2022年中考压轴题汇编（十）

2022年中考压轴题汇编（十）陕西省25、（2022•陕西）如图①，在矩形ABCD中，将矩形折叠，使B落在边AD（含端点）上，落点记为E，这时折痕与边BC或者边CD（含端点）交于F，然后展开铺平，则以B、E、F为顶点的三角形△BEF称为矩形ABCD的“折痕三角形”（1）由“折痕三角形”的定义可知，矩形ABCD的任意一个“折痕△BEF”是一个等腰三角形（2）如图②、在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，，当它的“折痕△BEF”的顶点E位于AD的中点时，画出这个“折痕△BEF”，并求出点F的坐标；（3）如图③，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，该矩形是否存在面积最大的“折痕△BEF”？若存在，说明理由，并求出此时点E的坐标？若不存在，为什么？考点：翻折变换（折叠问题）；勾股定理；矩形的性质；正方形的性质。专题：数形结合；分类讨论。分析：（1）由图形结合线段垂直平分线的性质即可解答；（2）由折叠性质可知，折痕垂直平分BE，求出AB、AE的长，判断出四边形ABFE为正方形，求得F点坐标；（3）矩形ABCD存在面积最大的折痕三角形BEF，其面积为4，①当F在边CD上时，S△BEF≤12②当F在边CD上时，过F作FH∥BC交AB于点H，交BE于K，再根据三角形的面积公式即可求解；再根据此两种情况利用勾股定理即可求出AE的长，进而求出E点坐标．解答：解：（1）等腰．（2）如图①，连接BE，画BE的中垂线交BC与点F，连接EF，△BEF是矩形ABCD的一个折痕三角形．∵折痕垂直平分BE，AB=AE=2，∴点A在BE的中垂线上，即折痕经过点A．∴四边形ABFE为正方形．∴BF=AB=2，∴F（2，0）．（3）矩形ABCD存在面积最大的折痕三角形BEF，其面积为4，理由如下：①当F在边BC上时，如图②所示．S△BEF≤12②当F在边CD上时，如图③所示，过F作FH∥BC交AB于点H，交BE于K．∵S△EKF=12KF•AH≤12HF•AH=12S矩形AHFD，S△BKF=12KF•BH≤12HF•BH=12S矩形BCFH，∴S即当F为CD中点时，△BEF面积最大为4．下面求面积最大时，点E的坐标．①当F与点C重合时，如图④所示．由折叠可知CE=CB=4，在Rt△CDE中，ED=CD2﹣CE2=42﹣2②当F在边DC的中点时，点E与点A重合，如图⑤所示．此时E（0，2）．综上所述，折痕△BEF的最大面积为4时，点E的坐标为E（0，2）或E（4﹣23，2）．点评：本题考查的是图形的翻折变换，涉及到矩形及正方形的性质，难度较大，在解答此题时要利用数形结合的思想进行分类讨论．上海市25．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）、（3）小题满分各5分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝30，AB＝50．点P是AB边上任意一点，直线PE⊥AB，与边AC或BC相交于E．点M在线段AP上，点N在线段BP上，EM＝EN，．（1）如图1，当点E与点C重合时，求CM的长；（2）如图2，当点E在边AC上时，点E不与点A、C重合，设AP＝x，BN＝y，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；（3）若△AME∽△ENB（△AME的顶点A、M、E分别与△ENB的顶点E、N、B对应），求AP的长．图1图2备用图25.(本题满分14分，第(1)小题满分4分，第(2)、(3)小题满分各5分)[解](1)由AE=40，BC=30，AB=50，CP=24，又sinEMP=CM=26。(2)在Rt△AEP與Rt△ABC中，∵EAP=BAC，∴Rt△AEP~Rt△ABC，∴，即，∴EP=x，又sinEMP=tgEMP===，∴MP=x=PN，BN=ABAPPN=50xx=50x(0<x<32)。(3)當E在線段AC上時，由(2)知，，即，EM=x=EN，又AM=APMP=xx=x，由題設△AME~△ENB，∴，=，解得x=22=AP。當E在線段BC上時，由題設△AME~△ENB，∴AEM=EBN。由外角定理，AEC=EABEBN=EABAEM=EMP，∴Rt△ACE~Rt△EPM，，即，CE=…。設AP=z，∴PB=50z，由Rt△BEP~Rt△BAC，，即=，BE=(50z)，∴CE=BCBE=30(50z)…。由，，解=30(50z)，得z=42=AP。四川省成都市28、（2022•成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的A、B两个顶点在x轴上，顶点C在y轴的负半轴上．已知|OA|：|OB|=1：5，|OB|=|OC|，△ABC的面积S△ABC=15，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A、B、C三点．（1）求此抛物线的函数表达式；（2）设E是y轴右侧抛物线上异于点B的一个动点，过点E作x轴的平行线交抛物线于另一点F，过点F作FG垂直于x轴于点G，再过点E作EH垂直于x轴于点H，得到矩形EFGH．则在点E的运动过程中，当矩形EFGH为正方形时，求出该正方形的边长；（3）在抛物线上是否存在异于B、C的点M，使△MBC中BC边上的高为72考点：二次函数综合题。专题：综合题。分析：（1）由已知设OA=m，则OB=OC=5m，AB=6m，由△ABC=12（2）设E点坐标为（m，m2﹣4m﹣5），抛物线对称轴为x=2，根据2（m﹣2）=EH，列方程求解；（3）存在．因为OB=OC=5，△OBC为等腰直角三角形，直线BC解析式为y=x﹣5，则直线y=x+9或直线y=x﹣19与BC的距离为72，将直线解析式与抛物线解析式联立，求M点的坐标即可．解答：解：（1）∵|OA|：|OB|=1：5，|OB|=|OC|，设OA=m，则OB=OC=5m，AB=6m，由△ABC=12AB×OC=15，得1∴A（﹣1，0），B（5，0），C（0，﹣5），设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣5），将C点坐标代入，得a=1，∴抛物线解析式为y=（x+1）（x﹣5），即y=x2﹣4x﹣5；（2）设E点坐标为（m，m2﹣4m﹣5），抛物线对称轴为x=2，由2（m﹣2）=EH，得2（m﹣2）=﹣（m2﹣4m﹣5）或2（m﹣2）=m2﹣4m﹣5，解得m=1±10或m=3±10，∵m＞2，∴m=1+10或m=3+10，边长EF=2（m﹣2）=210﹣2或210+2；（3）存在．由（1）可知OB=OC=5，∴△OBC为等腰直角三角形，直线BC解析式为y=x﹣5，依题意，直线y=x+9或直线y=x﹣19与BC的距离为72，联立&y=x+9&y=x2解得&x=﹣2&y=7∴M点的坐标为（﹣2，7），（7，16）．点评：本题考查了二次函数的综合运用．关键是采用形数结合的方法，准确地用点的坐标表示线段的长，根据图形的特点，列方程求解，注意分类讨论．四川省达州23、(10分)如图，已知抛物线与轴交于A(1，0)，B（，0）两点，与轴交于点C(0，3)，抛物线的顶点为P，连结AC．(1)求此抛物线的解析式；(2)在抛物线上找一点D，使得DC与AC垂直，且直线DC与轴交于点Q，求点D的坐标；(3)抛物线对称轴上是否存在一点M，使得S△MAP=2S△ACP，若存在，求出M点坐标；若不存在，请说明理由．23、（10分）解（1）设此抛物线的解析式为：∵抛物线与轴交于A（1，0）、B（两点，∴又∵抛物线与轴交于点C（0，3）∴，∴∴即……………3分用其他解法参照给分（2）∵点A（1，0），点C（0，3）∴OA=1，OC=3，∵DC⊥AC，OC⊥轴∴△QOC∽△COA∴，即∴OQ=9，又∵点Q在轴的负半轴上，∴Q（设直线DC的解析式为：，则解之得：∴直线DC的解析式为：∵点D是抛物线与直线DC的交点，∴解之得：（不合题意，应舍去）∴点D（（3）如图，点M为直线上一点，连结AM，PC，PA设点M（，直线与轴交于点E，∴AE=2∵抛物线的顶点为P，对称轴为∴P（∴PE=4则PM=∵S四边形AEPC=S四边形OEPC+S△AOC===又∵S四边形AEPC=S△AEP+S△ACPS△AEP=∴+S△ACP=……8分∵S△MAP=2S△ACP∴∴∴，……9分故抛物线的对称轴上存在点M使S△MAP=2S△ACP点M（或……10分四川省广安30、如图所示，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是直角梯形，BC∥AD，∠BAD=90°，BC与y轴相交于点M，且M是BC的中点，A、B、D三点的坐标分别是A（），B（），D（3，0）．连接DM，并把线段DM沿DA方向平移到ON．若抛物线经过点D、M、N．（1）求抛物线的解析式．（2）抛物线上是否存在点P，使得PA=PC，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）设抛物线与x轴的另一个交点为E，点Q是抛物线的对称轴上的一个动点，当点Q在什么位置时有|QE-QC|最大？并求出最大值．30.解：（1）∵BC∥AD，B（-1，2），M是BC与x轴的交点，∴M（0，2），∵DM∥ON，D（3，0），∴N（-3，2），则，解得，∴；（2）连接AC交y轴与G，∵M是BC的中点，∴AO=BM=MC，AB=BC=2，∴AG=GC，即G（0，1），∵∠ABC=90°，∴BG⊥AC，即BG是AC的垂直平分线，要使PA=PC，即点P在AC的垂直平分线上，故P在直线BG上，∴点P为直线BG与抛物线的交点，设直线BG的解析式为，则，解得，∴，∴，解得，，∴点P（）或P（），（3）∵，∴对称轴，令，解得，，∴E（，0），故E、D关于直线对称，∴QE=QD，∴|QE-QC|=|QD-QC|，要使|QE-QC|最大，则延长DC与相交于点Q，即点Q为直线DC与直线的交点，由于M为BC的中点，∴C（1，2），设直线CD的解析式为y=kx+b，则，解得，∴，当时，，故当Q在（）的位置时，|QE-QC|最大，过点C作CF⊥x轴，垂足为F，则CD=．四川省乐山26.已知顶点为A(1,5)的抛物线经过点B(5,1).(1)求抛物线的解析式;(2)如图（1）,设C,D分别是轴、轴上的两个动点，求四边形ABCD周长的最小值；（3）在（2）中，当四边形ABCD的周长最小时，作直线CD.设点P()()是直线上的一个动点，Q是OP的中点，以PQ为斜边按图（2）所示构造等腰直角三角形PRQ.①当△PBR与直线CD有公共点时,求的取值范围；②在①的条件下，记△PBR与△COD的公共部分的面积为S.求S关于的函数关系式，并求S的最大值。26.解：（1）∵抛物线的顶点为A（1，5），∴设抛物线的解析式为，将点B（5，1）代入，得，解得，∴（2）作A关于y轴的对称点，作B关于x轴的对称点，显然，如图，连结分别交x轴、y轴于C、D两点，∵，∴此时四边形ABCD的周长最小，最小值就是。而，∴四边形ABCD周长的的最小值为。（3）①点B关于x轴的对称点B′（），点A关于y轴的对称点A′（﹣1，5），连接A′B′，与x轴，y轴交于C，D点，∴CD的解析式为：，联立QUOTE&y=﹣x+4&y=x，得：∵点P在上，点Q是OP的中点，∴要使等腰直角三角形与直线CD有公共点，则．故的取值范围是：．②如图：点E（2，2），当EP=EQ时，，得：，当时，当时，．当QUOTE83时，当时，．故的最大值为：．四川省凉山如图，抛物线与轴交于（，0）、（，0）两点，且，与轴交于点，其中是方程的两个根。（1）求抛物线的解析式；（2）点是线段上的一个动点，过点作∥，交于点，连接，当的面积最大时，求点的坐标；（3）点在（1）中抛物线上，点为抛物线上一动点，在轴上是否存在点，使以为顶点的四边形是平行四边形，如果存在，求出所有满足条件的点的坐标，若不存在，请说明理由。yxOyxOBMNCA图（1）HyxOBEA图（2）D28．（1）∵，∴，。∴，。····················1分又∵抛物线过点、、，故设抛物线的解析式为，将点的坐标代入，求得。∴抛物线的解析式为。········3分（2）设点的坐标为（，0），过点作轴于点（如图（1））。∵点的坐标为（，0），点的坐标为（6，0），∴，。···························4分∵，∴。∴，∴，∴。·················5分yxOyxOBA图（3）D······6分。∴当时，有最大值4。此时，点的坐标为（2，0）。··············7分（3）∵点（4，）在抛物线上，∴当时，，∴点的坐标是（4，）。如图（2），当为平行四边形的边时，，∵（4，），∴（0，），。∴，。··········9分如图（3），当为平行四边形的对角线时，设，则平行四边形的对称中心为（，0）。·················10分∴的坐标为（，4）。把（，4）代入，得。解得。，。····················12分四川省泸州27.（2022四川泸州，27，10分）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点坐标为(0，)，且ac=．（1）若该函数的图象经过点（-1，-1）．①求使y＜0成立的x的取值范围．②若圆心在该函数的图象上的圆与x轴、y轴都相切，求圆心的坐标．（2）经过A（0，p）的直线与该函数的图象相交于M，N两点，过M，N作x轴的垂线，垂足分别为M1，N1，设△MAM1，△AM1N1，△ANN1的面积分别为s1，s2，s3，是否存在m，使得对任意实数p≠0都有s22=ms1s3成立，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．答案：解：（1）∵二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点坐标为(0，)，且ac=，又∵函数的图象经过点（－1，－1），代入二次函数解析式得方程组，解得：a=－，b=0，c=－，y=－x2-－，①利用函数图象可知使y＜0成立的x的取值范围是：全体实数；②若圆心在该函数的图象上的圆与x轴、y轴都相切，假设与x轴切点为Q，与y轴切点为F，∴OQ=FO，∴－x==－x2-－，整理得：x2-2x+1=0，解得：x1=x2=1，∴QO=FO=1，∴圆心的坐标为：（1，－1）或（－1，1）；（2）存在m，使得对任意实数p≠0都有s22=ms1s3成立．四川省眉山26、（2022•眉山）如图，在直角坐标系中，已知点A（0，1），B（﹣4，4），将点B绕点A顺时针方向90°得到点C；顶点在坐标原点的拋物线经过点B．（1）求抛物线的解析式和点C的坐标；（2）抛物线上一动点P，设点P到x轴的距离为d1，点P到点A的距离为d2，试说明d2=d1+1；（3）在（2）的条件下，请探究当点P位于何处时，△PAC的周长有最小值，并求出△PAC的周长的最小值．分析：（1）设抛物线的解析式：y=ax2，把B（﹣4，4）代入即可得到a的值；过点B作BE⊥y轴于E，过点C作CD⊥y轴于D，易证Rt△BAE≌Rt△ACD，得到AD=BE=4，CD=AE=OE﹣OA=4﹣1=3，即可得到C点坐标（3，5）；（2）设P点坐标为（a，b），过P作PF⊥y轴于F，PH⊥x轴于H，则有d1=14a2，又AF=OF﹣OA=PH﹣OA=d1﹣1=14a2﹣1，PF=a，在Rt△PAF中，利用勾股定理得到PA=d2=14即有结论d2=d1+1；（3）△PAC的周长=PC+PA+5，由（2）得到△PAC的周长=PC+PH+6，要使PC+PH最小，则C、P、H三点共线，P点坐标为（3，94解答：解：（1）设抛物线的解析式：y=ax2，∵拋物线经过点B（﹣4，4），∴4=a•42，解得a=14所以抛物线的解析式为：y=14x2过点B作BE⊥y轴于E，过点C作CD⊥y轴于D，如图，∵点B绕点A顺时针方向90°得到点C，∴Rt△BAE≌Rt△ACD，∴AD=BE=4，CD=AE=OE﹣OA=4﹣1=3，∴OD=AD+OA=5，∴C点坐标为（3，5）；（2）设P点坐标为（a，b），过P作PF⊥y轴于F，PH⊥x轴于H，如图，∵点P在抛物线y=14x2上，∴b=14a2，∴d1=14∵AF=OF﹣OA=PH﹣OA=d1﹣1=14a2在Rt△PAF中，PA=d2=AF2+PF2=（14∴d2=d1+1；（3）由（1）得AC=5，∴△PAC的周长=PC+PA+5=PC+PH+6，要使PC+PH最小，则C、P、H三点共线，∴此时P点的横坐标为3，把x=3代入y=14x2，得到y=9即P点坐标为（3，94∴△PAC的周长的最小值=5+6=11．点评：本题考查了点在抛物线上，点的横纵坐标满足二次函数的解析式和顶点在原点的二次函数的解析式为：y=ax2；也考查了旋转的性质、勾股定理以及两点之间线段最短．四川省绵阳25．已知△ABC是等腰直角三角形，∠A=90，D是腰AC上的一个动点，过C作CE垂直于BD或BD的延长线，垂足为E，如图．（1）若BD是AC的中线，求的值；（2）若BD是∠ABC的角平分线，求的值；（3）结合（1）、（2），试推断的取值范围（直接写出结论，不必证明），并探究的值能小于吗？若能，求出满足条件的D点的位置；若不能，说明理由．25．解法1设AB=AC=1，CD=x，则0＜x＜1，BC=，AD=1－x．在Rt△ABD中，BD2=AB2+AD2=1+（1－x）2=x2－2x+2．由已知可得Rt△ABD∽Rt△ECD，EDCAB∴，即，从而EDCAB∴，0＜x＜1，（1）若BD是AC的中线，则CD=AD=x=，得．（2）若BD是∠ABC的角平分线，则，得，解得，∴．（3）若，则有3x2－10x+6=0，解得∈（0，1），∴，表明随着点D从A向C移动时，BD逐渐增大，而CE逐渐减小，的值则随着D从A向C移动而逐渐增大．解法2设AB=AC=1，∠ABD=，则BC=，∠CBE=45－．在Rt△ABD中，有；在Rt△BCE中，有CE=BC·sin∠CBE=sin（45－）．因此．下略……解法3（1）∵∠A=∠E=90，∠ADB=∠CDE，∴△ADB∽△EDC，∴．由于D是中点，且AB=AC，知AB=2AD，于是CE=2DE．在Rt△ADB中，BD=．在Rt△CDE中，由CE2+DE2=CD2，有CE2+CE2=CD2，于是．而AD=CD，所以．（2）如图，延长CE、BA相交于点F．∵BE是∠ABC的平分线，且BE⊥CF，∴△CBE≌△FBE，得CE=EF，于是CF=2CE．又∠ABD+∠ADB=∠CDE+∠FCA=90，且∠ADB=∠CDE，∴∠ABD=∠FCA，进而有△ABD≌△ACF，得BD=2CE，．（3）的值的取值范围为≥1．下略……四川省内江28、（2022•内江）如图抛物线y=13x2（1）求出抛物线的解析式及A、B两点的坐标；（2）在x轴下方的抛物线上是否存在点D，使四边形ABDC的面积为3．若存在，求出点D的坐标；若不存在．说明理由（使用图1）；（3）点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有满足条件的点P的坐标（使用图2）．考点：二次函数综合题。专题：综合题。分析：（1）根据二次函数对称轴公式以及二次函数经过（0．﹣1）点即可得出答案；（2）根据S四边形ABCD=S△AOC+S梯形OCDM+S△BMD，表示出关于a的一元二次方程求出即可；（3）分别从当AB为边时，只要PQ∥AB，且PQ=AB=4即可以及当AB为对角线时，只要线段PQ与线段AB互相平分即可，分别求出即可．解答：解：（1）∵抛物线与y轴交于点C（0．﹣1）．且对称抽x=l．∴&﹣﹣m2×13=1&n=﹣令13x2﹣23x﹣1=0，得：x1=﹣1，x（2）设在x轴下方的抛物线上存在D（a，13作DM⊥x轴于M，则S四边形ABDC=S△AOC+S梯形OCDM+S△BMD，∴S四边形ABCD=12|xAyC|+12（|yD|+|yC|）xM+12（xB﹣xM=12×1×1+12[﹣（13a2﹣23a﹣1）+1]×a+12（3﹣a）[﹣（13a2﹣23∴由﹣12a2+32a+2=3，解得：a1∴D的纵坐标为：13a2﹣23a﹣1=﹣43（3）①当AB为边时，只要PQ∥AB，且PQ=AB=4即可，又知点Q在y轴上，所以点P的横坐标为﹣4或4，当x=﹣4时，y=7；当x=4时，y=53所以此时点P1的坐标为（﹣4，7），P2的坐标为（4，53②当AB为对角线时，只要线段PQ与线段AB互相平分即可，线段AB中点为G，PQ必过G点且与y轴交于Q点，过点P作x轴的垂线交于点H，可证得△PHG≌△QOG，∴GO=GH，∵线段AB的中点G的横坐标为1，∴此时点P横坐标为2，由此当x=2时，y=﹣1，∴这是有符合条件的点P3（2，﹣1），∴所以符合条件的点为：P1的坐标为（﹣4，7），P2的坐标为（4，53）；P3点评：此题主要考查了二次函数的综合应用，二次函数的综合应用是初中阶段的重点题型特别注意利用数形结合是这部分考查的重点也是难点同学们应重点掌握．四川省南充22.抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点为A（m-4,0）和B(m,0)，与直线y=-x+p相交于点A和点C(2m-4,m-6).(1)求抛物线的解析式；（2）若点P在抛物线上，且以点P和A,C以及另一点Q为顶点的平行四边形ACQP面积为12，求点P,Q的坐标；（3）在（2）条件下，若点M是x轴下方抛物线上的动点，当⊿PQM的面积最大时，请求出⊿PQM的最大面积及点M的坐标。22.解：（1）∵点A(m-4,0)和C(2m-4,m-6)在直线y=-x+p上∴-(m-4)+p=0；-(2m-4)+p=m-6,解得：m=3，p=-1∴A(-1,0)B(3,0),C(2,-3)…………….（1分） 设抛物线y=ax2+bx+c=a(x-3)(x+1),∵C(2,-3)∴a=1∴抛物线解析式为：y=x2-2x-3….（2分）（2）AC=3,AC所在直线的解析式为：y=-x-1，∠BAC=450∵平行四边形ACQP的面积为12.∴平行四边形ACQP中AC边上的高为=2……….（3分）过点D作DK⊥AC与PQ所在直线相交于点K,DK=2,∴DN=4∵ACPQ,PQ所在直线在直线ACD的两侧，可能各有一条，∴PQ的解析式或为y=-x+3或y=-x-5∴解得：x1=3，y1=0或x2=-2，y2=5即P1(3,0),P2(-2,5)…………….（4分）方程组无解。∵ACPQ是平行四边形，A(-1,0)C(2,-3)∴当P(3,0)时，Q(6，-3)；当P(-2,5)时，Q(1，2)…………….（5分）∴满足条件的P,Q点是P1(3,0),Q1(6，-3)或P2(-2,5)，Q2(1，2)设M(t,t2-2t-3),(-1＜t＜3),过点M作y轴的平行线，交PQ所在直线雨点T,则T(t,-t+3)MT=(-t+3)-(t2-2t-3)=-t2+t+6…………….（6分）过点M作MS⊥PQ所在直线于点S，MS=MT=(-t2+t+6)=-(t-)2+∴当t=时，M（，-），⊿PQM中PQ边上高的最大值为…（7分）四川省攀枝花24、（2022•攀枝花）如图，已知二次函数y=x2+bx+c的图象的对称轴为直线x=1，且与x轴有两个不同的交点，其中一个交点坐标为（﹣1，0）．（1）求二次函数的关系式；（2）在抛物线上有一点A，其横坐标为﹣2，直线l过点A并绕着点A旋转，与抛物线的另一个交点是点B，点B的横坐标满足﹣2＜xB＜32（3）抛物线上是否存在点C使△AOC的面积与（2）中△AOB的最大面积相等．若存在，求出点C的横坐标；若不存在说明理由．分析：（1）把点A的坐标和对称轴代入即可；（2）把y=0代入解一元二次方程即可；（3）根据直角三角形的性质，设P点的坐标是（x，﹣12解答：解：（1）二次函数y=x2+bx+c图象的对称轴是直线x=1，且过点A（﹣1，0），代入得：﹣b2×1=1，1﹣b+c=0，解得：b=﹣2，c=﹣3，所以二次函数的关系式为：y=x2（2）抛物线与y轴交点B的坐标为（0，﹣3设直线AB的解析式为y=kx+m，∴&3k+m=0&m=﹣32，∴&k=12∵P为线段AB上的一个动点，∴P点坐标为（x，12x﹣3由题意可知PE∥y轴，∴E点坐标为（x，12x2﹣x﹣3∵0＜x＜3，∴PE=（12x﹣32）﹣（12x2﹣x﹣32）=﹣12（3）由题意可知D点横坐标为x=1，又D点在直线AB上，∴D点坐标（1，﹣1）．①当∠EDP=90°时，△AOB∽△EDP，∴ABOB过点D作DQ⊥PE于Q，∴xQ=xP=x，yQ=﹣1，∴△DQP∽△AOB∽△EDP，∴DPDQ又OA=3，OB=32，AB=3又DQ=x﹣1，∴DP=52∴3523∴P（6﹣1，6﹣42②当∠DEP=90°时，△AOB∽△DEP，∴OAOB由（2）PE=﹣12x2+32x，DE=x﹣1，∴解得：x=1±2，（负值舍去）．∴P（1+2，22﹣1）（如图中的P2综上所述，P点坐标为（6﹣1，6﹣42）或（1+2点评：本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求一次函数的解析式，直角三角形斜边上中线等知识点，解此题的关键是求出点P的坐标，此题难度较大．用的数学思想是分类讨论思想．四川省雅安25、（2022•雅安）如图，已知二次函数y=ax2+2x+c（a＞0）图象的顶点M在反比例函数y=3（1）若二次函数的对称轴为x=﹣（2）在（1）的条件下求AB的长；（3）若二次函数的对称轴与x轴的交点为N，当NO+MN取最小值时，试求二次函数的解析式．考点：二次函数综合题。分析：（1）根据对称轴x=﹣b2a=﹣12，求得二次函数y=ax2+2x+c（a＞0）中的a，再根据顶点在反比例函数（2）求得抛物线与x轴的交点坐标，再用点B的横坐标减去点A的横坐标即可．（3）可用含有a的式子表示点M、N的坐标，即求出a的值，再求得解析式．解答：解：（1）∵二次函数的对称轴为x=﹣12，∴﹣2∵二次函数y=ax2+2x+c（a＞0）图象的顶点M在反比例函数y=3∴顶点为（﹣12，c﹣12），∴12（c﹣12）=﹣3，解得c=﹣112（2）∵二次函数的解析式为y=2x2+2x﹣112；∴令y=0，2x2+2x﹣112=0；解得x=∴AB=﹣1+232（3）根据对称轴x=﹣1a，当x=﹣1∴NO+MN=1a+3a≥23a•1a=23，当3a=1a时NO+MN最小，即3a∴此时二次函数的解析式为y=33x2+2x+33点评：本题是二次函数的综合题，其中涉及到的知识点有最值问题和两点之间的距离等知识点，是各地中考的热点和难点，解题时注意数形结合等数学思想的运用，同学们要加强训练，属于中档题．四川省宜宾24．已知抛物线的顶点是C(0，a)(a>0，a为常数)，并经过点(2a，2a)，点D（0，2a）为一定点.(1)求含有常数a的抛物线的解析式；(2)设点P是抛物线任意一点，过P作PH⊥x轴，垂足是H，求证：PD=PH；(3)设过原点O的直线l与抛物线在第一象限相交于A、B两点，若DA=2DB，且S△ABD=4eq\r(\s\do1,2)，求a的值.(24题图)(24题图)24．解：（1）设抛物线的解析式为y=kx2+a(1分)∵点D（2a，24a2k+a=2a∴k=eq\f(1,4a)(3分)∴抛物线的解析式为y=eq\f(1,4a)x2+a（4分）（2）设抛物线上一点P（x，y），过P作PH⊥x轴，PG⊥y轴，在Rt△GDP中，由勾股定理得：PD2=DG2+PG2=(y–2a)2+x2=y2–4ay+4a2+(5分)∵y=eq\f(1,4