初三中考动点运动轨迹专题教案

初三中考动点运动轨迹专题教案中考复习专题一一动点运动轨迹问题“动点运动路径长”问题的一般策略如下：首先可以通过画图（一般要画出起始点、中间若干关键点和结束点）来判断路径类型和范围（在初中阶段主要考查的一般是圆弧型和线段型）；其次是结合已知条件的特点运用不同的数学方法说明自己的判断是正确的；最后按照判断的路径类型及范围来计算路径长.专题一：动点形成的轨迹一一线段例1:如图，已知线段AB=10,C、D是AB上两点，且AC=DB=2,P是线段CD上一动点，在AB同侧分别作等边三角形APE和等边三角形PBF,G为线段EF的中点，点P由点C移动到点D时，G点移动的路径长度为.解：如图，分别延长AE、杆交于点.zA=zDPF=60\,'.AMIIPF1.-zB=zEPA=80°r,'.BMllPEf工四边形「£1\/^为平行四边形,「.EF与MP互相平分.的中点』正好为PM的中点।即在P的运动过程中，G始终为PM的中点1工G的运行轨迹为CD的中位线HI,.-HI=^-CD=^-xflO-2-2）=3r点移动的路径长度为W.故答案为：3.1/25

初三中考动点运动轨迹专题教案例2：如图，矩形ABCD中，AB=6,AD=8,点E在边AD上，且AE：ED=1：3.动点P从点A出发，沿AB运动到点B停止.过点E作EFLPE交射线BC于点F,设M是线段EF的中点，则在点P运动的整个过程中，点M运动路线的长为 .解；如图所示：过点M作GH_lAD.,ADllCBrGH_LAD,.-.GH±BC.在占EGM禾口△FHM中，'7MGE=7MHF=9Q0<ZGME=ZFMH「.△EGM2FHM.，点M的轨迹是一条平行于BC的线段，当点P与A重合时,BFi=AE=2r当点P与点E重合时，上Fz+/EBFi-/BEF〔1EHF।-901,,.zF2=zEBFi.-.zEFiB=zEFiF2i-EFiB-izEFiF?.，里=旦-,即：-.EF\尸1F2 6方1尸上「下/2=18r「M1M2是mEF1F2的中位在，MiM2-，Fi「之一9.故答案为：9.2/25

初三中考动点运动轨迹专题教案例3：如图，正方形ABCD的边长是2,M是AD的中点，点E从点A出发，沿AB运动到点B停止，连接EM并延长交射线CD于点F,过M作EF的垂线交射线BC于点G,连接EG、FG.(1)设AE=x时，4EGF的面积为>，求>关于x的函数关系式，并写出自变量1的取值范围;(2)P是MG的中点，请直接写出点P的运动路线的长.解：（1）当点E与点A重合时,x=Ory= =2当点匚与点A不重合时，0<x<2在正方形ABCD中「nA=/ADC-90）9。\..nA=/MD「在上AME和dDM「中，AM=DM,£AME-ZDMF「QAM2DMF:AGA},ME=MF在RhAME中，AE-xfAM=1,ME-jx2+1.-.EF=2ME=2lx2+1过M作MN_LBC,垂足为N（如图）则上MNG=90\ZAMN=9O\WN=AB=AD=2AM,zAME+zEMN=90n.zEMG=9（T,wGMN十/EMN=90",wAME=/GMN,Rt^AME-Rl^NMGAMMEanME1■,——= ，即——=-■y=2x2+2■y=2x2+2f具中二2:3/25初三中考动点运动轨迹专题教案(2)如图，PP」即为P点运动的距离；在RtaBMG叶rMG±BG';..^MDG-zGJMG-90a-zBMG;MGj.tan/MBG-吧£-2,BG..lanzGMG=ldrizMBG=^^=2;MG..GG=2MG=4;△ P、Pr分别是MG、MG'的中点dj.Ppr是±MGG'的中位线；-.PP=-GGr=2;2即：点P运动路线的长为2.例4：如图，已知点A是第一象限内横坐标为2v3的一个定点，AC±x轴于点M,交直线>=一x于点N.若点P是线段ON上的一个动点，NAPB=30°,BALPA,则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动.求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是 .4/25初三中考动点运动轨迹专题教案解：由罡意可知r0M= 点忖在直速¥=-｝（上，AC_Lx轴于点M,解：由罡意可知r0M= 点忖在直速¥=-｝（上，AC_Lx轴于点M,则，0MN为等腹直角三角形.。忖=值口吊=「*2万=2后,如答图①所示.也可点PH0点（打点〕对，点B的栉亘为Ho,动点"IN点［终点）ET.点B的优•罟为酊，连接BnBn■/AO±ABoiANlABnT.'.^OAC=zBoABnJy1.■AB：：-AO*tan30\ABr-AN-t3n30\.'.ADn：AQ-ABn：AN=tan30n（此处也可用为口角的Rb二边长的关祭来求得），:一AB0Bn-^AONr且相回比为hn30\二向日（1=口川・匕［13。°=2后更=平，期在吴训明送舐6力品就是点R上⑼的路行（或轨迹］.如答国时所示,当点PE动午门N上的任一点时,设具涧应的广田为由.连接4PrAH,..F^H■.■AGi.ABqjAPJAE|,/./（JAP-zBoABi,5?.'..'ABfl=AO*t:an30，3,AB|=AP-tanSOnd.'.ABq：A0=ABj:APrJ>AB（jBj-iAOPH.-.zABoBi=zAC3P.y-.-ABaBn-iAUN,.■.zABaBn=zAOP.二上ABuB—zAB.jBn,二点Eft线段瓦部卜，即线段肮明就是导B运司的踣件［或轨迹）.综上所述,点B达动的路冲：虫轨迹）是线段B曲n,具任拈为前等案为二2J.例5：如图，在平面内，线段AB=6,P为线段AB上的动点，三角形纸片CD所在的直线与线段AB垂直相交于点P,且满足PC=PA.若点P沿AB方向从点A运动到点B,则点E运动的路径长为.5/25初三中考动点运动轨迹专题教案解：如图，由题点可虻点C运动的路径为线照AU.点F运动聃蹈科为FF・,由三移的性后，可知4U=EE]jRb'AEC：,中，易犯AE-BC/-b,^ABC'-yU\.■EE^AC'--j62+62,G4i.故答案为6厄.例6：一副含30°和45°角的三角板ABC和DEF叠合在一起，边BC与EF重合，BC=EF=12cm（如图1），点G为边BC（EF）的中点，边FD与AB相交于点H,此时线段BH的长是 .现将三角板DEF绕点G按顺时针方向旋转（如图2）,在NCGF从0°到60°的变化过程中，点H相应移动的路径长共为.（结果保留根号）A6/25

初三中考动点运动轨迹专题教案在Rt3ABC中.= BC=12,在Rl^BHM中，BH=2HM=2dr.「BM十FM=B5用+曰=12,..ri-GjJ-G,尤:司2中，当门宛记GHiJ.门F,此时RHi均值最小,品如BH1=RK+KH1==；、§+弓.E.-.HHi-BH-BH,-Sj715r当旃特角为6(r时，F亏H淳合■,同知BH2-6JI.现察图零E如.在上CGF从(T到61的受化过程中，点H相应移动凶路徒工一上+ 口”6。-(12,(7-12)J-I2J7-1B.故笞室为(仃.12)cm,口2「18)<m.例7：如图，在等边^ABC中，AB=10,BD=4,BE=2,点P从点E出发沿EA方向运动，连接PD,以PD为边，在PD右侧按如图方式作等边△DPF,当点P从点E运动到点A时，点F运动的路径长是 .7/25初三中考动点运动轨迹专题教案稗：在纪DE,作FH_lBC干H.如医］,;&ABC.为尊边一甬形，1/E—,过D点，kL)L」AB,则bL・—：LiD-乙二点E，与点E重合.二/BDE-3d\口E-pBE-2jJ.—-DPF为等边三售希,.-./PDF=60\r?P=DF,二上LDP+上IILV—9(T.上HDF+上DFH—90:.-.zEDP-zDFH.在&DPE和上FDH中.'/PVA>—/DHi*/F.DP^/DFH.pp-FD“Dpgil”i.二FH-DE-乙⑶二点P从9E运动到点AMr9F运动的路针为一条或工，注线金到EC的距高为2百，考点P九F点BJ,作等边一角形门FF「yRDF1=.弓门-6，=9「\则DFiiBC.当点Pi£A点时，作等边三角形DAE作匕Q_LE匚于Q.则上口F2Q"ADE,所以DQ=AE=M2=H,;.FiF?-DQ-3,二当点P从点E运动到点A时，点F运动的路径长为队例8：如图1,在麻△ABC中，/C=90°,AC=6,BC=8,动点P从点A开始沿边AC向点C以1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD//BC,交AB于点D，连接PQ分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒(t三0).⑴直接用含t的代数式分别表示：QB=,PD=.(2)是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由.并探究如何改变Q的速度(匀速运动)，使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度；(3)如图2,在整个运动过程中，求出线段PQ中点M所经过的路径长.8/25初三中考动点运动轨迹专题教案9/25初三中考动点运动轨迹专题教案[2）不存在在Rt3ABe中,上（2=90、AC=6,BC=3.,.AB=10'.'PDllBCd.,.^APr>-iACRr二些=比，即些=LABAC10 6,-.AD-|tr:WD—AB-AD—10-咒'.'FQllUP,.•.当E0=DP时r四以形PDBQ是平行四边形1即”t斗，龌得:t=J2.当t—9时，BD-1.-.DP^BD,:，口PDBQ不能为蓑用.没点Q的速度为每秒v个单位长度，JHJBQ=8-vt,PD=|trBD=101t,要使四边招FDBQ为菱形,则PL）=EU=BQ.当PD-HD时,即才-IO-",解得：t-竽当PD=BQ,t号时r呜书=8孕=解得：v=!|当点Q的速度为每秒首个单位区度时,经过，秒，四边形PDBQ是专用10/25

初三中考动点运动轨迹专题教案点Q代入y(“如图2,以C为原点，以AC所在的亘线为k轴，建立千面亘角坐标系点Q代入y(“如图2,以C为原点，以AC所在的亘线为k轴，建立千面亘角坐标系依题意r可知。当1=力时，点Mi的坐标为(支0)r当t=4时点M2的坐标为(1.设宜线的解析式为3衣—》二0解得，宜法的解析式为y=-2x+6.二在运动过理中，法^PQ中点MS的坐标(空t)...点Mm在直线MiM?t.这点M2作MzN1E轴干点忖，则M=N=4,M1N=2.,Mi如=23，我没PQ中点M所经过的路任长为单位长度.例9：如图，边长为4的等边三角形AOB的顶点O在坐标原点，点A在x轴正半轴上，点B在第一象限.一动点P沿x轴以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，当点P到达点A时停止运动，设点P运动的时间是t秒.将线段BP的中点绕点P按顺时针方向旋转60°得点C,点C随点P的运动而运动，连接CP、CA,过点P作PDLOB于点D.(1)填空：PD的长为 (用含t的代数式表示)；(2)求点C的坐标(用含t的代数式表示)；(3)在点P从O向A运动的过程中，4PCA能否成为直角三角形？若能，求t的值.若不能，请说明理由；(4)填空：在点P从O向A运动的过程中，点C运动路线的长为.11/25

初三中考动点运动轨迹专题教案解：(1)'"AOB是等边三角形，.\OB-OA-AB-dr/BOA—上。AB—/ABO—E0\.PDj_OIBh■.zPDO=90ct,-.zOPD=30cr,-.OD=-OP.2pp=t,.-.OD=-tT在Rt&OPD中,由勾股定理『彳导2PD-JIf2故咨案为：业『7(2)如圄(1)过二作CE_LOA于E,■.zPEC=9D°r,OD=-t,2.■.RD=4--t.2,二线段BP的中点绕点P按顺射针方向旋转6(r得点c,■,zBPC=60c..zOPD-BO0,，上BPD+上匚PE=9O"一.-.zDBP=zCPEJ，PCE"BPD,CE_PCPEPCPD~PBr而一通TOC\o"1-5"\h\zCFLPE 1玉二丁47=丁2 ~ 2一,-.CE=^CPE=2--COE=2+-r.4 4 4,-.C %.12/25初三中考动点运动轨迹专题教案(3)如图0)当上PCA=90言吹作CF_LPAPCF，&A匚F,,PFCF''CF'AF*■CF3=PF»AFr■.■Pr-2-jt..AF—4一。「—吟tC「-亨乙.•.净)，(2-lt)求得t=2，这时P是DA的中点一如图(2)当上CAP=g(T时，匚的横坐标就是4r十点=40)没C(x,y)r*呜七V=$・y-旦2K3 3，C点的运动痕迹是一条线段｛0*t<4)当t=Q时；Ci仁0)t当t-4时,Q(S,,「，由两点间的距离公式得:C1C2=2ji.故答案为：2月，专题二：动点形成的轨迹一一圆弧13/25

初三中考动点运动轨迹专题教案例1：如图，Rt^ABC中，AB±BC,AB=6,BC=4,P是4ABC内部的一个动点，且满足NPAB=NPBC,则线段CP长的最小值为.解：./ABC..zABP+zf>BC=90°J1.,ZPAB=ZPBC,■.zBAP-hzABP=90\，上APB=90,一点P在以AB为直径的DO_L,在接0C交口口厂点P,此归PC最小r在RTMCO中」■.■zOBC-9Q\BC-4,0B-3,「.PC-OC-OP-57-2...FC最小值为2.故答案为2.例2：如图，平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是以A为圆心，以2为半径的圆上一动点，连接CE,点P为CE的中点，连接BP,若AC=a,BD=b，则BP的最大值为.14/25初三中考动点运动轨迹专题教案解：如图，连接0P1「点P为CE中点..-.CPllAE,且OP=：AE=1,「.随着点E的运点，点P的运动轨迹是以。为圆心、1为半径的圆,则当。0与0D交于点P时，BP最大，为BO+OP=g+1,例3：（2016启东市一模）如图，正方形ABCD中，AB=2,动点E从点A出发向点D运动，同时动点F从点D出发向点C运动，点E、F运动的速度相同，当它们到达各自终点时停止运动，运动过程中线段AF、BE相交于点P，M是线段BC上任意一点，则MD+MP的最小值为.解：如图作点D关于E匚的对称点61连接PD'15/25初三中考动点运动轨迹专题教案内轴对称附性层I可知二MD-D'MrCD-CD'-P/.PM।DM=PM+MD'=PD'百点PEPL垂直口C,垂足为G,易证AI_LUE,故可知P的轨迹为以AE为且法的四分•之一圆风LL,上点「」点D里今,点fL京匚至合时，PG加GD’均爵屈.;此时,FLT最短，二四边刑AB匚D为正右时,,1.PG=-.W^I,GC=-DC=1.2 2.1.GDJ-J.在RIPGU'中，由勾股定理但：F》=J*+g：=]j故性兖为：JTO-例4：如图，E、F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF.连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H.若正方形的边长为2,则线段DH长度的最小值是解：在正方形ABCD中1AB=AD=CDHZBAD=ZCDA,ZADG=ZCDG,在LAEE和△DCF中,'AB=CD<ZBAD=ZCDA..AE=DF"AEE2DC卜tSASJ..-.z1=z2h在&ADG乖口△匚DG中，AD=CD{/4DG-7CDGt(DG^DG,-,iADC^CDG:SAS)r16/25初三中考动点运动轨迹专题教案;.z2=z3f「上1-z3r.zBAH+z3=zBAD=90";,-.z1+zBAH=90\..zAHB=180"-90"=90\取AB的中点O,连接OH、OD,贝UOH=AO」AB=L2在R^AOD中，CD=J/排十/4二小产+工〜后根据三角形的三边关条，OH+DH>OD,，当0、D、H二点共练时.DH的长庠悬小,最/」'值=0D-0H=Jy-1.（解法二：可以理解为点H是在RSAHR『AB直"的半圆不上运动”0、H、D三点共在如，DH长度最小）An故若案为：例5：在5X5的网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，网格中小正方形的顶点叫做格点.矩形ABCD的边分别过格点E,F,G,H,则OD的最大值为.解：丸圆以匚H为直径作口仁在凄0K,延长。K交0K于D'.•.晒力」形ABC口是地形,•八门H=q（rr「，点D在3K上运动，易知当点DE点D」重合时」OD的长最大,；0K-1J+F一5r，口□的最大值为日-1=6.17/25初三中考动点运动轨迹专题教案例6：（2017•玄武区一模）如图，在4ABC中，NC=90°,AC=BC=1,P为^ABC内一个动点，NPAB=NPBC,则CP的最小值为18/25初三中考动点运动轨迹专题教案「在nABC中，/C=90\AC=BC=1,■.zCAB=zCBA=45°.又•zPAB=/PBC,.-.zPAB+zPBA=45\.-.zAPB=135\，二点P在以AB为弦的3。上.'.'ZAPB=135\■.zAOB=90°.,-.zOAB=zOBA=45\;.zCAO=90o.，四边形ACB。为矩形.「OA=OB,，四边形AOBC为正方形，，OA=OB=1.，OP=1,OC=JL当点O、P、C在一条直线上时।PC有最小值「.PC的最小值=OC-OP=0-1.故咨案为:J5-1.例7：如图，半径为2cm，圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上有一运动的点P.从点P向半径OA引垂线PH交OA于点H.设△OPH的内心为I，当点P在弧AB上从点A运动到点B时，内心I所经过的路径长为.19/25初三中考动点运动轨迹专题教案例8：如图，一块边长为6c机的等边三角形木板A5C,在水平桌面上绕。点按顺时针方向旋转到AA/B'的位置，则边AB的中点D运动的路径长是.20/25初三中考动点运动轨迹专题教案解：如图,连接CD、CD\.•等边3ABe的边长为6cmr,.CD=^-x5=3JJemr由图可知,旋转角为120\所以，边AB的中点D运动路径的长=上舒把=2旧11C巾.例9：如图所示，扇形OAB从图①无滑动旋转到图②，再由图②到图③，NO=60°,OA=1.(1)求O点所运动的路径长；(2)O点走过路径与直线L围成图形的面积.解：⑴运动路径第一段弧长彳需=三第二段路径为线段长为券1SU3第三段路径为舞F即口在L上运动路径为汽技=等，(2)围成面相.，智="心=嘴=/％=酱=/SW他+色=聚例10：如图，OA±OB，垂足为O,P、Q分别是射线OA、OB上两个动点，点C是线段PQ的中点，且PQ=4.则动点C运动形成的路径长是.21/25初三中考动点运动轨迹专题教案解：如图，连接0C,•点解：如图，连接0C,•点C是线段PQ的中点.■.OC=lpQ=-x4=2r2 2，二动点C运动形成的路径是以0为圆心的扇豚90*jl-2，路径长二二n.1QU故答案为：TI.例11：等边三角形ABC的边长为6,在AC,BC边上各取一点E,F,连结AF,BE相(1)若AE=CF.①求证：AF=BE，并求NAPB的度数.②若AE=2,试求APAF的值.(2)若AF=BE，当点E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长.