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第二篇数学物理方程数学物理方法第二篇数学物理方程

一、数学物理定解问题二、分离变量法三、积分变换法四、勒让德多项式球函数五、贝塞尔函数柱函数区间两端均为第二类齐次边界条件的例题.例1研究两端自由杆的自由纵振动，其定解问题：(0<x<l)§2.2齐次方程的分离变量法举例泛定方程和边界条件都是齐次的，可以用分离变量法。提示解

第一步：分离变量u(x,t)=X(x)T(t)代入泛定方程,得代入边界条件,得=(0<x<l)解

第二步：求解本征值问题被排除二阶常系数齐次线性微分方程提示带入附加条件，得得到无意义的解X(x)≡0.（1）本征函数为任意常数带入附加条件，得（2）被排除二阶常系数齐次线性微分方程得到无意义的解X(x)≡0.（1）提示（3）本征值和本征函数分别为提示方程的解是带入条件得被排除二阶常系数齐次线性微分方程得到无意义的解X(x)≡0.（1）本征函数（2）本征值和本征函数分别为合并λ=0和λ>0两种情况后，本征值和本征函数，有(n=0,1,2,…)C1为任意常数.（3）被排除二阶常系数齐次线性微分方程得到无意义的解X(x)≡0.（1）本征函数（2）本征值和本征函数，有(n=0,1,2,…)C1为任意常数.解

第二步：求解本征值问题关于T的方程，得其解解

第三步：先求特解，再叠加求出一般解原方程变量分离形式的特解原方程变量分离形式的一般解u(x,t)=关于T的方程，得其解解

第三步：先求特解，再叠加求出一般解由初始条件确定系数提示由傅氏余弦级数展开解

第四步:利用傅立叶级数确定待定系数u(x,t)=注解u(x,t)正是傅氏余弦级数.这是在x=0和x=l处的第二类齐次边界条件决定的.u(x,t)=解

第四步:利用傅立叶级数确定待定系数由初始条件确定系数区间两端为混合齐次边界条件的例题.例2研究细杆导热问题,其定解问题：泛定方程和边界条件都是齐次的，可以用分离变量法。提示(0<x<l)代入泛定方程和边界条件，得u(x,t)=X(x)T(t)关于X(x)

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