湖南省永州市孟公山中学2022年高三数学文期末试卷含解析

湖南省永州市孟公山中学2022年高三数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知点在圆上，则函数的最小正周期和最小值分别为（

）A.，

B.，

C.，

D.，参考答案：B2.定义域为R的函数满足，当时，，若时，恒成立，则实数t的取值范围是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D略3.已知关于的方程的两个实数根满足，，则实数的取值范围是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B4.已知函数f（x）=Msin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如下图所示，其中A，B分别为函数f（x）图象的一个最高点和最低点，且A，B两点的横坐标分别为1，4，若?=0，则函数f（x）的一个单调减区间为（）A．（﹣6，﹣3） B．（6，9） C．（7，10） D．（10，13）参考答案：C【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】求出函数的周期，利用周期公式可求ω，利用向量的坐标运算可求M，利用A（1，2）在函数图象上可求φ，利用三角函数的图象和性质即可得到结论．【解答】解：由题意可得：周期T=2×（4﹣1）=6=，解得：ω=，可得坐标：A（1，M），B（4，﹣M），=（1，M），=（4，﹣M），由于：?=0，可得：1×4﹣M2=0，解得：M=2，可得：2sin（×1+φ）=2，解得：×1+φ=2kπ+，k∈Z，可得：φ=2kπ+，k∈Z，由于：0＜φ＜，可得：φ=，解得函数解析式为：f（x）=2sin（x+），令2kπ+＜x+＜2kπ+，k∈Z，解得：6k+1＜x＜6k+4，k∈Z，可得：当k=1时，函数f（x）的一个单调减区间为：（7，10）．故选：C．5.已知是双曲线的左、右焦点,点在的渐近线上,且与轴垂直,,则的离心率为（

）A．

B．

C.

D．参考答案：D6.已知定义在上的函数是它的导函数，且对任意的，都有恒成立，则（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D7.一扇形的中心角为2，中心角所对的弦长为2，则此扇形的面积为（

）A．2

B．1

C．

D．参考答案：C略8.已知是实数集，，则(A)

(B)

(C)

D

参考答案：D略9.已知,若在上恒成立,则实数的取值范围是(

)A.

B.

C.

D.参考答案：B10.已知向量,则的充要条件是（）A．

B．

C．

D．=0参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则实数a的值是_______．参考答案：4【详解】由，则切线斜率，则过的切线方程为:，与坐标轴交点分别为，又所成三角形面积为2，可得，所以,故答案为4.12.已知是定义在上的奇函数，且当时，则_________.参考答案：013.按如下程序框，最后输出的结果是

参考答案：i=714.已知实数满足，那么的最小值为_______________参考答案：15.函数f（x）=x2﹣4x+5﹣2lnx的零点个数为

． 参考答案：2【考点】根的存在性及根的个数判断． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】根据f（x）解析式确定出x大于0，求函数f（x）=x2﹣4x+5﹣2lnx的零点个数，即求方程lnx=（x﹣2）2+的解的个数，利用图象求出即可． 【解答】解：由题意可得x＞0， 求函数f（x）=x2﹣4x+5﹣2lnx的零点个数，即求方程lnx=（x﹣2）2+的解的个数， 数形结合可得，函数y=lnx的图象和函数y=（x﹣2）2+的图象有2个交点， 则f（x）=lnx﹣x2+2x+5有2个零点， 故答案为：2 【点评】此题考查了根的存在性及根的个数判断，利用了数形结合的思想，画出相应的图象是解本题的关键． 16.设和均为定义在R上的偶函数，当时，，若在区间内，关于的方程恰有4个不同的实数根，则实数的取值范围是

参考答案：略17.在平面直角坐标系xOy中，以向量=（a1，a2），=（b1，b2）为邻边的平行四边形的面积为．参考答案：|a1b2﹣b1a2|考点：向量在几何中的应用．专题：计算题；综合题；平面向量及应用．分析：设向量对应，向量对应，由向量模的公式算出||和||，得到cos∠AOB=，再由同角三角函数的平方关系算出sin∠AOB的值，最后根据正弦定理的面积公式加以计算，得到平行四边形OACB的面积，即得以向量、为邻边的平行四边形的面积值．解答：解：设向量==（a1，a2），==（b1，b2）∴||=，||=可得cos∠AOB==由同角三角函数基本关系，得sin∠AOB==因此，以、为邻边的平行四边形OACB的面积为S=||?||sin∠AOB=??=|a1b2﹣b1a2|即以向量、为邻边的平行四边形的面积为|a1b2﹣b1a2|故答案为：|a1b2﹣b1a2|点评：本题给出向量、的坐标，求以向量、为邻边的平行四边形的面积．着重考查了平面向量数量积计算公式、模的计算公式和平行四边形的面积求法等知识，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分12分)如图，是圆的直径，点在圆上,矩形所在的平面垂直于圆所在的平面,，．（1）证明：平面平面；（2）当三棱锥的体积最大时，求点到平面的距离．

参考答案：（1）证明：∵是直径，∴

…1分，又四边形为矩形,,,∴∵，∴平面

…………4分又平面，∴平面平面

………………6分（2）由⑴知，

………8分，当且仅当时等号成立

……9分，∴当三棱锥体积最大为

……10分，此时，，

设点到平面的距离为，则

………12分19.设Sn为数列{an}的前n项和，且S3=7，a1+3，a3+4的等差中项为3a2．（1）求a2；（2）若{an}是等比数列，求an．参考答案：【考点】等比数列的通项公式．【分析】（1）利用已知条件建立方程组，求解健康得答案；（2）设数列{an}的公比为q，由a2=2，可得首项与公比，即可求得数列{an}的通项公式．【解答】解：（1）由已知得：，解得a2=2；（2）设数列{an}的公比为q，由a2=2，可得．又S3=7，可知+2+2q=7，∴2q2﹣5q+2=0，解得，q2=2．①若，∴a1=4，则．②若q2=2，∴a1=1，则．20.在△ABC中，内角A、B、C所对的边长分别是a、b、c，已知，．

(Ⅰ)求cosC的值；

(Ⅱ)若a=15，D为AB边上的点，且2AD=BD，求CD的长．参考答案：(Ⅰ)解：由得： 2分

∵A、B、C是△ABC的内角，∴

因此，，故 4分

由得： 6分

∴ 8分(Ⅱ)解：由得： 9分

由正弦定理得：，∴ 11分

在△BCD中，

∴CD=13． 12分

21.（12分）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）,其频率分布直方图如下：（1）记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，估计A的概率；（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：

箱产量＜50kg箱产量≥50kg旧养殖法

新养殖法

（3）根据箱产量的频率分布直方图，对两种养殖方法的优劣进行比较。附：P（K2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828参考答案：

(2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表

箱产量＜50kg箱产量≥50kg旧养殖法6238新养殖法3466K2=由于15.705＞6.635,故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关.(3)箱产量的频率分布直方图平均值(或中位数)在45kg到50kg之间,且新养殖法的箱产量分布集中程度较旧养殖法的箱产量分布集中程度高,因此,可以认为新养殖法的箱产量较高且稳定,从而新养殖法优于旧养殖法.

22.（本小题满分分）如图，直三棱柱中，，，是的中点，△是等腰三角形，为的中点，为上一点．（1）若∥平面，求；（2）求直线和平面所成角的余弦值．参考答案：『法一』(1)取中点为，连结，………1分

∵分别为中点

∴∥∥，∴四点共面，

………3分且平面平面又平面，且∥平面∴∥∵为的中点，∴是的中点，

………5分∴．

………6分（2）连结，

………7分因为三棱柱为直三棱柱，∴平面∴，即四边形为矩形，且∵是的中点，∴，又平面，∴，从而平面

………9分∴是在平面内的射影∴与平面所成的角为∠又∥，∴直线和平面所成的角即与平面所成的角…10分设，且三角形是等腰三角形∴，则，∴

∴直线和平面所成的角的余弦值为．

………12分『法二』（1）因为三棱柱为直三棱柱，∴平面，又∴以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立如图空间直角坐标系.

………1分设，又三角形是等腰