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文档简介

13.4

课题学习最短路径问题选走路线②

两点之间,线段最短引入新知如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，选走哪条路最近？你的理由是什么？①②③FEDCBA连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.ABFEDC如图所示，直线l

外一点A与直线上所有的点的连线中那一条最短？你的理由是什么？

“两点的所有连线中，线段最短”

“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题．

现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”．

相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？探索新知BAl精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”．你能将这个问题抽象为数学问题吗？

将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．在直线l上确定一点C，使得AC与CB的和最小？

探索新知B··Al·CA.

.B为什么CA+CB最小？l如果A，B两点在直线l异侧，在直线l上求一点C，使得CA+CB最小.C·

如果将点B“移”到l的另一侧B′处，同时对直线l上的任意一点C，都保持CB与CB′的长度相等，就把问题转化为左边的问题“将军饮马问题”中，点A，B在直线l的同侧B·lA··C·B′如何将点B“移”到l的另一侧B′处，同时对直线l上的任意一点C，都保持CB与CB′的长度相等？探索新知B·lA··C·B′作法：（1）作点B关于直线l的对称点B′；（2）连接AB′，与直线l相交于点C．则点C即为所求．探索新知B·lA·B′C探索新知为了证明C的位置即为所求，我们不妨在直线l上另外任取一点C′，连接AC′，BC′，B′C′.你能证明

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