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文档简介
13.4
课题学习最短路径问题选走路线②
两点之间,线段最短引入新知如图所示,从A地到B地有三条路可供选择,选走哪条路最近?你的理由是什么?①②③FEDCBA连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短.ABFEDC如图所示,直线l
外一点A与直线上所有的点的连线中那一条最短?你的理由是什么?
“两点的所有连线中,线段最短”
“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短”等的问题,我们称它们为最短路径问题.
现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题,本节将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”.
相传,古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者,名叫海伦.有一天,一位将军专程拜访海伦,求教一个百思不得其解的问题:从图中的A地出发,到一条笔直的河边l饮马,然后到B地.到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短?探索新知BAl精通数学、物理学的海伦稍加思索,利用轴对称的知识回答了这个问题.这个问题后来被称为“将军饮马问题”.你能将这个问题抽象为数学问题吗?
将A,B两地抽象为两个点,将河l抽象为一条直线.在直线l上确定一点C,使得AC与CB的和最小?
探索新知B··Al·CA.
.B为什么CA+CB最小?l如果A,B两点在直线l异侧,在直线l上求一点C,使得CA+CB最小.C·
如果将点B“移”到l的另一侧B′处,同时对直线l上的任意一点C,都保持CB与CB′的长度相等,就把问题转化为左边的问题“将军饮马问题”中,点A,B在直线l的同侧B·lA··C·B′如何将点B“移”到l的另一侧B′处,同时对直线l上的任意一点C,都保持CB与CB′的长度相等?探索新知B·lA··C·B′作法:(1)作点B关于直线l的对称点B′;(2)连接AB′,与直线l相交于点C.则点C即为所求.探索新知B·lA·B′C探索新知为了证明C的位置即为所求,我们不妨在直线l上另外任取一点C′,连接AC′,BC′,B′C′.你能证明
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