浙江省宁波市象山县石浦中学高三数学文摸底试卷含解析

浙江省宁波市象山县石浦中学高三数学文摸底试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是圆，且该几何体的体积为；直径为2的球的体积为．则A．

B．

C．

D.

参考答案：B试题分析：由题意，该几何体是一个圆柱挖去一个圆锥得到的几何体，，，∴.选B.考点：三视图，体积.2.函数是函数的导函数，且函数在点处的切线为，如果函数在区间上的图象如图所示，且，那么

（

）A．是的极大值点

B．=是的极小值点

C．不是极值点

D．是极值点参考答案：B3.函数的图像大致是（

）A. B. C. D.参考答案：A【分析】根据奇偶性和函数的特殊点，对选项进行排除，由此得出正确选项.【详解】令，则，故函数为偶函数，图像关于轴对称，排除C选项.由，解得且.，排除D选项.，故可排除B选项.所以本小题选A.【点睛】本小题主要考查函数图像的识别，主要通过函数的奇偶性和函数图像上的特殊点进行排除，属于基础题.4.执行如图的程序框图，如果输入，则输出的（

）A．－23

B．－191

C．23

D．191参考答案：B运行程序如下：故选B.

5.已知椭圆+=1（a＞b＞0，c为椭圆的半焦距）的左焦点为F，右顶点为A，抛物线y2=（a+c）x与椭圆交于B，C两点，若四边形ABFC是菱形，则椭圆的离心率是(

) A． B． C． D．参考答案：D考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由椭圆方程求出F和A的坐标，由对称性设出B、C的坐标，根据平行四边形的性质求出横坐标，代入抛物线方程求出B的纵坐标，将点B的坐标代入椭圆方程，化简整理得到关于椭圆离心率e的方程，即可得到该椭圆的离心率．解答： 解：由题意得，椭圆+=1（a＞b＞0，c为半焦距）的左焦点为F，右顶点为A，则A（a，0），F（﹣c，0），∵抛物线y2=（a+c）x与椭圆交于B，C两点，∴B、C两点关于x轴对称，可设B（m，n），C（m，﹣n）∵四边形ABFC是平行四边形，∴2m=a﹣c，则，将B（m，n）代入抛物线方程得，n2=（a+c）m=（a+c）（a﹣c）=（a2﹣c2），∴，则不妨设B（，），再代入椭圆方程得，+=1，化简得，即4e2﹣8e+3=0，解得e=或1（舍去），故选：D．点评：本题考查椭圆、抛物线的标准方程，以及它们的简单几何性质，平行四边形的性质，主要考查了椭圆的离心率e，属于中档题．6.下列函数中，既是偶函数又在区间(1,2)上单调递增的是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A由于，，因此都是偶函数，，，都是偶函数，而当时，是增函数，故选A．

7.若tanα=，则sin4α﹣cos4α+6sincoscosα=（） A．1 B． C． D．参考答案：D【考点】三角函数的化简求值． 【分析】利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式求得要求式子的值． 【解答】解：∵tanα=，则sin4α﹣cos4α+6sincoscosα=sin2α﹣cos2α+3sinαcosα ===， 故选：D． 【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式，属于基础题． 8.设数列的前项和为，，则称为数列的“理想数”，若数列的“理想数”为2008，那么数列的“理想数”为A、

B、

C、

D、参考答案：答案：D解析：∵数列的“理想数”为2008

∴∴

∴数列的“理想数”为

故选D

9.（2015春?黑龙江期末）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图，则函数f（x）的解析式为（） A． f（x）=4sin（x﹣） B． f（x）=﹣4sin（x+） C． f（x）=﹣4sin（x﹣） D． f（x）=4sin（x+）参考答案：B考点： 由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题： 数形结合．分析： 由图象先确定A，再由周期确定ω，再代值求φ，可得解析式．解答： 解：由图象可得A=﹣4，==6﹣（﹣2），解得ω=，故函数的解析式可写作f（x）=﹣4sin（x+φ），代入点（6，0）可得0=﹣4sin（+φ），故+φ=kπ，k∈Z，即φ=kπ﹣，又|φ|＜，故当k=1时，φ=，故选B点评： 本题考查三角函数解析式的确定，先确定A，再由周期确定ω，再代值求φ，属中档题．10.若直角坐标平面内的两个不同的点M、N满足条件①M、N都在函数y=f（x）的图象上；②M、N关于原点对称．则称点对[M，N]为函数y=f（x）的一对“友好点对”（注：点对[M，N]与[N，M]为同一“友好点对”）．已知函数f（x）=，此函数的“友好点对”有(

)A．0对 B．1对 C．2对 D．3对参考答案：C【考点】进行简单的合情推理．【专题】新定义．【分析】根据题意：“友好点对”，可知，欲求f（x）的“友好点对”，只须作出函数y=﹣x2﹣4x（x≤0）的图象关于原点对称的图象，看它与函数f（x）=log3x（x＞0）交点个数即可．【解答】解：根据题意：当x＞0时，﹣x＜0，则f（﹣x）=﹣（﹣x）2﹣4（﹣x）=﹣x2+4x，则函数y=﹣x2﹣4x（x≤0）的图象关于原点对称的函数是y=x2﹣4x（x≥0）由题意知，作出函数y=x2﹣4x（x≥0）的图象及函数f（x）=log3x（x＞0）的图象如下图所示由图可得两个函数图象共有两个交点即f（x）的“友好点对”有：2个．故选：C．【点评】本题主要考查了奇偶函数图象的对称性，以及数形结合的思想，解答的关键在于对“友好点对”的正确理解，合理地利用图象法解决．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为__________.参考答案：12.向量V=()为直线y=x的方向向量，a=1,则数列的前2011项的和为_______.参考答案：2011略13.已知是第二象限的角，且，则___________.参考答案：略14.给出下列命题，其中正确的命题是__________（把所有正确的命题的选项都填上）．①函数和的图象关于直线对称．②在上连续的函数若是增函数，则对任意均有成立．③底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥．④若为双曲线上一点，、为双曲线的左右焦点，且，则或⑤已知函数的交点的横坐标为的值为参考答案：略15.数列中，，则

.参考答案：答案:

16.过点且斜率为的直线与抛物线相交于，两点，若为中点，则的值是

．参考答案：17.已知数列{an}满足a1=1，an+1+2an+1-an=0，则a4=____.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分14分）在中，内角的对应边分别为，已知．（1）求的值；（2）若，求面积的最大值．参考答案：【知识点】解三角形C8【答案解析】（1）（2）（1）由正弦定理得到：

因为在三角形中，所以所以

因为，所以即所以即。

（2）由余弦定理得到：,所以

所以即当且仅当即时“=”成立

而，所以面积的最大值为。【思路点拨】根据正弦定理余弦定理求出边角，利用均值不等式求出最值。19.（本小题共13分）如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为，短半轴长为，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底是半椭圆的短轴，上底的端点在椭圆上，记，梯形面积为．（I）求面积以为自变量的函数式，并写出其定义域；（II）求面积的最大值．参考答案：解析：（I）依题意，以的中点为原点建立直角坐标系（如图），

则点的横坐标为．点的纵坐标满足方程，解得，其定义域为．（II）记，则．令，得．因为当时，；当时，，所以是的最大值．因此，当时，也取得最大值，最大值为．即梯形面积的最大值为．20.设函数f（x）=x2﹣bx+alnx．（Ⅰ）若曲线f（x）在点（1，）处的切线平行于x轴，求f（x）；（Ⅱ）f（x）存在极大值点x0，且a＜e2（其中e=2.71828…），求证：f（x0）＜0．参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（I）令f（1）=，f′（1）=0即可解出a，b，得出f（x）的解析式；（II）根据f（x）有极大值点可得f（x）也有极小值点，利用二次函数的性质列出不等式组得出a，b的范围和关系，求出x0的范围，化简得f（x0）=﹣x02+alnx0﹣a，求出右侧函数在x0的范围内恒小于0即可．【解答】解：（I）f′（x）=x﹣b+，∵曲线f（x）在点（1，）处的切线平行于x轴，∴，即，解得a=﹣2，b=﹣1．∴f（x）=x2+x﹣2lnx．（II）f（x）的定义域为（0，+∞）．令f′（x）=x﹣b+=0得x2﹣bx+a=0，∵f（x）存在极大值点x0，且x→+∞时，f′（x）→+∞，∴f（x）存在极小值点x1，∴x2﹣bx+a=0有两个正实数根x0，x1，∴，∴a＞0，b＞0，b＞2．∵x0是f（x）的极大值点，∴f′（x0）=x0﹣b+=0，即x02﹣bx0+a=0，∴bx0=x02+a．∵x0==，b，∴0＜x0＜，∴f（x0）=x02﹣bx0+alnx0=x02﹣（x02+a）+alnx0=﹣x02+alnx0﹣a，∴f′（x0）=﹣x0+=＞0，∴f（x0）在（0，）上单调递增，∴f（x0）＜f（）=﹣a+aln﹣a=﹣+lna=（lna﹣3）＜0．【点评】本题考查了导数的几何意义，导数与函数单调性、函数极值的关系，利用函数极值和导数之间的关系转化为一元二次方程根的与判别式△之间的关系是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．21.已知数列{an}满足，.设.（1）判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由；（2）若，求{an}的前n项和Sn.参考答案：(1)见解析；(2)【分析】(1)本题首先可以将代入，化简得到，然后对的值进行判断即可得出结果；(2)首先可以根据以及(1)中所得出的结论得出数列的通项，然后通过分组求和法即可得出结果。【详解】（1）由，得，代入，得，所以，当时，，此时，数列不是等比数列，当时，，此时，数列是以为公比、为首项的等比数列。（2）当时，由（1）知数列是以为公比、为首项的等比数列，，从而，所以。【点睛】本题考查数列的相关性质，主要考查等比数列的定义以及数列求和中的分组求和法，考查综合分析论证求解能力，考查等差数列以及等比数列的求和公式的使用，是中档题。22.在锐角中，且.（Ⅰ）求的大小；（Ⅱ）若，求的值.参考答案：（Ⅰ）由正弦定理可得

----------------------------2分因为所以

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