北航湍流模式大作业

..学习帮手.北京航空航天大学湍流模式大作业学院名称航空科学与工程学院专业方向飞行器设计学号学生姓名日期2017年1月14日摘要本文首先介绍了层流与湍流的概念，湍流的几种数值模拟方法及其优缺点。由于时间所限，本文仅对雷诺平均数值模拟(RANS)的封闭模式进行了详细讨论，包括零方程模式，一方程模式，二方程模式和雷诺应力模式。在雷诺方程中建立雷诺应力和平均运动场间的关系，就可以使雷诺方程封闭，此模式称为低阶矩模式。如果以雷诺方程和雷诺应力输运方程联立作为湍流统计平衡的控制方程，这种模式称为二阶矩模式。此外，依据封闭关系式的数学方程模式，湍流模式又可分为代数模式和微分模式。目录TOC\o"1-5"\h\z摘要1介绍3层流和湍流3湍流的几种数值模拟方法及其优缺点3湍流的平均化、雷诺粘性应力4湍流模型63.1零方程模型6一方程模型6二方程模型7雷诺应力模式7介绍1.1层流和湍流粘性流体的运动存在着两种完全不同的流动状态：层流状态和湍流状态。雷诺首先于1883年通过做圆管内流动实验观察到层流与湍流现象。当圆管中流动速度较小时，管中的流线之间层次分明，互不掺混，这样的流动称为层流。当流速增大后，流体作复杂、无规律、随机的不定常运动，称为湍流。流动状态与雷诺数R、下临界雷诺数R和上临界雷诺数R'eecec有关。当R<R时，流动为层流；当R<R<R'时，流动为不稳定过渡状态；当R>R'eececeeceec时，流动为湍流。湍流是在连续介质范畴内流体的不规则运动，它有别于物质分子的不规则运动。具体来说，在极不规则的湍流中，流动的最小时间尺度和最小空间尺度都远远大于分子热运动的相应尺度。因此湍流运动产生的质量和能量的输运将远远大于分子热运动产生的宏观输运。1.2湍流的几种数值模拟方法及其优缺点如果从流动控制方程出发，进行最精细的数值模拟，称为直接数值模拟(DNS,DirectNumericalSimulation)。湍流的直接数值模拟(DNS)不存在封闭性问题，原则上可以求解所有湍流问题。由于计算机资源的限制，迄今为止DNS只能求低雷诺数的简单湍流问题；若只需预测湍流的统计量时，从雷诺平均方程出发的模拟，称为雷诺平均数值模拟(RANS,ReynoldsAverageNumericalSimulation)。RANS的缺点是缺乏普适性，要使这种方法成为一种简单可靠的方法还需要很多的工作；介于DNS和RANS之间的是大涡模拟(LES,LargeEddySimulation)。LES的思想是大尺度脉动用数值方法计算，小尺度脉动对大尺度的作用通过模型假设处理，有较宽的适用范围。湍流的平均化、雷诺粘性应力经典的湍流理论认为，湍流是一种完全不规则的随机运动，湍流场中的物理量在时间和空间上呈随机分布，不同的瞬时有不同的值，关注某个瞬时的值是没有意义的。因此，雷诺首创用统计平均方法来描述湍流的随机运动，即对各瞬时量进行平均得到有意义的平均值。从N-S方程出发，利用平均化运算的法则推导平均物理量满足的方程组。只考虑不可压缩流体情形，假设体力可以忽略，此时，N-S方程具有下列形式duddudududu1dp—+u——+v——+-——+uAudtdxdydzpdxdvdvdvdv1dp—+u+v—+-——+uAvdtdxdydzpdydwdwdwdw1dp+u+v一+w—=-——+uAwdtdxdydzpdzdudvdw小++=0dxdydz(1)运用(1)式中的连续性方程，运动方程可改写为TOC\o"1-5"\h\zdudu2duvduw1dp,——++——+=-——+uAudtdxdydzpdxdvduvdv2dvw1dp,—++——+=-——+uAv(2)dtdxdydzpdy(2)dwduwdvwdw21dp,——+++=-——+uAwdtdxdydzpdzdudvdw小——+—+——=0dxdydz对方程组(2)中各式两边进行平均化运算，并利用平均化运算法则得到TOC\o"1-5"\h\zdudu2duvduwddu'v1durwr1dp.++++++=-+uAudtdxdydzdxdydzpdxdvduvdv2dvwdu'vddv'w'1dp++++++=-+uAvdtdxdydzdxdydzpdydwduwdvwdw2du'w'dv'w'dW21dpA-++++++=-+uAwdtdxdydzdxdydzpdzdudvdw门dxdydz考虑到方程组(3)的第四式，方程组(3)中的头三个方程可改写成另一种形式，把脉动项移到右边，得到

QuQu—+vQyp—+ulQtdxQu_Qu'——+w——Qz丿QuQu—+vQyp—+ulQtdxQu_Qu'——+w——Qz丿亜+吨+Qx（）Q-pU2l丿QxQv_p—+ulQtQv__——+v——+w——QxQyQz丿QP+商+Q（-puy）+QyQxQ（-pu‘v）Q（-pu'w'）++

Qy（）Q-pvr2-1+QzQ（-pVw，）QyQzQw_Qw_Qwv——+w——、QtQxQyQz丿Qw___p——+u——+vQp_Q（—pu'W'）Q（-pv/w＜）-+pAW+++QzQx（）Q-pwr2l丿QzQuQvQw八++=0QxQyQz（4）将上式和应力形式的运动方程对比dVdipp二divP

dt其中P是应力张量，则有P二—pI+2rS+P'如下ttt如下ttt-pu2-puv-pu^wrrrP'=xxxyxz亡亡亡yxyyyz=-puv-pvt2-pvW丿入yy“亡亡亡zxzyzz-puw-pvw-pW2其中I是单位张量。S是平均运动变形速度张量，P'是对称的二阶张量，它的表达式（5）由(5)式得到在湍流运动中除了平均运动的粘性应力外，还多了一项由于脉动所引起的应力，称为雷诺粘性应力。平均流动元所满足的方程(4)称为雷诺方程。上述雷诺方程是不封闭的，方程个数只有4个，而未知函数有10个，即V、p及六个雷诺粘性应力分量。为了使方程组封闭，必须在雷诺应力即平均速度之间建立补充关系式。

湍流模型所谓湍流模型理论，就是根据理论和经验，对雷诺平均运动方程和雷诺应力项建立表达式或方程，然后对雷诺应力方程的某些项提出尽可能合理的模型和假设，使方程组封闭求解的理论。3.1零方程模型所谓零方程模型，就是在雷诺方程和连续方程以外，不需要另外再加任何方程式来使方程组封闭。即雷诺粘性应力能直接用某些物理量和物理常数表达出来，没有引进高阶微分方程，又称代数模型。(1)Boussinesq涡粘性系数法一般的方法利用Boussinesq假设把雷诺压力和平均速度梯度联系起来:pu'u'ij‘Qpu'u'ij‘QuQu)

二P+^j卜11QxQx丿ji‘了Qupk+p—ioItQx丿iij(6)(2)Cebeci-Smith模型该模型通常写成涡粘性系数形式，在内层有*—(K*—(Ky)2m1—exp(—+)(D2QU.Qy(7)(8)式中Id是衰减长度系数’当壁面不存在质量引射时为常数。在外层有(8)8=0.0168U0*y

m式中0*为边界层位移厚度，U是外部自由流速度，丫为间隙因子。3.2一方程模型(1)TheSpalart-Allmaras模型Spalart-Allmaras模型的变量中v是湍流动粘滞率除了近壁区域，方程是:2(PV)+亠(PVu2(PV)+亠(PVu)二G+QtQxii1IQQxj_Qv(P+PV―QxjQv+Cp(——)2^—Y+S_b2Qxjvv(9)这里G是湍流粘度生成的,VY是被湍流粘度消去，发生在近壁区域。V对于解决动力漩涡粘性，S-A模型是相对简单的方程，不必要去计算和剪应力层厚度相关的长度尺度。(2)简化的二方程模型由于8方程难模化和精度低，可以在保留k方程的基础上舍弃8方程，将8表示为

k3/2£=—l式中，l可视为混合长度，必须根据具体流场情况另外给出。3.3二方程模型⑴标准k—£模型标准k-£模型是个半经验公式，主要是基于湍流动能和扩散率。k方程是个精确方程,£方程是个由经验公式导出的方程。湍流动能方程k方程为O(pk)+OtOO(pk)+OtOxi扩散方程£方程为OO(pku)=—iOxjpOk(p+--)-

cOxkj+G+G-p£-Y+Sk(10)MkOOO(p£)+(p£u)二-OtOxiOxij(卩+—L)—

cOx£j+C£(G+C1£kk3££2G)-Cp+Sb2£k£(11)方程中g表示由层流速度梯度而产生的湍流动能,g是由浮力产生的湍流动能，ym由于在可压缩湍流中，过渡的扩散产生的波动。(2)标准k-①模型标准k-①模型是一种经验模型，是基于湍流能量方程和扩散速率方程。OOO(pk)+(pOOO(pk)+(pku)二-OtOx/OxijI_Ok、Ik兀丿+G-Y+Skkk(12)O(P①)+OtOOxOxjO①'Oxj+G-Y+S①①①(13)在方程中，Gk是由层流速度梯度而产生的湍流动能。G®是由①方程产生的，r和r®表明了k和①的扩散率。-和人由于扩散产生的湍流。3.4雷诺应力模式雷诺应力模式简称为RSM,由于雷诺平均运动方程所包含的雷诺应力为一未知项，所以最直接的办法是建立雷诺应力vv_的方程。ij(1)雷诺应力方程和湍流动能方程.专业整理.专业整理.(17).(17).学习帮手.得到__v__的方程步骤为：把N-s方程化成DD2的形式，将瞬时速度表示成平均速度ijDtD(vv)D(vv)I-Dt与脉动速度之和，即vi=v.+v、vj=vj+vD(vv)I-DtD(vv^)8_8vV——+vjk8xk88xk8vp8vpi+8j——k8xk88xk8vp8vpi+8j——jkpikpV湍流扩散项+vvv-uijk/V8v/V~—^j

8x分子扩散项丿(14)r\一8歹丄亠一8v_vv——j+vv——i-ik8xjk8xjkk丿\_丿V产生项-2u匹辽+「8x8xppI8v8vi+j8x8xji耗散项压力变形项在模式理论中要用到湍动能k=v2/2，在式(14)中令i=j得到iDk8k_8k—+v—Dt8tj8xj11)

—8vp+—vW"-2uv~s~(15)8x(pi2ijkiij丿j-v"v~s-2uikijijij这就是湍动能方程。需要(2)经模化后的雷诺应力方程和湍动能方程需要在雷诺应力方程(14)和湍动能方程(15)中存在未知项，如讨咛、vp等，因此，ijki建立这些未知量的表达式，这一过程称为湍流模式建立的过程。最终经模化后的雷诺应力方程和湍动能方程为：Dvv8—-Dt8x1k28v"v~Dvv8—-Dt8x1k28v"v~8v"v~Cj+u—jk£8x8x(11丿+P--8£ij3ij(16)-Cikvv^——8k-CP--8P•••jij3ij丿2jij3ijk丿Dk_8~Dt_8xj1Ck£8xldx)l+P-£k其中.专业整理.专业整理...学习帮手.P=—ij亠_a矿丄一°讨vV——j+vV——i

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