新教材高中数学第2章一元二次函数方程和不等式31一元二次不等式及其解法32一元二次不等式的应用课件湘教版必修第一册

2.3.1一元二次不等式及其解法2.3.2一元二次不等式的应用第2章2021内容索引0102课前篇自主预习课堂篇探究学习课标阐释1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程,了解一元二次不等式的现实意义.(数学抽象)2.能够借助二次函数求解一元二次不等式,并能用集合表示一元二次不等式的解集.(直观想象、逻辑推理、数学运算)3.借助二次函数的图象,了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.(直观想象、逻辑推理、数学运算)思维脉络课前篇自主预习情境导入随着城市人口的急剧增加和人们生活水平的不断提高,车辆日益增多,很多城市需要通过修建立交桥和高架道路形成多层立体的布局,以提高车速和通过能力.城市环线和高速公路网的连接也必须通过大型互通式立交桥进行分流和引导,保证交通的畅通.城市立交桥已成为现代化城市的重要标志.为了保证安全,交通部门规定,在某地段立交桥运行汽车的车距d正比于速度v的平方与车身长的积,且车距不得小于半个车身长,假定车身长均为lm,当车速为60km/h时,车距为1.44个车身长,那么在交通繁忙时,应规定车速为多少,才使此处的车流量最大?知识梳理知识点一:一元二次不等式的概念一元二次不等式的概念及形式(1)概念:我们把只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式.(2)形式:①ax2+bx+c>0(a≠0);②ax2+bx+c≥0(a≠0);③ax2+bx+c<0(a≠0);④ax2+bx+c≤0(a≠0).(3)解集:一般地,使某个一元二次不等式成立的x的值叫作这个不等式的解,一元二次不等式的所有解组成的集合叫作这个一元二次不等式的解集.

解集用集合、区间表示

名师点析

1.一元二次不等式的二次项系数a有a>0或a<0两种,注意a≠0.当a<0时,我们通常将不等式两边同乘-1,化为二次项系数大于0的一元二次不等式,但要注意不等号要改变方向,这样我们只需要研究二次项系数大于0的一元二次不等式.2.一元二次不等式一定为整式不等式,例如,x2+<0就不是一元二次不等式.3.理解一元二次不等式的定义时,还需了解下列概念.(1)如果两个不等式的解集相同,那么这两个不等式称为同解不等式;(2)将一个不等式转化为另一个与它解集相同的不等式称为不等式的同解变形.微思考从未知数的个数以及未知数的最高次数看,不等式x2-2x-3>0,x2+5x≤0,-3x2-6x+1<0,4x2-1≥0等有什么共同特点?提示

它们只含有一个未知数,且未知数的最高次数是2.微练习已知下列不等式:①ax2+2x+1>0;②x2-y>0;③-x2-3x<0;④

>0.其中是一元二次不等式的个数为(

)A.1

B.2C.3 D.4答案

A知识点二:一元二次不等式的解法

微思考(1)一元二次不等式ax2+bx+c>0恒成立的含义是什么,系数a,b,c之间有什么关系?(2)对任意的一元二次不等式,求解集的关键点有哪些?提示

(1)一元二次不等式ax2+bx+c>0恒成立的含义是指不等式的解集为(-∞,+∞),系数a,b,c之间的关系是a>0且Δ=b2-4ac<0.(2)①抛物线y=ax2+bx+c与x轴的位置情况,也就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况;②抛物线y=ax2+bx+c的开口方向,也就是a的正负.微练习不等式x2-2x-3<0的解集为

.

答案

(-1,3)解析

方程x2-2x-3=0的解是x1=-1,x2=3.因为对应函数的图象是开口向上的抛物线,所以原不等式的解集为(-1,3).课堂篇探究学习探究一一元二次不等式的求解例1解下列不等式:(1)2x2-3x-2>0;(2)-3x2+6x-2>0;(3)x2-2x+2>0.分析先求出对应一元二次方程的解,再结合对应的二次函数的图象写出不等式的解集.(3)因为x2-2x+2=0的判别式Δ<0,所以方程x2-2x+2=0无解.又因为函数y=x2-2x+2的图象是开口向上的抛物线,所以原不等式的解集为R.反思感悟

解不含参数的一元二次不等式的一般步骤(1)化标准.通过对不等式的变形,使不等式的右侧为0,使二次项系数为正.(2)判别式.对不等式的左侧进行因式分解,若不能分解,则计算对应方程的判别式.(3)求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程无实根.(4)画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图.(5)写解集.根据图象写出不等式的解集.变式训练1解下列不等式.(1)4x2-20x<-25;(2)(x-3)(x-7)<0;(3)-3x2+5x-4<0;(4)x(1-x)≥x(2x-3)+1.解

(1)不等式可化为4x2-20x+25<0,由于Δ=0,且对应的二次函数的图象是开口向上的抛物线,所以不等式的解集是⌀.(2)由题意知不等式对应方程的两个根是3和7,且对应的二次函数的图象是开口向上的抛物线,故不等式的解集是{x|3<x<7}.(3)不等式-3x2+5x-4<0可化为3x2-5x+4>0,由于判别式Δ=25-48=-23<0,函数y=3x2-5x+4的图象开口向上,所以不等式的解集是R.探究二已知不等式的解集求参数值例2(2021江苏宿迁期末)已知函数y=ax2+2bx-c(a>0)的图象与x轴交于A(2,0),B(6,0)两点,求不等式cx2+2bx-a<0的解集.解

因为函数y=ax2+2bx-c(a>0)的图象与x轴交于A(2,0),B(6,0)两点,所以2和6是方程ax2+2bx-c=0的两个实数根,所以不等式cx2+2bx-a<0等价于-12ax2-8ax-a<0.又a>0,所以不等式化为12x2+8x+1>0,反思感悟

1.一元二次不等式的解集的端点就是对应的一元二次方程的根,要充分利用这个关系解题.2.不等式解集的形式与二次项系数有直接的关系,对于关于x的一元二次不等式a(x-x1)(x-x2)>0(x1<x2),当a>0时,其解集是{x|x<x1,或x>x2},当a<0时,其解集是{x|x1<x<x2}.变式训练2(2021河南月考)关于x的不等式(ax-b)(x+3)<0的解集为(-∞,-3)∪(1,+∞),求关于x的不等式ax+b>0的解集.解

由题意可得a<0,且1,-3是方程(ax-b)(x+3)=0的两根,∴x=1为方程ax-b=0的根,∴a=b,则不等式ax+b>0可化为x+1<0,即x<-1,∴不等式ax+b>0的解集为(-∞,-1).探究三一元二次不等式的实际应用(1)求n的值;(2)要使刹车距离不超过12.6m,则行驶的最大速度是多少?分析(1)根据两个刹车距离的范围建立不等式组,并结合n∈N求得n的值;(2)由s≤12.6解出v的取值范围,从而得到行驶的最大速度.解得-84≤v≤60.因为v≥0,所以0≤v≤60,即行驶的最大速度为60

km/h.反思感悟

用一元二次不等式解决实际问题的操作步骤(1)理解题意,搞清量与量之间的关系.(2)建立相应的不等关系,把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题.(3)解这个一元二次不等式,得到实际问题的解.延伸探究本例中,条件不变,若该型号的汽车在某一限速为80km/h的路段发生了交通事故,交警进行现场勘查,测得该车的刹车距离超过了25.65m,试问该车是否超速行驶?素养形成求不等式恒成立问题中参数取值范围的常见方法1.利用一元二次方程根的判别式解一元二次不等式在R上的恒成立问题.设y=ax2+bx+c(a≠0),则当未说明不等式为一元二次不等式时,有

2.分离自变量和参数,利用等价转化思想将原问题转化为求函数的最值问题.典例若关于x的不等式(m2-2m-3)x2-(m-3)x-1<0对于x∈R恒成立,求实数m的取值范围.解

当m2-2m-3=0时,m=3或m=-1.若m=3,不等式化为-1<0,显然对于x∈R恒成立,满足题意;若m=-1,不等式化为4x-1<0,显然不满足对于x∈R恒成立.当m2-2m-3≠0时,方法点睛不等式在某范围内恒成立问题设y=ax2+bx+c(a≠0).变式训练已知y=3x2+bx+c,不等式y>0的解集为{x|x<-2,或x>0}.(1)求函数的解析式;(2)若对于任意的-2≤x≤2,y+m≤3恒成立,求实数m的最大值.解

(1)易知-2和0是y=0的两个根,∴y=3x2+6x.(2)y+m≤3即m≤-3x2-6x+3,而当-2≤x≤2时,函数t=-3x2-6x+3的对称轴为x=-1,开口向下,所以函数的最小值在x=2时取得,此时tmin=-21,∴m≤-21,实数m的最大值为-21.当堂检测1.(2021江苏常州高一期末)不等式2x2-7x+3>0的解集为(

)答案

D2.(2021湖南怀化期末)关于x的不等式x2-ax+1>0的解集是R,则实数a的取值范围为(

)A.(-∞,-2)∪(2,+∞)B.(-∞,-2]∪[2,+∞)C.(-2,2)D.[-2,2]答案

C解析

由已知可得不等式x2-ax+1>0在R上恒成立,则只需Δ=a2-4<0,解得-2<a<2,所以实数a的取值范围为(-2,2).故选C.3.(多选题)(2021江苏阜宁期末)已知不等式ax2+bx+c>0的解集为(-,2),则下列结论正确的是(

)A.a<0 B.c<0

C.a-b+c>0 D.a+b+c>0答案

AD4.(