中考数学突破训练之压轴60题(深圳卷)附详细答案解析

2015年中考数学突破训练之压轴60题（深圳卷）一、选择题（共15小题）1．（2014•深圳）如图，已知四边形ABCD为等腰梯形，AD∥BC，AB=CD，AD=，E为CD中点，连接AE，且AE=2，∠DAE=30°，作AE⊥AF交BC于F，则BF=（）A．1 B．3﹣ C．﹣1 D．4﹣22．（2013•深圳）如图，已知l1∥l2∥l3，相邻两条平行直线间的距离相等，若等腰直角△ABC的三个顶点分别在这三条平行直线上，则sinα的值是（）A． B． C． D．3．（2012•深圳）如图，已知：∠MON=30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1=1，则△A6B6A7的边长为（）A．6 B．12 C．32 D．644．（2011•深圳）如图，△ABC与△DEF均为等边三角形，O为BC、EF的中点，则AD：BE的值为（）A．：1 B．：1 C．5：3 D．不确定5．（2010•深圳）如图所示，点P（3a，a）是反比例函数y=（k＞0）与⊙O的一个交点，图中阴影部分的面积为10π，则反比例函数的解析式为（）A．y= B．y= C．y= D．y=6．（2009•深圳）如图，已知点A，B，C，D均在已知圆上，AD∥BC，AC平分∠BCD，∠ADC=120°，四边形ABCD的周长为10cm．图中阴影部分的面积为（）A．cm2 B．（π﹣）cm2 C．cm2 D．cm27．（2014•坪山新区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=4，分别以AC、BC为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为（）A．20π﹣16 B．10π﹣32 C．10π﹣16 D．20π﹣1328．（2014•宝安区二模）如图，将半径为6的⊙O沿AB折叠，与AB垂直的半径OC交于点D且CD=2OD，则折痕AB的长为（）A． B． C．6 D．9．（2009•乐山）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，⊙O为△ABC的内切圆，点D是斜边AB的中点，则tan∠ODA=（）A． B． C． D．220．（2009•深圳）刘谦的魔术表演风靡全国，小明也学起了刘谦发明了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中时，会得到一个新的实数：a2+b﹣1，例如把（3，﹣2）放入其中，就会得到32+（﹣2）﹣1=6．现将实数对（m，﹣2m）放入其中，得到实数2，则m=_________．21．（2008•广州）对于平面内任意一个凸四边形ABCD，现从以下四个关系式①AB=CD；②AD=BC；③AB∥CD；④∠A=∠C中任取两个作为条件，能够得出这个四边形ABCD是平行四边形的概率是_________．22．（2014•坪山新区模拟）如图，已知直线l：y=x，过点A（0，1）作轴的垂线交直线l于点B，过点B作直线l的垂线交y轴于点A1；过点A1作y轴的垂线交直线l于点B1，过点B1作直线l的垂线交y轴于点A2；…按此作法继续下去，则点A2014的坐标为_________．（提示：∠BOX=30°）23．（2014•龙岗区模拟）如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上．顶点B的坐标为（6，），点C的坐标为（1，0），点P为斜边OB上的一个动点，则PA+PC的最小值为_________．24．（2014•宝安区二模）如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=4，BC=6．将腰CD以D为旋转中心逆时针旋转90°至DE，连接AE，则△ADE的面积是_________．25．（2014•深圳一模）如图，一段抛物线：y=﹣x（x﹣4）（0≤x≤4），记为C1，它与x轴交于点O，A1：将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于A3；…如此进行下去，直至得C10，若P（37，m）在第10段抛物线C10上，则m=_________．26．（2011•宁波）正方形的A1B1P1P2顶点P1、P2在反比例函数y=（x＞0）的图象上，顶点A1、B1分别在x轴、y轴的正半轴上，再在其右侧作正方形P2P3A2B2，顶点P3在反比例函数y=（x＞0）的图象上，顶点A2在x轴的正半轴上，则点P3的坐标为_________．27．（2013•福田区一模）如图所示，在⊙O中，点A在圆内，B、C在圆上，其中OA=7，BC=18，∠A=∠B=60°，则tan∠OBC=_________．28．（2013•宝安区一模）四边形ABCD、AEFG都是正方形，当正方形AEFG绕点A逆时针旋转45°时，如图，连接DG、BE，并延长BE交DG于点H，且BH⊥DG与H．若AB=4，AE=时，则线段BH的长是_________．29．（2012•深圳二模）如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE=AP=1，PB=．下列结论：①△APD≌△AEB；②点B到直线AE的距离为；③EB⊥ED；④S△APD+S△APB=1+；⑤S正方形ABCD=4+．其中正确结论的序号是_________．30．（2012•宝安区二模）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，BE平分∠ABC，且BE⊥CD于E，P是BE上一动点．若BC=6，CE=2DE，则|PC﹣PA|的最大值是_________．三、解答题（共30小题）31．（2014•深圳）如图，直线AB的解析式为y=2x+4，交x轴于点A，交y轴于点B，以A为顶点的抛物线交直线AB于点D，交y轴负半轴于点C（0，﹣4）．（1）求抛物线的解析式；（2）将抛物线顶点沿着直线AB平移，此时顶点记为E，与y轴的交点记为F，①求当△BEF与△BAO相似时，E点坐标；②记平移后抛物线与AB另一个交点为G，则S△EFG与S△ACD是否存在8倍的关系？若有请直接写出F点的坐标．32．（2014•深圳）如图，在平面直角坐标系中，⊙M过原点O，与x轴交于A（4，0），与y轴交于B（0，3），点C为劣弧AO的中点，连接AC并延长到D，使DC=4CA，连接BD．（1）求⊙M的半径；（2）证明：BD为⊙M的切线；（3）在直线MC上找一点P，使|DP﹣AP|最大．33．（2013•深圳）如图1，直线AB过点A（m，0），B（0，n），且m+n=20（其中m＞0，n＞0）．（1）m为何值时，△OAB面积最大？最大值是多少？（2）如图2，在（1）的条件下，函数的图象与直线AB相交于C、D两点，若，求k的值．（3）在（2）的条件下，将△OCD以每秒1个单位的速度沿x轴的正方向平移，如图3，设它与△OAB的重叠部分面积为S，请求出S与运动时间t（秒）的函数关系式（0＜t＜10）．34．（2013•深圳）如图1，过点A（0，4）的圆的圆心坐标为C（2，0），B是第一象限圆弧上的一点，且BC⊥AC，抛物线y=x2+bx+c经过C、B两点，与x轴的另一交点为D．（1）点B的坐标为（_________，_________），抛物线的表达式为_________；（2）如图2，求证：BD∥AC；（3）如图3，点Q为线段BC上一点，且AQ=5，直线AQ交⊙C于点P，求AP的长．35．（2012•深圳）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=﹣2x+b（b≥0）的位置随b的不同取值而变化．（1）已知⊙M的圆心坐标为（4，2），半径为2．当b=_________时，直线l：y=﹣2x+b（b≥0）经过圆心M；当b=_________时，直线l：y=﹣2x+b（b≥0）与⊙M相切；（2）若把⊙M换成矩形ABCD，其三个顶点坐标分别为：A（2，0）、B（6，0）、C（6，2）．设直线l扫过矩形ABCD的面积为S，当b由小到大变化时，请求出S与b的函数关系式．36．（2012•深圳）如图，已知△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣4，0）、B（1，0）、C（﹣2，6）．（1）求经过A、B、C三点的抛物线解析式；（2）设直线BC交y轴于点E，连接AE，求证：AE=CE；（3）设抛物线与y轴交于点D，连接AD交BC于点F，试问以A、B、F为顶点的三角形与△ABC相似吗？37．（2011•深圳）如图1，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点为C（1，4），交x轴于A、B两点，交y轴于点D，其中点B的坐标为（3，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，过点A的直线与抛物线交于点E，交y轴于点F，其中点E的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为直线PQ上的一动点，则x轴上是否存在一点H，使D、G，H、F四点所围成的四边形周长最小？若存在，求出这个最小值及点G、H的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图3，在抛物线上是否存在一点T，过点T作x轴的垂线，垂足为点M，过点M作MN∥BD，交线段AD于点N，连接MD，使△DNM∽△BMD？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．38．（2011•深圳）深圳某科技公司在甲地、乙地分别生产了17台、15台同一种型号的检测设备，全部运往大运赛场A、B两馆，其中运往A馆18台、运往B馆14台；运往A、B两馆的运费如表1：表1出发地目的地甲地乙地A馆800元/台700元/台B馆500元/台600元/台表2出发地目的地甲地乙地A馆x台_________（台）B馆_________（台）_________（台）（1）设甲地运往A馆的设备有x台，请填写表2，并求出总运费元y（元）与x（台）的函数关系式；（2）要使总运费不高于20200元，请你帮助该公司设计调配方案，并写出有哪几种方案；（3）当x为多少时，总运费最小，最小值是多少？39．（2010•深圳）如图1所示，以点M（﹣1，0）为圆心的圆与y轴，x轴分别交于点A，B，C，D，直线y=﹣x﹣与⊙M相切于点H，交x轴于点E，交y轴于点F．（1）请直接写出OE，⊙M的半径r，CH的长；（2）如图2所示，弦HQ交x轴于点P，且DP：PH=3：2，求cos∠QHC的值；（3）如图3所示，点K为线段EC上一动点（不与E，C重合），连接BK交⊙M于点T，弦AT交x轴于点N．是否存在一个常数a，始终满足MN•MK=a，如果存在，请求出a的值；如果不存在，请说明理由．40．（2010•深圳）如图所示，抛物线y=ax2+c（a＞0）经过梯形ABCD的四个顶点，梯形的底AD在x轴上，其中A（﹣2，0），B（﹣1，﹣3）．（1）求抛物线的解析式；（2）点M为y轴上任意一点，当点M到A，B两点的距离之和为最小时，求此时点M的坐标；（3）在第（2）问的结论下，抛物线上的点P使S△PAD=4S△ABM成立，求点P的坐标．41．（2009•深圳）如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（﹣2，0），连接OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB．（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；（4）如果点P是（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由．（注意：本题中的结果均保留根号）．42．（2009•深圳）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=﹣2x﹣8分别与x轴，y轴相交于A，B两点，点P（0，k）是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作⊙P．（1）连接PA，若PA=PB，试判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由；（2）当k为何值时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形．43．（2015•深圳一模）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c过A（3，3.5）、B（4，2）、C（0，2）三点，点P是x轴上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图甲所示，连接AC、CP、PB、BA，是否存在点P，使四边形ABPC为等腰梯形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）点H是题中抛物线对称轴l上的动点，如图乙所示，求四边形AHPB周长的最小值．44．（2014•坪山新区模拟）如图1，在平面直角坐标系中，直线α：y=﹣x﹣与坐标轴分别交于A，C两点，（1）求点A的坐标及∠CAO的度数；（2）点B为直线y=﹣上的一个动点，以点B为圆心，AC长为直径作⊙B，当⊙B与直线α相切时，求B点的坐标；（3）如图2，当⊙B过A，O，C三点时，点E是劣弧上一点，连接EC，EA，EO，当点E在劣弧上运动时（不与A，O两点重合），的值是否发生变化？如果不变，求其值，如果变化，说明理由．45．（2014•龙岗区模拟）如图，在平面直角坐标系中，▱ABCD的顶点A、B、C的坐标分别为A（0，4）、B（1，4）、C（0，1），将▱ABCD绕点C沿顺时针方向旋转90°，得到▱A′B′CD′，A′D′与BC相交于点E．（1）求经过点D、A、A′的抛物线的函数关系式；（2）求▱ABCD与▱A′B′CD′的重叠部分（即△CED’）的面积；（3）点P是抛物线上点A、A′之间的一动点，是否存在点P使得△APA′的面积最大？若存在，求出△APA′的最大面积，及此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．46．（2014•宝安区二模）已知：如图1，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心P（3，0），半径为5，⊙P与抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的交点A、B、C刚好落在坐标轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）点D为抛物线的顶点，经过C、D的直线是否与⊙P相切？若相切，请证明；若不相切，请说明理由；（3）如图2，点F是点C关于对称轴PD的对称点，若直线AF交y轴于点K，点G为直线PD上的一动点，则x轴上是否存在一点H，使C、G、H、K四点所围成的四边形周长最小？若存在，求出这个最小值及点G、H的坐标；若不存在，请说明理由．47．（2014•福田区模拟）如图所示，对称轴是x=﹣1的抛物线与x轴交于A、B（1，0）两点，与y轴交于点C（3，0），作直线AC，点P是线段AB上不与点A、B重合的一个动点，过点P作y轴的平行线，交直线AC于点D，交抛物线于点E，连结CE、OD．（1）求抛物线的函数表达式；（2）当P在A、O之间时，求线段DE长度s的最大值；（3）连接AE、BC，作BC的垂直平分线MN分别交抛物线的对称轴x轴于F、N，连接BF、OF，若∠EAC=∠OFB，求点P的坐标．48．（2013•龙岗区模拟）如图，Rt△OAB如图所示放置在平面直角坐标系中，直角边OA与x轴重合，∠OAB=90°，OA=4，AB=2，把Rt△OAB绕点O逆时针旋转90°，点B旋转到点C的位置，一条抛物线正好经过点O，C，A三点．（1）求该抛物线的解析式；（2）在x轴上方的抛物线上有一动点P，过点P作x轴的平行线交抛物线于点M，分别过点P，点M作x轴的垂线，交x轴于E，F两点，问：四边形PEFM的周长是否有最大值？如果有，请求出最值，并写出解答过程；如果没有，请说明理由．（3）如果x轴上有一动点H，在抛物线上是否存在点N，使O（原点）、C、H、N四点构成以OC为一边的平行四边形？若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由．49．（2013•龙岗区模拟）如图，已知点A（2，0）、B（﹣1，0），C是y轴的负半轴上一点，且OA=OC，抛物线经过A、B、C三点．（1）此抛物线的关系式．（2）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使△PBC为直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）Q是抛物线上一点，过点Q作指点BC的垂线，垂足为D，若△QDB与△BOC相似，请求点Q的坐标．50．（2013•宝安区一模）如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知B点坐标（4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）试探究△ABC的外接圆的圆心P位置，并求圆心P坐标；（3）若D是抛物线上一动点，是否存在点D，使以P、B、C、D为顶点的四边形是梯形？如果存在，请直接写出满足条件的点D的坐标；如果不存在，请说明理由．51．（2012•龙岗区二模）如图1，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=，AD=5，BC=3．以AD所在的直线为x轴，过点B且垂直于AD的直线为y轴建立平面直角坐标系．抛物线y=ax2+bx+c经过O、C、D三点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）设（1）中的抛物线与BC交于点E，P是该抛物线对称轴上的一个动点（如图2）：①若直线PC把四边形AOEB的面积分成相等的两部分，求直线PC的函数表达式；②连接PB、PA，是否存在△PAB是直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标，并直接写出相应的△PAB的外接圆的面积；若不存在，请说明理由．52．（2007•玉溪）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C（1，0），直线y=x+m与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点的坐标为（3，4），B点在y轴上．（1）求m的值及这个二次函数的关系式；（2）P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E，设线段PE的长为h，点P的横坐标为x，求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB上是否存在一点P，使得四边形DCEP是平行四边形？若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由．53．（2012•盐田区二模）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，以点P（2，）为圆心的圆与y轴相切于点A，与x轴相交于B、C两点（点B在点C的左边）．（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）在（1）中的抛物线上是否存在点M，使△MBP的面积是菱形ABCP面积的．如果存在，请直接写出所有满足条件的M点的坐标；如果若不存在，请说明理由；（3）如果一个动点D自点P出发，先到达y轴上的某点，再到达x轴上某点，最后运动到（1）中抛物线的顶点Q处，求使点D运动的总路径最短的路径的长．54．（2009•云南）已知在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为A（3，0）、C（0，4），点D的坐标为D（﹣5，0），点P是直线AC上的一动点，直线DP与y轴交于点M．问：（1）当点P运动到何位置时，直线DP平分矩形OABC的面积，请简要说明理由，并求出此时直线DP的函数解析式；（2）当点P沿直线AC移动时，是否存在使△DOM与△ABC相似的点M，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当点P沿直线AC移动时，以点P为圆心、半径长为R（R＞0）画圆，所得到的圆称为动圆P．若设动圆P的直径长为AC，过点D作动圆P的两条切线，切点分别为点E、F．请探求是否存在四边形DEPF的最小面积S，若存在，请求出S的值；若不存在，请说明理由．注：第（3）问请用备用图解答．55．（2013•南沙区一模）如图1，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB=2OA=4．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）设P是（1）中抛物线上的一个动点，以P为圆心，R为半径作⊙P，求当⊙P与抛物线的对称轴l及x轴均相切时点P的坐标．（3）动点E从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，动点F从点B出发，以每秒个单位长度的速度向终点C运动，过点E作EG∥y轴，交AC于点G（如图2）．若E、F两点同时出发，运动时间为t．则当t为何值时，△EFG的面积是△ABC的面积的？56．（2013•济宁）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，P是反比例函数y=（x＞0）图象上任意一点，以P为圆心，PO为半径的圆与坐标轴分别交于点A、B．（1）求证：线段AB为⊙P的直径；（2）求△AOB的面积；（3）如图2，Q是反比例函数y=（x＞0）图象上异于点P的另一点，以Q为圆心，QO为半径画圆与坐标轴分别交于点C、D．求证：DO•OC=BO•OA．57．（2007•梅州）如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，AB=6，AD=4，DC=3，动点P从点A出发，沿A→D→C→B方向移动，动点Q从点A出发，在AB边上移动．设点P移动的路程为x，点Q移动的路程为y，线段PQ平分梯形ABCD的周长．（1）求y与x的函数关系式，并求出x，y的取值范围；（2）当PQ∥AC时，求x，y的值；（3）当P不在BC边上时，线段PQ能否平分梯形ABCD的面积？若能，求出此时x的值；若不能，说明理由．58．（2008•济南）已知：如图，直线y=﹣x+4与x轴相交于点A，与直线y=x相交于点P．（1）求点P的坐标；（2）请判断△OPA的形状并说明理由；（3）动点E从原点O出发，以每秒1个单位的速度沿着O、P、A的路线向点A匀速运动（E不与点O，A重合），过点E分别作EF⊥x轴于F，EB⊥y轴于B，设运动t秒时，矩形EBOF与△OPA重叠部分的面积为S．求：①S与t之间的函数关系式．②当t为何值时，S最大，并求出S的最大值．59．（2011•泉州）如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（0，8），点B（b，t）在直线x=b上运动，点D、E、F分别为OB、0A、AB的中点，其中b是大于零的常数．（1）判断四边形DEFB的形状．并证明你的结论；（2）试求四边形DEFB的面积S与b的关系式；（3）设直线x=b与x轴交于点C，问：四边形DEFB能不能是矩形？若能．求出t的值；若不能，说明理由．60．（2009•河北）某公司装修需用A型板材240块、B型板材180块，A型板材规格是60cm×30cm，B型板材规格是40cm×30cm．现只能购得规格是150cm×30cm的标准板材．一张标准板材尽可能多地裁出A型、B型板材，共有下列三种裁法：（如图是裁法一的裁剪示意图）裁法一裁法二裁法三A型板材块数120B型板材块数2mN设所购的标准板材全部裁完，其中按裁法一裁x张、按裁法二裁y张、按裁法三裁z张，且所裁出的A、B两种型号的板材刚好够用．（1）上表中，m=_________，n=_________；（2）分别求出y与x和z与x的函数关系式；（3）若用Q表示所购标准板材的张数，求Q与x的函数关系式，并指出当x取何值时Q最小，此时按三种裁法各裁标准板材多少张？

2015年中考数学突破训练之压轴60题（深圳卷）参考答案与试题解析一、选择题（共15小题）1．（2014•深圳）如图，已知四边形ABCD为等腰梯形，AD∥BC，AB=CD，AD=，E为CD中点，连接AE，且AE=2，∠DAE=30°，作AE⊥AF交BC于F，则BF=（）A．1B．3﹣C．﹣1D．4﹣2考点：等腰梯形的性质．专题：压轴题．分析：延长AE交BC的延长线于G，根据线段中点的定义可得CE=DE，根据两直线平行，内错角相等可得到∠DAE=∠G=30°，然后利用“角角边”证明△ADE和△GCE全等，根据全等三角形对应边相等可得CG=AD，AE=EG，然后解直角三角形求出AF、GF，过点A作AM⊥BC于M，过点D作DN⊥BC于N，根据等腰梯形的性质可得BM=CN，再解直角三角形求出MG，然后求出CN，MF，然后根据BF=BM﹣MF计算即可得解．解答：解：如图，延长AE交BC的延长线于G，∵E为CD中点，∴CE=DE，∵AD∥BC，∴∠DAE=∠G=30°，在△ADE和△GCE中，，∴△ADE≌△GCE（AAS），∴CG=AD=，AE=EG=2，∴AG=AE+EG=2+2=4，∵AE⊥AF，∴AF=AGtan30°=4×=4，GF=AG÷cos30°=4÷=8，过点A作AM⊥BC于M，过点D作DN⊥BC于N，则MN=AD=，∵四边形ABCD为等腰梯形，∴BM=CN，∵MG=AG•cos30°=4×=6，∴CN=MG﹣MN﹣CG=6﹣﹣=6﹣2，∵AF⊥AE，AM⊥BC，∴∠FAM=∠G=30°，∴FM=AF•sin30°=4×=2，∴BF=BM﹣MF=6﹣2﹣2=4﹣2．故选：D．点评：本题考查了等腰梯形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定与性质，熟记各性质是解题的关键，难点在于作辅助线构造出全等三角形，过上底的两个顶点作出梯形的两条高．2．（2013•深圳）如图，已知l1∥l2∥l3，相邻两条平行直线间的距离相等，若等腰直角△ABC的三个顶点分别在这三条平行直线上，则sinα的值是（）A．B．C．D．考点：全等三角形的判定与性质；平行线之间的距离；等腰直角三角形；锐角三角函数的定义．专题：压轴题．分析：过点A作AD⊥l1于D，过点B作BE⊥l1于E，根据同角的余角相等求出∠CAD=∠BCE，然后利用“角角边”证明△ACD和△CBE全等，根据全等三角形对应边相等可得CD=BE，然后利用勾股定理列式求出AC，再根据等腰直角三角形斜边等于直角边的倍求出AB，然后利用锐角的正弦等于对边比斜边列式计算即可得解．解答：解：如图，过点A作AD⊥l1于D，过点B作BE⊥l1于E，设l1，l2，l3间的距离为1，∵∠CAD+∠ACD=90°，∠BCE+∠ACD=90°，∴∠CAD=∠BCE，在等腰直角△ABC中，AC=BC，在△ACD和△CBE中，，∴△ACD≌△CBE（AAS），∴CD=BE=1，在Rt△ACD中，AC===，在等腰直角△ABC中，AB=AC=×=，∴sinα==．故选：D．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，锐角三角函数的定义，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．3．（2012•深圳）如图，已知：∠MON=30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1=1，则△A6B6A7的边长为（）A．6B．12C．32D．64考点：等边三角形的性质；含30度角的直角三角形．专题：压轴题；规律型．分析：根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A1B1∥A2B2∥A3B3，以及A2B2=2B1A2，得出A3B3=4B1A2=4，A4B4=8B1A2=8，A5B5=16B1A2…进而得出答案．解答：解：∵△A1B1A2是等边三角形，∴A1B1=A2B1，∠3=∠4=∠12=60°，∴∠2=120°，∵∠MON=30°，∴∠1=180°﹣120°﹣30°=30°，又∵∠3=60°，∴∠5=180°﹣60°﹣30°=90°，∵∠MON=∠1=30°，∴OA1=A1B1=1，∴A2B1=1，∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，∴∠11=∠10=60°，∠13=60°，∵∠4=∠12=60°，∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，∴A2B2=2B1A2，B3A3=2B2A3，∴A3B3=4B1A2=4，A4B4=8B1A2=8，A5B5=16B1A2=16，以此类推：A6B6=32B1A2=32．故选：C．点评：此题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出A3B3=4B1A2，A4B4=8B1A2，A5B5=16B1A2进而发现规律是解题关键．4．（2011•深圳）如图，△ABC与△DEF均为等边三角形，O为BC、EF的中点，则AD：BE的值为（）A．：1B．：1C．5：3D．不确定考点：相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质．专题：压轴题．分析：连接OA、OD，由已知可以推出OB：OA=OE：OD，推出△ODA∽△OEB，根据锐角三角函数即可推出AD：BE的值．解答：解：连接OA、OD，∵△ABC与△DEF均为等边三角形，O为BC、EF的中点，∴AO⊥BC，DO⊥EF，∠EDO=30°，∠BAO=30°，∴OD：OE=OA：OB=：1，∵∠DOE+∠EOA=∠BOA+∠EOA即∠DOA=∠EOB，∴△DOA∽△EOB，∴OD：OE=OA：OB=AD：BE=：1．故选：A．点评：本题主要考查了相似三角形的判定及性质、等边三角形的性质，本题的关键在于找到需要证相似的三角形，找到对应边的比即可．5．（2010•深圳）如图所示，点P（3a，a）是反比例函数y=（k＞0）与⊙O的一个交点，图中阴影部分的面积为10π，则反比例函数的解析式为（）A．y=B．y=C．y=D．y=考点：反比例函数图象的对称性．专题：压轴题；转化思想．分析：根据P（3a，a）和勾股定理，求出圆的半径，进而表示出圆的面积，再根据圆的面积等于阴影部分面积的四倍，求出圆的面积，建立等式即可求出a的值，从而得出反比例函数的解析式．解答：解：由于函数图象关于原点对称，所以阴影部分面积为圆面积，则圆的面积为10π×4=40π．因为P（3a，a）在第一象限，则a＞0，3a＞0，根据勾股定理，OP==a．于是π=40π，a=±2，（负值舍去），故a=2．P点坐标为（6，2）．将P（6，2）代入y=，得：k=6×2=12．反比例函数解析式为：y=．故选：D．点评：此题是一道综合题，既要能熟练正确求出圆的面积，又要会用待定系数法求函数的解析式．6．（2009•深圳）如图，已知点A，B，C，D均在已知圆上，AD∥BC，AC平分∠BCD，∠ADC=120°，四边形ABCD的周长为10cm．图中阴影部分的面积为（）A．cm2B．（π﹣）cm2C．cm2D．cm2考点：扇形面积的计算．专题：压轴题．分析：要求阴影部分的面积，就要从图中看出阴影部分是由哪几部分得来的，然后依面积公式计算．解答：解：∵AC平分∠BCD，∴=，∵AD∥BC，AC平分∠BCD，∠ADC=120°所以∠ACD=∠DAC=30°，∴=，∴∠BAC=90°∠B=60°，∴BC=2AB，∴四边形ABCD的周长=AB+BC+CD+AD=BC×3+BC=10，解得BC=4cm，∴圆的半径=×4=2cm，∴阴影部分的面积=[π×22﹣（2+4）×÷2]÷3=π﹣cm2．故选：B．点评：本题的关键是要证明BC就是圆的直径，然后根据给出的周长求半径，再求阴影部分的面积．7．（2014•坪山新区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=4，分别以AC、BC为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为（）A．20π﹣16B．10π﹣32C．10π﹣16D．20π﹣132考点：扇形面积的计算．分析：图中阴影部分的面积为两个半圆的面积﹣三角形的面积，然后利用三角形的面积计算即可．解答：解：设各个部分的面积为：S1、S2、S3、S4、S5，如图所示：∵两个半圆的面积和是：S1+S5+S4+S2+S3+S4，△ABC的面积是S3+S4+S5，阴影部分的面积是：S1+S2+S4，∴图中阴影部分的面积为两个半圆的面积减去三角形的面积．即阴影部分的面积=π×16+π×4﹣×8×4=10π﹣16．故选：C．点评：本题考查了扇形面积的计算，的关键是看出图中阴影部分的面积为两个半圆的面积﹣三角形的面积．8．（2014•宝安区二模）如图，将半径为6的⊙O沿AB折叠，与AB垂直的半径OC交于点D且CD=2OD，则折痕AB的长为（）A．B．C．6D．考点：垂径定理；勾股定理；翻折变换（折叠问题）．分析：延长CO交AB于E点，连接OB，构造直角三角形，然后再根据勾股定理求出AB的长解答：解：延长CO交AB于E点，连接OB，∵CE⊥AB，∴E为AB的中点，∵OC=6，CD=2OD，∴CD=4，OD=2，OB=6，∴DE=（2OC﹣CD）=（6×2﹣4）=×8=4，∴OE=DE﹣OD=4﹣2=2，在Rt△OEB中，∵OE2+BE2=OB2，∴BE===4∴AB=2BE=8．故选：B．点评：本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键．9．（2009•乐山）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，⊙O为△ABC的内切圆，点D是斜边AB的中点，则tan∠ODA=（）A．B．C．D．2考点：三角形的内切圆与内心；锐角三角函数的定义．专题：压轴题．分析：设⊙O与AB，AC，BC分别相切于点E，F，G，连接OE，OF，OG，则OE⊥AB．根据勾股定理得AB=10，再根据切线长定理得到AF=AE，CF=CG，从而得到四边形OFCG是正方形，根据正方形的性质得到设OF=x，则CF=CG=OF=x，AF=AE=6﹣x，BE=BG=8﹣x，建立方程求出x值，进而求出AE与DE的值，最后根据三角形函数的定义即可求出最后结果．解答：解：过O点作OE⊥ABOF⊥ACOG⊥BC，∴∠OGC=∠OFC=∠OED=90°，∵∠C=90°，AC=6BC=8，∴AB=10∵⊙O为△ABC的内切圆，∴AF=AE，CF=CG（切线长相等）∵∠C=90°，∴四边形OFCG是矩形，∵OG=OF，∴四边形OFCG是正方形，设OF=x，则CF=CG=OF=x，AF=AE=6﹣x，BE=BG=8﹣x，∴6﹣x+8﹣x=10，∴OF=2，∴AE=4，∵点D是斜边AB的中点，∴AD=5，∴DE=AD﹣AE=1，∴tan∠ODA==2．故选：D．点评：此题要能够根据切线长定理证明：作三角形的内切圆，其中的切线长等于切线长所在的两边和与对边差的一半；直角三角形内切圆的半径等于两条直角边的和与斜边的差的一半．10．（2009•鄂州）已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=DC=5，点P在BC上移动，则当PA+PD取最小值时，△APD中边AP上的高为（）A．B．C．D．3考点：轴对称-最短路线问题；勾股定理．专题：压轴题．分析：要求三角形的面积，就要先求出它的高，根据勾股定理即可得．解答：解：过点D作DE⊥BC于E，∵AD∥BC，AB⊥BC，∴四边形ABED是矩形，∴BE=AD=2，∵BC=CD=5，∴EC=3，∴AB=DE=4，延长AB到A′，使得A′B=AB，连接A′D交BC于P，此时PA+PD最小，即当P在AD的中垂线上，PA+PD取最小值，∵B为AA′的中点，BP∥AD∴此时BP为△AA′D的中位线，∴BP=AD=1，根据勾股定理可得AP==，在△APD中，由面积公式可得△APD中边AP上的高=2×4÷=．故选：C．点评：此题综合性较强，考查了梯形一般辅助线的作法、勾股定理、三角形的面积计算等知识点．11．（2013•龙岗区模拟）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D为线段BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF，CF交DE于点P．若AC=，CD=2，则线段CP的长（）A．1B．2C．D．考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．分析：根据ADEF是正方形推出AD=AF，∠DAF=90°，证△ABD≌△ACF，推出CF=BD，求出AD，证△FEP∽△DCP，得出比例式，代入求出即可．解答：解：过A作AM⊥BD于M，∵∠BAC=90°，AB=AC=4，∴∠B=∠ACB=45°，由勾股定理得：BC=8，∵CD=2，∴BD=8﹣2=6，∵∠BAC=90°，AB=AC，AM⊥BC，∴∠B=∠BAM=45°，∴BM=AM，∵AB=4，∴由勾股定理得：BM=AM=4，∴DM=6﹣4=2，在Rt△AMD中，由勾股定理得：AD==2，∵四边形ADEF是正方形，∴EF=DE=AF=AD=2，∠E=90°，∵ADEF是正方形，∴AD=AF，∠DAF=90°．∵∠BAC=90°，∴∠BAD=∠CAF=90°﹣∠DAC．设CP=x，∵在△ABD和△ACF中∴△ABD≌△ACF（SAS），∴CF=BD=6，∠B=∠ACB=∠ACF=45°，∴∠PCD=90°=∠E，∵∠FPE=∠DPC，∴△FPE∽△DPC，∴=，∴=，x2+3x﹣4=0，x=﹣4（舍去），x=1，即CP=1，故选：A．点评：本题考查了正方形性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定的应用，关键是能得出关于x的方程，题目比较好，但是有一定的难度．12．（2011•本溪）如图，正方形ABCD的边长是4，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值（）A．2B．4C．2D．4考点：轴对称-最短路线问题；正方形的性质．专题：压轴题；探究型．分析：过D作AE的垂线交AE于F，交AC于D′，再过D′作D′P′⊥AD，由角平分线的性质可得出D′是D关于AE的对称点，进而可知D′P′即为DQ+PQ的最小值．解答：解：作D关于AE的对称点D′，再过D′作D′P′⊥AD于P′，∵DD′⊥AE，∴∠AFD=∠AFD′，∵AF=AF，∠DAE=∠CAE，∴△DAF≌△D′AF，∴D′是D关于AE的对称点，AD′=AD=4，∴D′P′即为DQ+PQ的最小值，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAD′=45°，∴AP′=P′D′，∴在Rt△AP′D′中，P′D′2+AP′2=AD′2，AD′2=16，∵AP′=P′D'，2P′D′2=AD′2，即2P′D′2=16，∴P′D′=2，即DQ+PQ的最小值为2．故选：C．点评：本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．13．（2013•宝安区一模）如图，已知抛物线l1：y=﹣x2+2x与x轴分别交于A、O两点，顶点为M．将抛物线l1关于y轴对称到抛物线l2．则抛物线l2过点O，与x轴的另一个交点为B，顶点为N，连接AM、MN、NB，则四边形AMNB的面积（）A．3B．6C．8D．10考点：二次函数综合题．分析：根据抛物线l1的解析式求出顶点M，和x轴交点A的坐标，然后根据对称图形的知识可求出M、N的坐标，也可得到四边形NBAM是等腰梯形，求出四边形NBAM的面积即可．解答：解：∵抛物线l1的解析式为：y=﹣x2+2x=﹣（x﹣1）2+1，∴顶点坐标为：M（1，1），当y=0时，﹣x2+2x=0，解得：x=0或x=2，则A坐标为（2，0），∵l2和l1关于y轴对称，∴AM=BN，N和M关于y轴对称，B和A关于y轴对称，则N（﹣1，1），B（﹣2，0），过N作NC⊥AB交AB与点C，∵AM=BN，MN∥AB，∴四边形NBAM是等腰梯形，在等腰梯形NBAM中，MN，1﹣（﹣1）=2，AB=2﹣（﹣2）=4，NC=1，∴S四边形NBAM=（MN+AB）•NC=3．故选：A．点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式和等腰梯形的面积求法，根据对称图形得出N，B的坐标是解答本题的关键．14．（2012•龙岗区模拟）如图所示的二次函数y=ax2+bx+c的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：①a+b+c=0；②b＞2a；③ax2+bx+c=0的两根分别为﹣3和1；④a﹣2b+c＞0．你认为其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个考点：二次函数图象与系数的关系．专题：数形结合．分析：由于抛物线过点（1，0），则a+b+c=0，可判断①正确；根据抛物线对称轴方程得到x=﹣=﹣1，则2a﹣b=0，可判断②错误；根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴两交点坐标为（﹣3，0），（1，0），则ax2+bx+c=0的两根分别为﹣3和1，可判断③正确；利用b=2a，a+b+c=0得到c=﹣3a，则a﹣2b+c=a﹣4a﹣3a=﹣7a，而抛物线开口向上，得到a＞0，于是可对④进行判断．解答：解：∵抛物线过点（1，0），∴a+b+c=0，所以①正确；∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=﹣1，∴2a﹣b=0，所以②错误；∵点（1，0）关于直线x=﹣1的对称点为（﹣3，0），∴抛物线与x轴两交点坐标为（﹣3，0），（1，0），∴ax2+bx+c=0的两根分别为﹣3和1，所以③正确；∵b=2a，a+b+c=0，∴a+2a+c=0，即c=﹣3a，∴a﹣2b+c=a﹣4a﹣3a=﹣7a，∵抛物线开口向上，∴a＞0，∴a﹣2b+c=﹣7a＜0，所以④错误．故选：C．点评：本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=﹣；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）．也考查了一次函数的性质．15．（2011•宝安区一模）如图，已知抛物线与x轴分别交于A、B两点，顶点为M．将抛物线l1沿x轴翻折后再向左平移得到抛物线l2．若抛物线l2过点B，与x轴的另一个交点为C，顶点为N，则四边形AMCN的面积为（）A．32B．16C．50D．40考点：二次函数综合题；轴对称的性质．分析：由抛物线l1的解析式可求AB的长，根据对称性可知BC=AB，再求抛物线的顶点坐标，用计算三角形面积的方法求四边形AMCN的面积．解答：解：由y=x2﹣6x+5得y=（x﹣1）（x﹣5）或y=（x﹣3）2﹣4，∴抛物线l1与x轴两交点坐标为A（5，0），B（1，0），顶点坐标M（3，﹣4），∴AB=5﹣1=4，由翻折，平移的知识可知，BC=AB=4，N（﹣1，4），∴AC=AB+BC=8，S四边形AMCN=S△ACN+S△ACM=×8×4+×8×4=32．故选：A．点评：本题主要考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点的求法等知识点．主要考查学生数形结合的数学思想方法．二、填空题（共15小题）16．（2014•深圳）如图，下列图形是将正三角形按一定规律排列，则第5个图形中所有正三角形的个数有485．考点：规律型：图形的变化类．专题：压轴题；规律型．分析：由图可以看出：第一个图形中5个正三角形，第二个图形中5×3+2=17个正三角形，第三个图形中17×3+2=53个正三角形，由此得出第四个图形中53×3+2=161个正三角形，第五个图形中161×3+2=485个正三角形．解答：解：第一个图形正三角形的个数为5，第二个图形正三角形的个数为5×3+2=17，第三个图形正三角形的个数为17×3+2=53，第四个图形正三角形的个数为53×3+2=161，第五个图形正三角形的个数为161×3+2=485．如果是第n个图，则有2×3n﹣1个故答案为：485．点评：此题考查图形的变化规律，找出数字与图形之间的联系，找出规律解决问题．17．（2013•深圳）如图，每一幅图中均含有若干个正方形，第1幅图中有1个正方形；第2幅图中有5个正方形；…按这样的规律下去，第6幅图中有91个正方形．考点：规律型：图形的变化类．专题：压轴题．分析：观察图形发现第一个有1个正方形，第二个有1+4=5个正方形，第三个有1+4+9=14个正方形，…从而得到答案．解答：解：观察图形发现第一个有1个正方形，第二个有1+4=5个正方形，第三个有1+4+9=14个正方形，…第n个有：n（n+1）（2n+1）个正方形，第6个有1+4+9+16+25+36=91个正方形，故答案为：91点评：本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是仔细关系图形并找到规律，本题采用了穷举法．18．（2012•深圳）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，且正方形对角线交于点O，连接OC，已知AC=5，OC=6，则另一直角边BC的长为7．考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．专题：计算题；压轴题．分析：过O作OF垂直于BC，再过A作AM垂直于OF，由四边形ABDE为正方形，得到OA=OB，∠AOB为直角，可得出两个角互余，再由AM垂直于MO，得到△AOM为直角三角形，其两个锐角互余，利用同角的余角相等可得出一对角相等，再由一对直角相等，OA=OB，利用AAS可得出△AOM与△BOF全等，由全等三角形的对应边相等可得出AM=OF，OM=FB，由三个角为直角的四边形为矩形得到ACFM为矩形，根据矩形的对边相等可得出AC=MF，AM=CF，等量代换可得出CF=OF，即△COF为等腰直角三角形，由斜边OC的长，利用勾股定理求出OF与CF的长，根据OF﹣MF求出OM的长，即为FB的长，由CF+FB即可求出BC的长．解答：解法一：如图1所示，过O作OF⊥BC，过A作AM⊥OF，∵四边形ABDE为正方形，∴∠AOB=90°，OA=OB，∴∠AOM+∠BOF=90°，又∠AMO=90°，∴∠AOM+∠OAM=90°，∴∠BOF=∠OAM，在△AOM和△BOF中，，∴△AOM≌△BOF（AAS），∴AM=OF，OM=FB，又∠ACB=∠AMF=∠CFM=90°，∴四边形ACFM为矩形，∴AM=CF，AC=MF=5，∴OF=CF，∴△OCF为等腰直角三角形，∵OC=6，∴根据勾股定理得：CF2+OF2=OC2，解得：CF=OF=6，∴FB=OM=OF﹣FM=6﹣5=1，则BC=CF+BF=6+1=7．故答案为：7．解法二：如图2所示，过点O作OM⊥CA，交CA的延长线于点M；过点O作ON⊥BC于点N．易证△OMA≌△ONB，∴OM=ON，MA=NB．∴O点在∠ACB的平分线上，∴△OCM为等腰直角三角形．∵OC=6，∴CM=ON=6．∴MA=CM﹣AC=6﹣5=1，∴BC=CN+NB=6+1=7．故答案为：7．点评：此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，以及等腰直角三角形的判定与性质、角平分线的判定，利用了转化及等量代换的思想，根据题意作出相应的辅助线是解本题的关键．19．（2011•深圳）如图，△ABC的内心在y轴上，点C的坐标为（2，0），点B的坐标是（0，2），直线AC的解析式为，则tanA的值是．考点：一次函数综合题．专题：压轴题．分析：根据三角形内心的特点知∠ABO=∠CBO，根据点C、点B的坐标得出OB=OC，∠OBC=45°，∠ABC=90°可知△ABC为直角三角形，BC=2，然后根据两点间距离公式及勾股定理得出点A坐标，从而得出AB，即可得出答案．解答：解：根据三角形内心的特点知∠ABO=∠CBO，∵已知点C、点B的坐标，∴OB=OC，∠OBC=45°，∠ABC=90°可知△ABC为直角三角形，BC=2，∵点A在直线AC上，设A点坐标为（x，x﹣1），根据两点距离公式可得：AB2=x2+，AC2=（x﹣2）2+，在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，解得：x=﹣6，y=﹣4，∴AB=6，∴tanA===．故答案为：．点评：本题主要考查了三角形内心的特点，两点间距离公式、勾股定理，综合性较强，难度较大．20．（2009•深圳）刘谦的魔术表演风靡全国，小明也学起了刘谦发明了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中时，会得到一个新的实数：a2+b﹣1，例如把（3，﹣2）放入其中，就会得到32+（﹣2）﹣1=6．现将实数对（m，﹣2m）放入其中，得到实数2，则m=3或﹣1．考点：解一元二次方程-因式分解法．专题：压轴题；新定义．分析：根据题意，把实数对（m，﹣2m）代入a2+b﹣1=2中，得到一个一元二次方程，利用因式分解法可求出m的值．解答：解：把实数对（m，﹣2m）代入a2+b﹣1=2中得m2﹣2m﹣1=2移项得m2﹣2m﹣3=0因式分解得（m﹣3）（m+1）=0解得m=3或﹣1．故答案为：3或﹣1．点评：根据题意，把实数对（m，﹣2m）代入a2+b﹣1=2中，并进行因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根．21．（2008•广州）对于平面内任意一个凸四边形ABCD，现从以下四个关系式①AB=CD；②AD=BC；③AB∥CD；④∠A=∠C中任取两个作为条件，能够得出这个四边形ABCD是平行四边形的概率是．考点：概率公式；平行四边形的判定．专题：压轴题．分析：本题是一道列举法求概率的问题，属于基础题，可以直接应用求概率的公式．解答：解：从四个条件中选两个共有六种可能：①②、①③、①④、②③、②④、③④，其中只有①②、①③和③④可以判断ABCD是平行四边形，所以其概率为=．故答案为：．点评：用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形．22．（2014•坪山新区模拟）如图，已知直线l：y=x，过点A（0，1）作轴的垂线交直线l于点B，过点B作直线l的垂线交y轴于点A1；过点A1作y轴的垂线交直线l于点B1，过点B1作直线l的垂线交y轴于点A2；…按此作法继续下去，则点A2014的坐标为（0，42014）．（提示：∠BOX=30°）考点：一次函数图象上点的坐标特征．专题：规律型．分析：根据所给直线解析式可得l与x轴的夹角，进而根据所给条件依次得到点A1，A2的坐标，通过相应规律得到A2014坐标即可解答：解：∵直线l的解析式为；y=x，∴l与x轴的夹角为30°，∵AB∥x轴，∴∠ABO=30°，∵OA=1，∴OB=2，∴AB=，∵A1B⊥l，∴∠ABA1=60°，∴A1O=4，∴A1（0，4），同理可得A2（0，16），…∴A2014纵坐标为42014，∴A2014（0，42014）．故答案为：（0，42014）．点评：本题考查的是一次函数综合题，先根据所给一次函数判断出一次函数与x轴夹角是解决本题的突破点；根据含30°的直角三角形的特点依次得到A、A1、A2、A3…的点的坐标是解决本题的关键．23．（2014•龙岗区模拟）如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上．顶点B的坐标为（6，），点C的坐标为（1，0），点P为斜边OB上的一个动点，则PA+PC的最小值为．考点：轴对称-最短路线问题；坐标与图形性质．分析：作A关于OB的对称点D，连接CD交OB于P，连接AP，过D作DN⊥OA于N，则此时PA+PC的值最小，求出AM，求出AD，求出DN、CN，根据勾股定理求出CD，即可得出答案．解答：解：作A关于OB的对称点D，连接CD交OB于P，连接AP，过D作DN⊥OA于N，则此时PA+PC的值最小，∵DP=PA，∴PA+PC=PD+PC=CD，∵B（6，2），∴AB=2，OA=6，∠B=60°，由勾股定理得：OB=4，由三角形面积公式得：×OA×AB=×OB×AM，∴AM=3，∴AD=2×3=6，∵∠AMB=90°，∠B=60°，∴∠BAM=30°，∵∠BAO=90°，∴∠OAM=60°，∵DN⊥OA，∴∠NDA=30°，∴AN=AD=3，由勾股定理得：DN=3，∵C（1，0），∴CN=6﹣1﹣3=2，在Rt△DNC中，由勾股定理得：DC==，即PA+PC的最小值是．故答案为：．点评：本题考查了三角形的内角和定理，轴对称﹣最短路线问题，勾股定理，含30度角的直角三角形性质的应用，关键是求出P点的位置，题目比较好，难度适中．24．（2014•宝安区二模）如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=4，BC=6．将腰CD以D为旋转中心逆时针旋转90°至DE，连接AE，则△ADE的面积是4．考点：直角梯形；全等三角形的判定与性质；旋转的性质．专题：计算题．分析：如图作辅助线，利用旋转和三角形全等，求出△ADE的高，然后得出三角形的面积．解答：解：作EF⊥AD交AD延长线于F，作DG⊥BC．如下图所示：∵CD以D为中心逆时针旋转90°至ED，∵AD=4，BC=6，∴DE=DC，DE⊥DC，∠CDG=∠EDF，∴△CDG≌△EDF，∴EF=CG．又∵DG⊥BC，所以AD=BG，∴EF=CG=BC﹣AD=6﹣4=2，∴△ADE的面积是：AD•EF=×4×2=4．故答案为：4．点评：本题考查梯形的性质和旋转的性质：旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．要注意旋转的三要素：①定点为旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．25．（2014•深圳一模）如图，一段抛物线：y=﹣x（x﹣4）（0≤x≤4），记为C1，它与x轴交于点O，A1：将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于A3；…如此进行下去，直至得C10，若P（37，m）在第10段抛物线C10上，则m=﹣3．考点：二次函数图象与几何变换．专题：规律型．分析：求出抛物线C1与x轴的交点坐标，观察图形可知第偶数号抛物线都在x轴下方，再根据向右平移横坐标相加表示出抛物线C10的解析式，然后把点P的横坐标代入计算即可得解．解答：解：∵一段抛物线：y=﹣x（x﹣4）（0≤x≤4），∴图象与x轴交点坐标为：（0，0），（4，0），∵将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；…如此进行下去，直至得C10．∴C10与x轴的交点横坐标为（36，0），（40，0），且图象在x轴下方，∴C10的解析式为：y10=（x﹣36）（x﹣40），当x=37时，y=（37﹣36）×（37﹣40）=﹣3．故答案为：﹣3．点评：本题考查了二次函数图象与几何变换，根据平移规律得出C10与x轴的交点坐标，进而得到解析式是解题关键．26．（2011•宁波）正方形的A1B1P1P2顶点P1、P2在反比例函数y=（x＞0）的图象上，顶点A1、B1分别在x轴、y轴的正半轴上，再在其右侧作正方形P2P3A2B2，顶点P3在反比例函数y=（x＞0）的图象上，顶点A2在x轴的正半轴上，则点P3的坐标为（+1，﹣1）．．考点：反比例函数综合题．专题：综合题；压轴题．分析：作P1C⊥y轴于C，P2D⊥x轴于D，P3E⊥x轴于E，P3F⊥P2D于F，设P1（a，），则CP1=a，OC=，易得Rt△P1B1C≌Rt△B1A1O≌Rt△A1P2D，则OB1=P1C=A1D=a，所以OA1=B1C=P2D=﹣a，则P2的坐标为（，﹣a），然后把P2的坐标代入反比例函数y=，得到a的方程，解方程求出a，得到P2的坐标；设P3的坐标为（b，），易得Rt△P2P3F≌Rt△A2P3E，则P3E=P3F=DE=，通过OE=OD+DE=2+=b，这样得到关于b的方程，解方程求出b，得到P3的坐标．解答：解：作P1C⊥y轴于C，P2D⊥x轴于D，P3E⊥x轴于E，P3F⊥P2D于F，如图，设P1（a，），则CP1=a，OC=，∵四边形A1B1P1P2为正方形，∴Rt△P1B1C≌Rt△B1A1O≌Rt△A1P2D，∴OB1=P1C=A1D=a，∴OA1=B1C=P2D=﹣a，∴OD=a+﹣a=，∴P2的坐标为（，﹣a），把P2的坐标代入y=（x＞0），得到（﹣a）•=2，解得a=﹣1（舍）或a=1，∴P2（2，1），设P3的坐标为（b，），又∵四边形P2P3A2B2为正方形，∴Rt△P2P3F≌Rt△A2P3E，∴P3E=P3F=DE=，∴OE=OD+DE=2+，∴2+=b，解得b=1﹣（舍），b=1+，∴==﹣1，∴点P3的坐标为（+1，﹣1）．故答案为：（+1，﹣1）．点评：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点为横纵坐标之积为定值；也考查了正方形的性质和三角形全等的判定与性质以及解分式方程的方法．27．（2013•福田区一模）如图所示，在⊙O中，点A在圆内，B、C在圆上，其中OA=7，BC=18，∠A=∠B=60°，则tan∠OBC=．考点：垂径定理；等边三角形的判定与性质；勾股定理．专题：计算题．分析：过O作OD⊥BC，延长AO，交BC于点E，由∠A=∠B=60°，得到三角形ABE为等边三角形，确定出∠AEB与∠EOD的度数，在直角三角形ODE中，设DE=x，表示出OE与OD，根据AE=BE列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出OD的长，解答：解：过O作OD⊥BC，延长AO，交BC于点E，∵∠A=∠B=60°，∴∠OED=60°，∠EOD=30°，在Rt△ODE中，设DE=x，则OE=2x，OD=x，∵OD⊥BC，∴D为BC的中点，即BD=CD=BC=9，∵AE=BE，∴7+2x=9+x，解得：x=2，即OD=2，∴tan∠OBC==．故答案为：点评：此题考查了垂径定理，勾股定理，以及等边三角形的判定与性质，熟练掌握定理是解本题的关键．28．（2013•宝安区一模）四边形ABCD、AEFG都是正方形，当正方形AEFG绕点A逆时针旋转45°时，如图，连接DG、BE，并延长BE交DG于点H，且BH⊥DG与H．若AB=4，AE=时，则线段BH的长是．考点：旋转的性质；正方形的性质．分析：连结GE交AD于点N，连结DE，由于正方形AEFG绕点A逆时针旋转45°，AF与EG互相垂直平分，且AF在AD上，由AE=可得到AN=GN=1，所以DN=4﹣1=3，然后根据勾股定理可计算出DG=，则BE=，解着利用S△DEG=GE•ND=DG•HE可计算出HE，所以BH=BE+HE．解答：解：连结GE交AD于点N，连结DE，如图，∵正方形AEFG绕点A逆时针旋转45°，∴AF与EG互相垂直平分，且AF在AD上，∵AE=，∴AN=GN=1，∴DN=4﹣1=3，在Rt△DNG中，DG==；由题意可得：△ABE相当于逆时针旋转90°得到△AGD，∴DG=BE=，∵S△DEG=GE•ND=DG•HE，∴HE==，∴BH=BE+HE=+=．故答案为：．点评：本题考查了旋转及正方形的性质，解题的关键是会运用勾股定理和等腰直角三角形的性质进行几何计算．29．（2012•深圳二模）如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE=AP=1，PB=．下列结论：①△APD≌△AEB；②点B到直线AE的距离为；③EB⊥ED；④S△APD+S△APB=1+；⑤S正方形ABCD=4+．其中正确结论的序号是①③⑤．考点：正方形的性质；垂线；三角形的面积；全等三角形的判定与性质；勾股定理．专题：综合题；压轴题．分析：①首先利用已知条件根据边角边可以证明△APD≌△AEB；②由①可得∠BEP=90°，故BE不垂直于AE过点B作BM⊥AE延长线于M，由①得∠AEB=135°所以∠EMB=45°，所以△EMB是等腰Rt△，故B到直线AE距离为BF=，故②是错误的；③利用全等三角形的性质和对顶角相等即可判定③说法正确；④由△APD≌△AEB，可知S△APD+S△APB=S△AEB+S△APB，然后利用已知条件计算即可判定；⑤连接BD，根据三角形的面积公式得到S△BPD=PD×BE=，所以S△ABD=S△APD+S△APB+S△BPD=2+，由此即可判定．解答：解：由边角边定理易知△APD≌△AEB，故①正确；由△APD≌△AEB得，∠AEP=∠APE=45°，从而∠APD=∠AEB=135°，所以∠BEP=90°，过B作BF⊥AE，交AE的延长线于F，则BF的长是点B到直线AE的距离，在△AEP中，由勾股定理得PE=，在△BEP中，PB=，PE=，由勾股定理得：BE=，∵∠PAE=∠PEB=∠EFB=90°，AE=AP，∴∠AEP=45°，∴∠BEF=180°﹣45°﹣90°=45°，∴∠EBF=45°，∴EF=BF，在△EFB中，由勾股定理得：EF=BF=，故②是错误的；因为△APD≌△AEB，所以∠ADP=∠ABE，而对顶角相等，所以③是正确的；由△APD≌△AEB，∴PD=BE=，可知S△APD+S△APB=S△AEB+S△APB=S△AEP+S△BEP=+，因此④是错误的；连接BD，则S△BPD=PD×BE=，所以S△ABD=S△APD+S△APB+S△BPD=2+，所以S正方形ABCD=2S△ABD=4+．综上可知，正确的有①③⑤．点评：此题分别考查了正方形的性质、全等三角形的性质与判定、三角形的面积及勾股定理，综合性比较强，解题时要求熟练掌握相关的基础知识才能很好解决问题．30．（2012•宝安区二模）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，BE平分∠ABC，且BE⊥CD于E，P是BE上一动点．若BC=6，CE=2DE，则|PC﹣PA|的最大值是．考点：梯形；三角形三边关系；等腰三角形的判定与性质．专题：压轴题．分析：延长BA交CD的延长线于F，求出BF=BC，EF=CE，求出DF=DE=CF，求出PF=PC，根据两点之间线段最短得出|PC﹣PA|的最大值是PA，得出P和B重合时，得出最大值是AF的长，根据相似求出AF的值即可．解答：解：延长BA交CD的延长线于F，∵BE平分∠ABC，∴∠FBE=∠CBE，∵BE⊥CD，∴∠BEF=∠BEC=90°，∵在△FBE和△CBE中，∴△FBE≌△CBE（ASA），∴BF=BC=6，EF=EC，∵BE⊥CF，∴PC=PF（线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等），即|PC﹣PA|=|PF﹣PA|，根据两点之间线段最短得：|PF﹣PA|≤AF，即当|PC﹣PA|的最大值是AF，∴当P和B重合时，|PC﹣PA|=|BC﹣BA|=AF，∵EF=CE，CE=2DE，∴DF=DE=CE=CF，∵AD∥BC，∴△AFD∽△BFC，∴==，∴AF=BC=×6=，即|PC﹣PA|的最大值是，故答案为：．点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，线段垂直平分线定理等知识点的应用，关键是找出最大值是指哪一条线段的长，题目具有一定的代表性，但是有一定的难度．三、解答题（共30小题）31．（2014•深圳）如图，直线AB的解析式为y=2x+4，交x轴于点A，交y轴于点B，以A为顶点的抛物线交直线AB于点D，交y轴负半轴于点C（0，﹣4）．（1）求抛物线的解析式；（2）将抛物线顶点沿着直线AB平移，此时顶点记为E，与y轴的交点记为F，①求当△BEF与△BAO相似时，E点坐标；②记平移后抛物线与AB另一个交点为G，则S△EFG与S△ACD是否存在8倍的关系？若有请直接写出F点的坐标．考点：二次函数综合题．专题：代数几何综合题；压轴题．分析：（1）求出点A的坐标，利用顶点式求出抛物线的解析式；（2）①首先确定点E为Rt△BEF的直角顶点，相似关系为：△BAO∽△BFE；如答图2﹣1，作辅助线，利用相似关系得到关系式：BH=4FH，利用此关系式求出点E的坐标；②首先求出△ACD的面积：S△ACD=8；若S△EFG与S△ACD存在8倍的关系，则S△EFG=64或S△EFG=1；如答图2﹣2所示，求出S△EFG的表达式，进而求出点F的坐标．解答：解：（1）直线AB的解析式为y=2x+4，令x=0，得y=4；令y=0，得x=﹣2．∴A（﹣2，0）、B（0，4）．∵抛物线的顶点为点A（﹣2，0），∴设抛物线的解析式为：y=a（x+2）2，点C（0，﹣4）在抛物线上，代入上式得：﹣4=4a，解得a=﹣1，∴抛物线的解析式为y=﹣（x+2）2．（2）平移过程中，设点E的坐标为（m，2m+4），则平移后抛物线的解析式为：y=﹣（x﹣m）2+2m+4，∴F（0，﹣m2+2m+4）．①∵点E为顶点，∴∠BEF≥90°，∴若△BEF与△BAO相似，只能是点E作为直角顶点，∴△BAO∽△BFE，∴，即，可得：BE=2EF．如答图2﹣1，过点E作EH⊥y轴于点H，则点H坐标为：H（0，2m+4）．∵B（0，4），H（0，2m+4），F（0，﹣m2+2m+4），∴BH=|2m|，FH=|﹣m2|．在Rt△BEF中，由射影定理得：BE2=BH•BF，EF2=FH•BF，又∵BE=2EF，∴BH=4FH，即：4|﹣m2|=|2m|．若﹣4m2=2m，解得m=﹣或m=0（与点B重合，舍去）；若﹣4m2=﹣2m，解得m=或m=0（与点B重合，舍去），此时点E位于第一象限，∠BEF为钝角，故此情形不成立．∴m=﹣，∴E（﹣，3）．②假设存在．联立抛物线：y=﹣（x+2）2与直线AB：y=2x+4，可求得：D（﹣4，﹣4），∴S△ACD=×4×4=8．∵S△EFG与S△ACD存在8倍的关系，∴S△EFG=64或S△EFG=1．联立平移抛物线：y=﹣（x﹣m）2+2m+4与直线AB：y=2x+4，可求得：G（m﹣2，2m）．∴点E与点G横坐标相差2，即：|xG|﹣|xE|=2．当顶点E在y轴左侧时，如答图2﹣2，S△EFG=S△BFG﹣S△BEF=BF•|xG|﹣BF|xE|=BF•（|xG|﹣|xE|）=BF．∵B（0，4），F（0，﹣m2+2m+4），∴BF=|﹣m2+2m|．∴|﹣m2+2m|=64或|﹣m2+2m|=1，∴﹣m2+2m可取值为：64、﹣64、1、﹣1．当取值为64时，一元二次方程﹣m2+2m=64无解，故﹣m2+2m≠64．∴﹣m2+2m可取值为：﹣64、1、﹣1．∵F（0，﹣m2+2m+4），∴F坐标为：（0，﹣60）、（0，3）、（0，5）．同理，当顶点E在y轴右侧时，点F为（0，5）；综上所述，S△EFG与S△ACD存在8倍的关系，点F坐标为（0，﹣60）、（0，3）、（0，5）．点评