第六章 多目标规划方法

第六章多目标规划方法

在水文水资源研究中，对于许多规划问题，常常需要考虑多个目标，如经济效益目标，生态效益目标，社会效益目标，等等。为了满足这类问题研究之需要，本章拟结合有关实例，对多目标规划方法及其在水文水资源研究中的应用问题作一些简单地介绍。本章主要内容：多目标规划及其求解技术简介目标规划方法

多目标规划应用实例

多目标规划及其非劣解多目标规划求解技术简介第一节多目标规划及其非劣解

一、多目标规划及其非劣解（一）任何多目标规划问题，都由两个基本部分组成：（1）两个以上的目标函数；（2）若干个约束条件。

（二）对于多目标规划问题，可以将其数学模型一般地描写为如下形式：

（2）（1）式中：为决策变量向量。

如果将（1）和（2）式进一步缩写，即：（3）

（4）式中：是k维函数向量，

k是目标函数的个数；是m维函数向量；是m维常数向量；m是约束方程的个数。

对于线性多目标规划问题，可以进一步用矩阵表示：

（5）（6）式中：为n维决策变量向量；为k×n矩阵，即目标函数系数矩阵；为m×n矩阵，即约束方程系数矩阵；为m维的向量，约束向量。

二、多目标规划的非劣解

对于上述多目标规划问题，求解就意味着需要做出如下的复合选择：▲每一个目标函数取什么值，原问题可以得到最满意的解决？▲每一个决策变量取什么值，原问题可以得到最满意的解决？多目标规划问题的求解不能只追求一个目标的最优化（最大或最小），而不顾其它目标。在图1中，就方案①和②来说，①的目标值比②大，但其目标值比②小，因此无法确定这两个方案的优与劣。在各个方案之间，显然：③比②好，④比①好，⑦比③好，⑤比④好。而对于方案⑤、⑥、⑦之间则无法确定优劣，而且又没有比它们更好的其他方案，所以它们就被称之为多目标规划问题的非劣解或有效解，其余方案都称为劣解。所有非劣解构成的集合称为非劣解集。非劣解可以用图1说明。图1多目标规划的劣解与非劣解当目标函数处于冲突状态时，就不会存在使所有目标函数同时达到最大或最小值的最优解，于是我们只能寻求非劣解（又称非支配解或帕累托解）。

一、模效用亩最优朝化模聚型二、吓罚款矿模型三、怠约束缩慧模型第二援节腐多目俯标规宝划求挑解技壁术简胞介为了求得览多目瞒标规塌划问脖题的蓄非劣县解，常希常需恶要将血多目住标规赖划问博题转症化为砖单目睡标规译划问僵题去闻处理融。实软现这茧种转址化，裹有如客下几这种建禾模方史法。四、装目标清规划绑模型五、轨目标鞭达到滴法是与各目标函数相关的效用函数的和函数。

一、酿效用梨最优估化模面型建摸鼠依据烦：规划桑问题屯的各姻个目疗标函脏数可暂以通带过一陡定的渴方式侵进行醉求和制运算省。这泄种方逆法将暴一系尺列的邀目标界函数援与效末用函夺数建塔立相棵关关插系，瓦各目扒标之捕间通棍过效翠用函荣数协怪调，使多攻目标烛规划惭问题扯转化射为传拜统的惠单目泛标规访划问展题：（7剥）（8如）在用厘效用繁函数堡作为惰规划带目标李时，涝需要走确定膨一组持权值北来反羊映原苍问题膜中各锄目标丙函数已在总乔体目谊标中赠的权箩重，葱即：式中牵，诸父应捷满足尤：若采下用向态量与污矩阵二、苦罚款控模型规划随决策举者对牛每一馋个目们标函清数都抛能提京出所罗期望牵的值稠（或俯称满禽意值所）；通过办比较坚实际翠值与期讲望值之间肠的偏朵差来倦选择瓦问题民的解梳，其内数学蛮表达居式如府下：或写命成矩弦阵形张式：式中牧，帆是违与第识i个狮目标复函数掀相关矛的权兰重；A是由负组成权的m×m对响角矩灯阵。三、垂约束业模型理论爽依据：若规惹划问价题的大某一代目标掀可以推给出撒一个栗可供铅选择反的范袄围，书则该街目标宾就可开以作逃为约眼束条警件而忧被排往除出定目标苦组，虹进入恭约束雁条件五组中陵。假如桨，除绘第一怒个目巩标外藏，其倡余目刃标都此可以统提出出一个射可供珠选择者的范骗围，御则该湿多目喷标规齿划问剖题就谣可以匪转化偏为单蔬目标膀规划邮问题造：采用摩矩阵可记宵为：四、虏目标刺规划摔模型也需翅要预达先确缩慧定各壶个目烦标的划期望变值液，罪同时叮给每协一个隐目标课赋予比一个旱优先粥因子舍和权颠系数理，假电定有K个目翅标，L个优款先级傅，叹目标穴规划木模型则的数舰学形模式为挡：式中痰：驾和觉分别矛表示僵与摇相应吩的、负与李相拍比的目奇标超涂过值雷和不夏足值赏，即猎正、缸负偏溪差变泉量；清表陪示第l个优拾先级仆；、竭表示网在同职一优袄先级缠中是，不闹同目仁标的正编、负蓬偏差泉变量维的权县系数盒。五、振目标劈燕达到异法首先等将多债目标鬼规划料模型使化为紧如下译标准冰形式益：（6机.2叔.2电1）（6切.2愿.2经2）在求楚解之指前，灶先设翁计与穷目标抄函数素相应哈的一下组目灾标值双理想泳化的屈期望未目标肆,粪每一乡丰个目械标对捉应的咏权重临系数垦为代，再株设表为一叹松弛蹦因子幕。那表么，弦多目优标规视划问磁题就撤转化俘为：用目销标达息到法糖求解听多目症标规棍划的掉计算自过程梨，可丑以通污过调洒用M月at凝la瘦b软码件系巷统优凳化工缺具箱浊中的谈fg乡丰oa穗la甚tt瓶ai轿n函嘉数实弊现。第三杠节党目标倾规划显方法通过阻上节莲的介邮绍和巩讨论纪，我斤们知阔道，偶目标撑规划略方法搏是解钞决多弊目标勒规划绞问题书的重酱要技帆术之渡一。这一忽方法颂是美米国学预者查愿恩斯凭（A尘.C微ha气rn弓es咳）和耳库伯邻（W杨.W该.C亦oo锤pe邮r）研于1土96走1年李在线却性规轿划的秋基础扫上提弃出来脂的。施后来蒙，查旬斯基舱莱恩世（U父.J该aa棋sh呼el服ai宪ne马n）奇和李堡（S建an垃g.擦Le状e）弹等人势，进季一步挽给出闻了求吸解目桑标规箩划问继题的伐一般炎性方配法—灯—单喊纯形丛方法贸。一、前目标守规划玩模型给定庸若干哈目标袋以及括实现枕这些欺目标只的优贷先顺慰序，晕在有掏限的欲资源两条件姜下，励使总收的偏父离目欺标值症的偏金差最何小。（一煌）基押本思匆想：例1：某厦一个寨企业俱利用享某种机原材冶料和直现有吨设备驻可生兵产甲壮、乙霉两种犬产品粮，其邻中，士甲、更乙两幸种产送品的览单价未分别穗为8佛元和境10次元；内生产腐单位忧甲、集乙两羞种产碍品需傍要消狮耗的钩原材腾料分愈别为侨2个蜓单位究和1茎个单翻位，藏需要屡占用字的设飞备分售别为猪1台凤时和碌2台羽时；爸原材啄料拥餐有量丝式为1源1个蛙单位绢；可悬利用赤的设丛备总顷台时爪为1姐0台惑时。狐试问昌：如挣何确恼定其丈生产往方案拿？（二情）目染标规栽划的年有关声概念如果航决策营者所堪追求技的唯渠一目挤标是陆使总池产值蚂达到贺最大饥，则女这个孤企业堆的生防产方喜案可垦以由啄如下只线性蝴规划暖模型虚给出啊：求姓，技，兼使而且泰满足厨：式中雅：和准为决熔策变餐量，客为目旅标函拌数值领。将惊上述岗问题苗化为贝标准段后，雪求解抱可得脚最佳写决策昆方案淋为帽（盗万元纠）。但是太，在赚实际娘决策巴时，镇企业册领导没者必折须考革虑市楚场等庙一系诉列其恰它条园件，锤如：①根据杠市场选信息橡，甲趋种产查品的派需求罢量有炮下降好的趋厅势，哥因此托甲种轰产品灯的产希量不哄应大杠于乙侍种产籍品的侄产量食。②超过暂计划乡丰供应完的原位材料形，需虾用高枣价采臭购，妹这就慕会使扇生产双成本嗽增加膝。③应尽虫可能汁地充磨分利弃用设助备的溉有效舍台时旺，但荣不希笋望加庄班。④应尽携可能捆达到磁并超钟过计适划产旋值指椒标5共6万买元。这样盖，该敬企业肝生产榜方案大的确能定，宏便成晓为一湾个多扫目标被决策膨问题辈，这泄一问欠题可另以运庄用目途标规钳划方久法进醒行求蜻解。为了撤建立订目标傲规划欣数学欢模型添，下据面引拳入有泄关概珍念。目标茂规划桃模型浸的有芳关概遵念1.湿偏差鸣变量在目朗标规陆划模杨型中幕，除陕了决匠策变康量外肃，还凝需要搏引入障正、负负偏粱差变耀量赖、闷。其宣中，蝴正偏穷差变普量表兰示决咱策值屈超过赢目标美值的艇部分命，负排偏差屈变量扛表示横决策帖值未拔达到项目标驳值的蜡部分征。因为净决策凤值不集可能卸既超梁过目宴标值芝同时父又未匠达到刻目标造值，际故有胁成气立。2、巴绝对议约束赌和目给标约塑束绝对爽约束，必阔须严蜘格满宾足的哨等式晋约束非和不摆等式针约束辆，譬庄如，捷线性赚规划烤问题马的所乐有约沙束条搬件都口是绝势对约天束，浩不能形满足恒这些填约束鞭条件答的解招称为距非可丽行解搬，所炉以它夏们是挥硬约量束。目标吐规划核模型转的有采关概煤念目标仰约束，目字标规丛划所有特有确的，您可以北将约狗束方蚕程右园端项扭看作近是追贪求的耳目标反值，底在达扯到此黎目标笋值时导允许愿发生篇正的圾或负泰的偏歉差钓，可矩加入陆正负环偏差寇变量阀，是泳软约充束。线性霞规划斧问题环的目平标函羡数，仓在给纸定目唱标值骄和加说入正宴、负献偏差嫂变量运后可划以转物化为隙目标干约束驱，也眠可以叛根据帮问题砖的需游要将其绝对需约束链转化是为目鸡标约秩束。目标价规划钞模型与的有志关概膀念目标听规划确模型群的有岛关概刑念3.辫优先暂因子言（优横先等纵级）等与权欢系数一个惕规划吐问题冷,常垮常有选若干殿个目轻标，痒决策洁者对切各个穴目标例的考晨虑,醒往往愤是有柴主次咸或轻慕重缓消急的佛。凡捕要求稿第一友位达楚到的们目标锐赋予奥优先文因子赢，次唐位的拼目标凭赋予漫优先膨因子美，…锅…，屯并规佩定唯表示啄比有更痒大的菊优先秘权。厅这就匹是说倍，首商先保腊证级目术标的煌实现气，这怪时可土以不奶考虑害次级疗目标蹦；而移级目述标是槽在实允现庄级拉目标凭的基壮础上废考虑让的；却依此龟类推尖。若要门区别台具有管相同新优先劲因子争的目葵标的单差别撒，就景可以很分别牛赋予钞它们逝不同建的权孝系数哨。这陪些优琴先因书子和欠权系膜数都鼓由决案策者洲按照孟具体主情况租而定考。4.佳目标坏函数目标恩规划洽的目孤标函渗数（串准则姨函数召）是刷按照线各目弃标约佛束的款正、背负偏狱差变仿量和肤赋予凭相应号的优嚷先因催子而学构造茶的。国当每灾一目污标确浸定后欧，尽惹可能们缩小启与目侵标值元的偏挽离。利因此这，目觉标规渐划的洗目标乡丰函数正只能餐是：基本秧形式懂有三驾种：目标垮规划纱模型愁的有雾关概站念a)太要龄求恰饿好达帅到目状标值垒，就眼是正系、负肠偏差洗变量告都要午尽可被能小哪,即b)虽要买求不希超过赢目标晒值，兵即允锤许达款不到赤目标蹈值，养就是醉正偏倘差变浴量要稠尽可辅能小甚，即c)谱要证求超科过目答标值痛，也捉就是贼超过昂量不依限，勿但负烟偏差争变量恐要尽禁可能昼小，并即在实义际问般题中胀，可伍以根她据决聋策者奸的要乌求，颗引入淘正、际负偏途差变锐量和讨目标劣约束撕，并工给不栗同目尊标赋轻予相芝应的雾优先扰因子敏和权炊系数赏，构引造目路标函凡数，慌建立营模型默。例2：在丢例1衔中，必如果辟决策兵者在作原材贡料供句应受寻严格仓控制章的基辨础上炕考虑跪：首茎先是忍甲种螺产品领的产左量不乞超过线乙种论产品引的产抖量；桐其次膏是充矿分利星用设请备的园有限与台时决，不藏加班锡；再兆次是拣产值篮不小团于5术6万保元。朱并分插别赋雨予这并三个搁目标把优先贪因子狗。试隶建立多该问米题的熄目标很规划性模型茄。解：根购据题步意，夫这一碧决策镰问题挑的目拐标规柱划模痕型是假定废有L个目发标，K个优成先级泄(K≤L)，n个变奸量。炎在同晴一优搭先级济中不女同目乒标的春正、绑负偏庙差变绍量的戚权系钢数分环别为怨、沟，则贼多目经标规私划问揪题可揉以表苹示为律：（三碗）目漠标规坑划模晴型的羡一般督形式在以狗上各卫式中胶，、克分逐别为舌赋予团优先贵因子读的第陕个目饺标的蔑正、抽负偏巨差变躲量的租权系瓦数，为第缘瑞个目夕标的顽预期熟值，为决词策变谣量，、浊分别凑为第k个目糕标的香正、渐负偏栏差变荒量，一、场土地道利用层问题二、制生产便计划甚问题三、耕投资政问题第四泡节哨多目时标规根划应赏用实矩例某灌建区土看地资助源根捷据土相质情叠况将蠢当地裳耕地储分为易I、鞋II窝、I摇II棋三级销，其赶中I舰等耕简10易0万宴公顷眉、I亲I等丛耕地斩30舞0万写公顷哄、I闸II泥等耕溪地2丛00映万公岗顷。慨现拟凭种植亏水稻袭、大袍豆、坑玉米壮三种无农作报物，壳各种翠耕地猴的作从物产巨量见格表，布要求渔水稻量产量驾不得揪低于取19异00漠00郊kg痰，大祸豆不些得低型于1眠30急00榜0k近g，胃玉米础不得卫低于注35链00雾00踩kg被。若问想达疲到产拨量及尿产值回的双帝赢，锡应如业何确毁定种择植结请构。一、久土地级利用告问题水稻大豆玉米资源限制（万公顷）I等耕地单产(kg/公顷)1100095009000100II等(kg/公顷)800068006000300III等(kg/公顷)140001200010000200单价(元/kg)1.21.50.8取僻决策绪变量美，它肚表示耻在第j等级婚的耕酱地上油种植皇第i种作邻物的炉面积话。如奥果追溜求总亚产量蕉最大柔和总与产值堵最大良双重侧目标沈，那敬么，景目标萍函数妄包括可：①追衬求总田产量奏最大②追闹求总杏产值捧最大根据途题意赌，约菠束方冷程包庆括：耕地罪面积坦约束最低吨收获捆量约爆束非负朴约束对上肤述多乓目标笛规划据问题朵，我故们可偿以采片用如边下方固法，裁求其致非劣滩解。1.彩用线哭性加渴权方吐法取魔，誓重新贷构造书目标漏函数室：这样落，就先将多例目标投规划坟转化证为单旅目标往线性著规划脖。用单组纯形价方法周对该渠问题猴求解观，可趴以得讯到一嘴个满观意解杆（非府劣解宗）方性案，冷结果遥见表贝1。此方扁案是触：I颂II眨等耕惰地全歇部种打植水领稻，鹅I等宋耕地过全部饺种植碎玉米芒，I呼I等底耕地复种植更大豆杰19该.1昂17顷6公告顷、绣种植糖玉米颈28角0.轻88浊24趋公顷照。在志此方即案下背，线矩性加成权目您标函幕数的臣最大皂取值徐为6愈44父56培00栗。表1掩线眯性加肤权目邮标下窗的非织劣解朽方案（单水位：hm2）2.撑目标挖规划痛方法实际尼上，泉除了顿线性葛加权荡求和业法以狠外，本我们疲还可斯以用乔目标氧规划旷方法谣求解批上述撤多目陆标规警划问择题。如果肝我们追对总醋产量策和活总产洽值兄，痛分别创提出涨一个低期望碰目标敢值（kg）（元舌）并将竟两个馅目标烂视为楚相同作的优恼先级捏。如果竖、瘦分别房诚表示套对应禁第一月个目构标期喘望值乏的正旨、负血偏差穿变量夕，建、轻分厅别表盗示对漆应于押第二评个目阳标期库望值后的正胳、负穿偏差阳变量悦，而边且将躲每一隙个目枯标的槽正、有负偏计差变半量同赴等看束待（蝇即可贤将它械们的值权系链数都港赋为1），触那么衰，该翠目标击规划模问题东的目无标函呼数为屯：对应滥的两押个目闷标约修束为短：即：除了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