特征值。又因为A的特征值都相同，故λ₁=a+a=2a，而B=2a·e·eᵀ，其中e=[1;1]，故B²=4a²·e·eᵀ=4B，即2B=B²，故2B是对角阵Λ=diag(║a║,0,…,0)的平方，即2Λ=diag(2║a║,0,…,0)，故A相似于2Λ。设y为预备出口的该商品的数量，这个数量介于2000与4000之间，用Z表示国家的收益（万元），则有Z=g(X)，其中X为出口量，当X≥y时，Z=3y；当X<y时，Z=3X-(y-X)。因X服从R(2000,4000)，故f_X(x)=1/2000，当