小学数学几何五大模型教师版

几何五大模型、五大模型简介(1)等积变换模型1、等底等高的两个三角形面积相等；2、两个三角形高相等，面积之比等于底之比，如图①所示，S1：S2=a:b；3、两个三角形底相等，面积在之比等于高之比，如图②所示，S1：S2=a:b；4、在一组平行线之间的等积变形，如图③所示，S.acd=S.bcd；反之;如果S,d=Smcd，则可知直线AB平行于CD。AfiAfiC8C8例、如图，三角形ABC的面积是24,D、E、F分别是BC、AC、AD的中点，求三角形DEF的面积。【详解】根据等积变换知，叉皿=二$皿-5~ =彳X1二二E， = =彳X6=

(2)鸟头(共角)定理模型1、两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫共角三角形；2、共角三角形的面积之比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。如图下图三角形ABC中，D、E分别是AB、AC上或AB、AC延长线上的点则有：Saabc：Saade=(ABXAC)：(ADXAE)我们现在以互补为例来简单证明一下共角定理!如图连接BE,根据等积变化模型知，Saade：Saabe=AD：AB、Saabe：Sacbe=AE：CE,所以“abe：Saabc=Saabe：(Saabe+Sacbe)=AE：AC，因此"ade：1c=Sade：Saabe)X(Saabe：Saabc)=(AD：AB)X(AE：AC)。例、如图在AABC中，D在BA的延长线上,E在AC上，且AB：AD=5:2,AE：EC=3:2,△ADE的面积为12平方厘米，求AABC的面积。ABAB x【详解】根据鸟头模型可知：:S^E=[ABxAC):(ADxAE),所以(平方厘米■

（3）蝴蝶模型1、梯形中比例关系（“梯形蝴蝶定理”）③梯形$的豺应份数为g例、如图，梯形ABCD,AB与CD平行，对角线AC、BD交于点O,已知4人08、ABOC的面积分别为25平方厘米、35平方厘米，求梯形ABCD的面积。【详解】由梯光蝴蝶定避的性茴知1苑二5皿』愈F⑷?・幽=25二3,所以AB.CD=5：7j所以5-呀53tx=.®:8;丑7』二出孙即名皿.二49平方厘米，而如二以8二安平方厘米*所以梯地ABCD的面僦：25+35+35+49=144（平方厘米）。①岳二W=5"品或者W丈号=§小邑;②A0:OC=0+&法&+曷）例、如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O,如果三角形ABD的面积等于三角形BCD面积的1/3,且AO=2、DO=3,求CO的长度是DO长度的几倍。1详解】由任意四边整蝴蝶定理的性质知，=&阚：5"即=1：3,所应0C=3A0=SX2=6<所以DC：0D=6.::3=2--lo蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径，通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。（4）相似模型1、相似三角形：形状相同，大小不相等的两个三角形相似；2、寻找相似模型的大前提是平行线：平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似。3、相似三角形性质：①相似三角形的一切对应线段（对应高、对应边）的比等于相似比；②相似三角形周长的比等于相似比；③相似三角形面积的比等于相似比的平方。相似模型大致分为金字塔模型、沙漏模型这两大类，注意这两大类中都含有BC平行DE这样的一对平行线！Am-W_M_DE_・4F.=sc=1g5②5/hf-碗=月产：0例、如图，已知在平行四边形ABCD中，AB=16、AD=10、BE=4,那么FC的长度是多少？【详解】根据平行四边形的性质知，AB平行干CD,所以由沙漏模型知,BF:FC=BE:CD=4A6=l:4-tSrUlFC=10x—=8（＞1+4（5）燕尾模型由于阴影部分的形状像一只燕子的尾巴，所以在数学上把这样的几何图形叫做燕尾模型,看一下它都有哪些性质：SAABG：SAACG=SABGE："cGE二BE：CE,△BGA：'△BGC'△GAF：^AGCF^：CFSAAGC：1bGC="aGD："bGD=AD：BD

例、如图,E、D分别在AC、例上，且AE：EC=2:3,BD：DC=1:2,AD与BE交于点F,四边形DFEC的面积等于22平方厘米，求三角形ABC的面积。工详解［如图所示，连接卬构造燕尾模型。根据燕尾模型性质可知： 」、此工详解［如图所示，连接卬构造燕尾模型。根据燕尾模型性质可知： 」、此劝_1,'以益f_且E_\℃工SiCEFEC4顼设除加F二1份，则必DF=2份、展"2你s如产4外7 □Swf=4x?=L6份、丛皿=取=2.4^o所以/9*如=2+2.M4.4份、^=24-34-4=9^0心武=22・4,。乂9F5（平方厘米）,二、五大模型经典例题详解（1）等积变换模型例1、图中的E、F、G分别是正方形ABCDm条边的三等分点，如果正方形的边长是12,那么阴影部分的面积是多少？1详解】把另外三个三等分点标出之后，正方形的3条边AB、BC、CD就被分成了相等的三段。把点H和这些分点、正方形的顶点连接，这样就把整个正方形分割成了9个形状各不相同的三角形，同时我们把空白部分的6个三角形按顺时针标记1”6.这9个三角形的底边都是正方形边长的三分之一】阴影部分被分割成了其中的3个三角形。根据等积变换模型可知，卬边上的阴影三角形的面积与第1、2个三角形相等；RC边上的阴影三角形与第，4个三角形相等；AB边上的阴影三角形与第5、6个三角形相等。因此，阴影面积是空白面积的二分之一，是正方形面积的三分之一，即：12X12-3=48o例2、如图，Q、E、P、M分别为直角梯形ABCD两边AB、CD上的点，且DQ、CP、ME彼此平行，已知AD=5、BC=7、AE=5、EB=3,求阴影部分三角形PQM的面积。工详解】如图所示，连接CE、DE,工详解】如图所示，连接CE、DE,由于DQ、ME平行，根据同底等高知，$对此=5级此*同理根据BC、ME平仃，有融=Sg迎；所以Sg鼻m=Srcdf。由于四边形ABCD为宜赛公所以 .角形PQM的面积为25o（2）鸟头（共角）定理模型例1、如图所示，平行四边形ABCD，BE=AB、CF=2CB、GD=3DC、HA=4AD，平行四边形ABCD的面积为2，求平行四边形ABCD与四边形EFGH的面积比。E详解】如图所示，连接MrBD,由于在AABC、4EBF中，乙始C与上即F互补，所以根据鸟头定理有迎=迎匹=里=1因为S皿=%平行四”皿广1,所以%瓯=3；S即密却g& 2平仃四”ABCD 力F同理可得乂q=4乂2=8、34GCF4义2®、、* -"义3I—6所N$¥行四力密的 工 :2「1'$一，…-&+&+15+3+2-泰-T®o例2、如图所示，AABC的面积为1,BC=5BD、AC=4EC、DG=GS=SE、AF=FG,^AFGS的面积。1详解】苜先根据等积变换模型知，*a=S四、$3=S〃所以Sjg=4S1即油二正根据鸟头定理有已二篙二言i所心皿尔AGDG即油二正根据鸟头定理有已二篙二言i所心皿尔AGDGFGSGj所以S皿所以应—「（3）蝴蝶模型例1、如图，正六边形面积为1，那么阴影部分面积为多少?【详解】如图所示，连接阴影四边用的对角线，此时正六边用被平分成两半口设41s的面积为1伊，根据正六边形的特殊性质知，BC二2AD,再根据梯形蝴蝶定理，标出各个三角形所占俗数，所以整个正六边用被分成了1日伊，阴影部分站其中的8份，即阴影部分面积为；-^1=-.1S9例2、如图，长方形ABCD被CE、DF分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，求余下的四边形OFBC的面积。【详解】如图所示，连接DE、CF.在梯形即CF中，根据梯形蝴蝶定理知，以$%□口=$+4=12，&方与』=1二工2=24f为为哆口打亡=24-7-2-8=9。例3、如图，已知正方形ABCD的边长为10厘米，E为AD的中点，F为CE的中点，G为BF的中点，求三角形BDG的面积。

工详解1设BD与CE的交点为0,工详解1设BD与CE的交点为0,连接应、DF。在梯形BCDE中，由梯形蝴蝶定理知，E0:CO=S^ED: ,而§亚口二15在方知虹口、，小e=三S正方啜AB8，所以EO:C0=12又因为F■为电的中点，所以即二产。=2:1。在四边形BFDE巾，由蝴蝶定理知，豆。二尹。=义班＞3刀4=2二1,所以q-1v_1勺j口A5FD-g口三方寿酒80所以 （平方厘米）2 16 1&（4）相似模型例1、如图，正方形的面积为1,E、F分别为AB、BD的中点，GC=1/3FC,求阴影部分的面积。【详解1如图所示，作四垂直BC于点H,GI垂直BC于点I,根据金字塔模型知，CI：CH=CG：CF=1:3；因为F是郎的巾点，所以CHRH,CI：CB=1:6,即BI：BC=（6-1）：6二5:6,所以S .1发工乂七二三。由22624例2、如图，长方形ABCD，E为AD的中点，AF与BD、BE分别交于G和H，OE垂直于人口，交AD于E点，交AF于O点，已知AH=5,HF=3,求AG的长。E

Et详解［根据长方出的性质知，处平行于DF,再根据沙漏模型知AB'.DF=AH'.HF=X因为自为t详解［根据长方出的性质知，处平行于DF,再根据沙漏模型知AB'.DF=AH'.HF=X因为自为9。1的中点..QE-.FD=V23:AB:O^=5:-=W:32利用相似三角形性质可得:A^-DO=AB-OE=Vy.3A\-AO=-kAF=-(5-^3)=42 2…』1040..=4乂——=——1313(5)燕尾模型例1、如图，正方形ABCD的面积是120平方厘米，E是AB的中点，F是BC的中点，求四边形BGHF的面积。工详解数口图，连接BHo由于BE与CD平行，根据沙漏模型知，BG：GD=BE：CD=l:2o现设邑二1份，根据燕尾模型知，%砒二2份、3国小2卷.因此整个正方形ABCD就是：（1+2+2）X2=10（份人四边形BGHF占：-xl+-x2=-（份）。所2 3 6以¥在册=120—10;<£=14（平方厘米建例2、如图，在4ABC中，BD=2DA、CE=2EB、AF=2FC，那么4ABC的面积是阴影△GHI面积的几倍？Be ct详解】如图，连接前。根据燕尾模型知，$3二"5_ut详解】如图，连接前。根据燕尾模型知，$3二"5_u环=FC:AF=1:2s3皿罩：§山口二 :DA=2:1所以，ajei二义30?:5Ajs;=1:2:4j那么同理可知，$9=；$皿、同理可知，$9=；$皿、工5毋冉=y$」日匚。所以■为取轨?=(1——x3)3/吐=—3」理,