数学建模之微分方程建模与平衡点理论

微分方程列微分方程常用的方法：(1)根据规律列方程利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或经过实验检验的规律来建立微分方程模型。(2)微元分析法利用已知的定理与规律寻找微元之间的关系式，与第一种方法不同的是对微元而不是直接对函数及其导数应用规律。(3)模拟近似法在生物、经济等学科的实际问题中，许多现象的规律性不很清楚，即使有所了解也是极其复杂的，建模时在不同的假设下去模拟实际的现象，建立能近似反映问题的微分方程，然后从数学上求解或分析所建方程及其解的性质，再去同实际情况对比,检验此模型能否刻画、模拟某些实际现象.、模型的建立与求解1。1传染病模型(1)基础模型假设：t时刻病人人数%(/)连续可微。每天每个病人有效接触(使病人治病的接触)的人数为九，t=0时有%0个病人.建模：t到t+At病人人数增加TOC\o"1-5"\h\z%(t+At)一％(t)=九％(t)At (1)\o"CurrentDocument"—二九％,%(0)=% (2)\o"CurrentDocument"dt 0解得：%(t)-%e兀 (3)所以，病人人数会随着t的增加而无限增长,结论不符合实际。(2)SI模型

假设：1。疾病传播时期，总人数N保持不变.人群分为两类，健康者占总人数的比例为s(t),病人占总人数的比例为i(t)。2。每位病人每天平均有效接触九人，九为日接触率.有效接触后健康者变为病人。依据：患病人数的变化率=Ni(t)(原患病人数)*九s(t)(每个病人每天使健康人变为病人的人数)建模:Nd-=XNsi

dt由于设t=0时刻病人所占的比例为io,则可建立Logistic模型d八i(j)i(0)=,0(4)(6)解得:(4)(6)〜i图形如下，凰2〜i图形如下，凰2软模犁巾:;-■■曲戏结论：在不考虑治愈情况下①当i=1①当i=1时d达到最大值h、dt2dt这时tm(1 、H1ln—-1u0 1②t―8时人类全被感染.未考虑治愈情况。SIS模型假设：1。疾病传播时期，总人数N保持不变.人群分为两类，健康者占总人数的比例为s（t），病人占总人数的比例为i（t）。.每位病人每天平均有效接触九人,九为日接触率。有效接触后健康者变为病人..在所有病人中，每天有比例R的人能被治愈，治愈后看作可被感染的健康者，传染病的平均传染期为-。R依据：患病人数的变化率二九Nsi（患病人数的变化率）一RNi（治愈率）建模:(8)(9)Nd二九Nsi-RNi

dt(8)(9)did二九3）一同"（0）30令。为整个传染期内每位病人有效接触的平均人数，0=储3.则有di——=一九ii—dt(10)用Matlab绘制出色〜idi——=一九ii—dt(10)用Matlab绘制出色〜i（图3，图5）和

dti~t(图4,图6）。N中鹿城是小的情况图石STS模咆的曲轻图5号塔值里的:rj曲然fY”结论：O=1为一个阈值。①。>1,i(t)极限值代)=1-1为增函数，i(t)的增减性由i的大小确定。O 0②。41,病人比例i(t)越来越小，最终趋于0。(4)SIR模型(某些疾病患者治愈后获得了很强的免疫力，不会再次被感染)假设:①总人数N不变，将人群分为健康者，病人，和病愈免疫的移除者，他们在总人数中所占的比例依次为s(t),i(t)，r(t)。②九为病人的日接触率，〃为日治愈率，O=入"为传染期接触数.建模：由假设1得(11)(12)Ndr=从Ni

dt(12)令t=0时健康者与病人所占比例分别为s0(s0〉0),i0(i0>0)，则有五…i，五…i，d二一九si-,Idti(0)=i0s(0)=s0(13)利用Matlab绘制出i(t)，s(t)(图7)，〜(图8)图形,i〜s图形称为相轨线。图8L占图•(相轨线)图图8L占图•(相轨线)图73。 40相轨线分析:利用相轨线讨论解i(t),s(t)的性质。^-i平面称为相平面，相轨线在其上的定义域为(s,i)eD为(14)s>0,i>0,s+i<1}(14)消去方程中的dt，并由。得到(15)解得:(15)解得:(16)在定义域D内，相轨线是上式所表示的曲线，如图9所示，其中箭头表示随着时间t的增加s(t)和i(t)的变化趋势。下面分析s(t)、i(t)和r(t)的变化情况(tf8时它们的极限值分别记做汽，二和二)图95JR模型的相轨威①不论初始条件s0,i0如何，病人最终会消失，i8-0，证明：首先，由式(13)，4<0，而s(t)>0，所以s存在；由式(11)，虫>0,dt d dt而r(t)<1，所以［存在；由式(11)得18存在。其次，若L―〉0,则由式(11)，对于充分大的t有dr>呜，导致丫:8与7存在相矛盾。从图形来看，无论相轨线从何点出发，最终都将与S轴相交.②令式(16)中i=0,则最终未被感染的健康者的比例是Sy…8为方程, 1Fs八s+i—s+—ln—y—0 (17)0 0 8oS0在(0,1/o)内的根，在图形上表示为相轨线与s轴在(0,1/o)内交点的横坐标。③若S0>1/°，则i")先增加，当s—1/o时，i(t)达到最大值i—s+i--(1+lnos) (18)8 0 0o 0然后i(t)减小旦趋于0，s(t)单调减小至“，如图中由P1出发的相轨线。④若s0Ao，则i(t)单调减小至0，s(t)单调减小至S8，如图中由P2出发的相轨线。结论:①若病人比例有一段时间增长即认为传染病在蔓延，则1/。为一个阈值,s0>1/o时蔓延。可以通过减小o使s0Ao，使传染病不蔓延。②s0>1/o,o减小时，s8增加，也能控制蔓延程度。1。2捕鱼模型考察一个渔场，其中鱼量在天然环境下按一定规律增长、如果捕捞量恰好等于增长量，那么渔场鱼量将保持不变，这个捕捞量就可以持续.①产量模型假设：X(t)为渔场中鱼量.1。无捕捞时，鱼的的增长服从logistic规律，即X(t)=f(x)=rx(1-金］ (19)IN)其中：r表示固有增长率，N表示环境容许的最大鱼量，f(x)表示单位时间的增长量。2。用E表示单位时间捕捞率，单位时间捕捞量和渔场鱼量X(t)成正比，则有单位时间捕捞量为h(x)=Ex (2。)建模：捕捞情况下渔场鱼量满足,、_.、乙x、—x(t)=F(x)=rx1一n-Ex (21)其中：F(x)=f(x)一h(x)。判断x(t)的稳定条件，求式(21)的平衡点，分析其稳定性。令式(21)为0,得两个平衡点：Ex=N(1 ),x=0 (22)0 r1稳定性判断Ff(x)=E—r,Ff(x)=r—E当E<r时F(x0)<0,F(xi)>0，则x0点稳定，匕点不稳定。当E>r时F(x0)>0,F(xi)<0，则\点稳定，x0点不稳定。分析：用E表示捕捞率,丫表示固有增长率.①当E<r时，可使鱼量稳定在x0，获得稳定产量.②当E>r时，xi稳定，渔场干枯。根据(19)，(20)式分别绘制曲线尸f(x)及y=h(x)=E(x)，使用Matlab绘制图形如下所示，得两曲线交点为P，则P横坐标为稳定平衡点x0，纵坐标为稳定条件下单位时间的产量，当交点位于抛物线顶点时获得最大的持续产量，此时的稳定平衡点为x*=N,单位时间的最大持续产量为h=曳，捕捞率e*=r。0 2 m4 2结论：将捕捞率控制在固有增长率r的一半，即使渔场鱼量保持在最大鱼量的一半时，能够获得最大的持续产量。②效益模型(经济效益=总收入收入一成本)假设：鱼销售单价P，单位捕捞率费用是。，单位时间收入为丁，成本为S，单位利润为R，则有T=ph(x)=pEx S=cER=T—S=pEx—cE (23)建模:在稳定条件x=)下，将式(22)代入式(23)得TOC\o"1-5"\h\zR(E)=T(E)-S(E)=pNE(1-—)-cE (24)r求出使利润最大的捕捞强度为E=-[1-—] (25)R21pN)最大利润下的渔场稳定鱼量、和单位时间的持续产量hRNcxR=2*2P (26)h=rx(1-鼠)=且[1-。] (27)RRN4Ip2N2J结论：当有最大效益时，捕捞率和持续产量都减小，渔场应保持的稳定鱼量增加，捕捞成本越大或销售价格越低所需减少增大的部分越大.③捕捞过度：封闭式捕捞追求利益最大，开放式捕捞只追求利润。令式(24)中R(E)=0，解Ej则E=/1-—] (28)SIPNJ当E<Es时，利润r(e)〉0经营者加大捕捞强度,当E>E/r(e)<0经营者减小捕捞强度，E为盲目捕捞下的临界强度.S或利用Matlab绘制—〜T(E),S(E)曲线如图(12)，则t(E),S(E)交点横坐标即为ES。二、微分方程与平衡点理论2。1一阶微分方程设一阶微分方程为x(t)=f(x) (1)求解方程f(X)=0即可出平衡点x=x0。再判断平衡点x0是否稳定。判断平衡点的常用方法有以下两种(1)直接法将f(x)在x0点作泰勒展开，仅取一次项，则得方程(1)的近似线性方程为

xG）=/,（x）（x-x） （2）0所以，X也是方程（2）的平衡点.令广（x）=〃,则方程（2）的一般解为0 0xG）=+x c为常数o对于x点的稳定性有如下结论:0TOC\o"1-5"\h\z如果广（x）＜0,则X对于方程（2）和（1）都是稳定的；0 0如果尸G）＞0,则X对于方程（2）和（1）都是不稳定的；0 0（2）间接法如果存在x某个邻域内的任意值，使方程（1）的解式方）满足0limxG）=x （3）…0那么X是稳定的，否则X是不稳定的.0 02.2二阶微分方程设二阶微分方程为(4)f（xx）—0求出方程/J2 的解,即为二阶微分方程的平衡点X=X0,X=X。记作TOC\o"1-5"\h\zgkx,x）=0 1122l12PGo,xo）0 1 2利用直接法判断平衡点的稳定性，由线性常系数微分方程组xax+ax＜1zX11 22 （5）x\t）=bx+bxl2 11 22得系数矩阵记(6)(7)(6)(7)(8)A=i2bbL1 2」为求出方程（5）的惟一平衡点P（0,0）的稳定性，令A的行列式为odetA^OP（0,0）的稳定性可由方程（5）的特征方程的根九决定。即odet（A-1/）=0方程（8）可以写为入2+p入+q=0TOC\o"1-5"\h