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矩阵的初等变换矩阵的等价用初等变换求矩阵的秩第六节利用初等变换求矩阵的秩

下面三种变换称为矩阵的初等行变换（1）对调两行（对调i,j两行，记作（2）以不为零的数k乘某一行的所有元素(第i行乘数k,记作一、矩阵的初等变换1、矩阵的初等变换（3）把某一行的所有元素的k倍加到另一行对应的元素上去（第i行的k倍加到第j行上去,记作定义13

1.把定义中的行换成列，即得矩阵的初等列变换的定义。2.我们把矩阵的初等行变换和初等列变换，统称为矩阵的初等变换。注意：三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是与之

相应的同一类型的初等变换,即

的逆变换就是本身的逆变换是的逆变换是如果矩阵A经过有限次初等变换变成容易验证等价关系满足：（1）反身性：对任意矩阵

A，（2）对称性：（3）传递性：二、矩阵的等价和矩阵的标准形1、等价矩阵定义14

矩阵B，则称矩阵A与矩阵B等价，记作B时，R（A）=R（B）即A定理2.10

初等变换不改变矩阵的秩。证明

只需证明A经过一次初等变换化成又因为初等变换是可逆的，所以只需证明经过一次初等变换有二、矩阵秩的计算下面以列变换为例，按三种初等列变换分别论证。设R(A)=r要证的任意r+1阶子式M全为零，为此对A按列分块，这时M或者是A的一个r+1阶子式，或者与A的某个r+1阶子式相差一个负号，此时都有M=0.当M不含第i列时，M本身就是A中的一个r+1阶子式，当M包含第i列时，M等于A中的某个r+1阶子式乘以,此时都有M=0类似（2）的证明，只需考虑M包含第j列的情况，的r+1阶子式，其值为0，另一个或者是两列成比例（M中包含A中的第i列），或者是A中某r+1阶子这时M可以表示成两个行列式的和，其中一个是A式的倍（M中不包含A中的第i列），它们都是零子式，所以总有M=0总之，经过列变换由于列变换的可逆性，又有关于行变换的论证是完全类似的。推论

设An可逆矩阵，则R（PAQ）=R（A）P，Q分别是m阶可逆矩阵和初等变换求矩阵秩的方法：把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.例2.25解由阶梯形矩阵有三个非零行可知例３设其中求解分析：直接将化为阶梯形矩阵即可，故定理

设A，B都是矩阵，则A，B等价的充要条件是R（A）=R（B）证明

必要性由定理2.10得到充分性

设R(A)=R(B)=r则A，B都与由等价关系的

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