重难点突破06 双变量问题（六大题型）（原卷版）

重难点突破06双变量问题目录破解双参数不等式的方法：一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等式；二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果.题型一：双变量单调问题例1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)设，证明：对任意，，．例2．（2023·安徽·校联考三模）设，函数.（Ⅰ）讨论函数在定义域上的单调性；（Ⅱ）若函数的图象在点处的切线与直线平行，且对任意，，不等式恒成立，求实数的取值范围.例3．（2023·福建漳州·高二福建省漳州第一中学校考期末）已知函数（Ⅰ）讨论函数的单调性；（Ⅱ）若时，任意的，总有，求实数的取值范围.变式1．（2023·全国·模拟预测）已知函数，，且．（1）当时，讨论的单调性；（2）当时，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．变式2．（2023·天津南开·高三南开大学附属中学校考开学考试）已知函数．(1)讨论的单调性；(2)当时，证明；(3)若对任意的不等正数，总有，求实数的取值范围．题型二：双变量不等式:转化为单变量问题例4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．（1）讨论的单调性；（2）已知，若存在两个极值点，且，求的取值范围.例5．（2023·新疆·高二克拉玛依市高级中学校考阶段练习）已知函数(1)若，求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；(2)当时，讨论f（x）的单调性；(3)设f（x）存在两个极值点且，若求证：.例6．（2023·山东东营·高二东营市第一中学校考开学考试）已知函数（为常数）(1)讨论的单调性(2)若函数存在两个极值点，且，求的范围.变式3．（2023·山东·山东省实验中学校联考模拟预测）已知函数，其中．(1)当时，求函数在处的切线方程；(2)讨论函数的单调性；(3)若存在两个极值点的取值范围为，求的取值范围．变式4．（2023·江苏苏州·高三统考阶段练习）已知函数(1)讨论函数的单调性；(2)若函数存在两个极值点，记,求的取值范围.变式5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若存在两个极值点，，且，求的取值范围．变式6．（2023·吉林长春·高二长春市实验中学校考期中）设函数．(1)当时，求的单调区间；(2)若有两个极值点，①求a的取值范围；②证明：．题型三：双变量不等式:极值和差商积问题例7．（2023·黑龙江牡丹江·高三牡丹江一中校考期末）已知，函数.(1)当时，求的单调区间和极值；(2)若有两个不同的极值点，.（i）求实数的取值范围；（ii）证明：（……为自然对数的底数）.例8．（2023·内蒙古·高三霍林郭勒市第一中学统考阶段练习）已知函数．(1)讨论的单调性；(2)若存在两个极值点，证明：．例9．（2023·全国·模拟预测）已知函数．(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)若存在两个极值点、，求实数的取值范围，并证明：．变式7．（2023·辽宁沈阳·高二东北育才学校校考期中）已知函数，.(1)当时，讨论方程解的个数；(2)当时，有两个极值点，，且，若，证明：（i）；（ii）.变式8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数（1）讨论函数的单调区间；（2）设，是函数的两个极值点，证明：恒成立．变式9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若有两个极值点，求证：.题型四：双变量不等式:中点型例10．（2023·天津北辰·高三天津市第四十七中学校考期末）已知函数．（1）已知为的极值点，求曲线在点处的切线方程；（2）讨论函数的单调性；（3）当时，若对于任意，都存在，使得，证明：．例11．（2023·湖北武汉·统考一模）已知函数.（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）设，证明：当时，；（Ⅲ）设是的两个零点，证明.例12．（2023·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）已知函数且.（1）讨论函数的单调性;（2）当时，若函数的图象与轴交于，两点，设线段中点的横坐标为，证明:.变式10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.(1)讨论的单调性；(2)若函数的图像与x轴交于A，B两点，线段中点的横坐标为，证明：.变式11．（2023·四川绵阳·高二四川省绵阳南山中学校考阶段练习）已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）设函数图象上不重合的两点.证明：.（是直线的斜率）变式12．（2023·福建泉州·高二福建省永春第一中学校考阶段练习）已知函数（）．（1）讨论函数的单调性；（2）设，若函数的两个极值点，（）恰为函数的两个零点，且的取值范围是，求实数的取值范围．题型五：双变量不等式:剪刀模型例13．（2023·天津和平·耀华中学校考模拟预测）已知函数在点(，)处的切线方程为．(1)求a、b；(2)设曲线y＝f(x)与x轴负半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为y＝h(x)，求证：对于任意的实数x，都有f(x)≥h(x)；(3)若关于的方程有两个实数根、，且，证明：．例14．（2023·辽宁沈阳·统考三模）已知函数在点处的切线方程为．（1）求，；（2）函数图像与轴负半轴的交点为，且在点处的切线方程为，函数，，求的最小值；（3）关于的方程有两个实数根，，且，证明：．例15．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，是的极值点．(1)求的值；(2)设曲线与轴正半轴的交点为，曲线在点处的切线为直线．求证：曲线上的点都不在直线的上方；(3)若关于的方程有两个不等实根，，求证：．变式13．（2023·安徽·校联考二模）已知函数，其中是自然对数的底数.(1)设曲线与轴正半轴相交于点，曲线在点处的切线为，求证：曲线上的点都不在直线的上方；(2)若关于的方程（为正实数）有两个不等实根，求证：.变式14．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，在点处的切线方程记为，令．(1)设函数的图象与轴正半轴相交于，在点处的切线为，证明：曲线上的点都不在直线的上方；(2)关于的方程为正实数）有两个实根，，求证：．题型六：双变量不等式:主元法例16．（2023·江苏盐城·高三盐城中学校联考开学考试）已知函数．(1)求函数的单调区间和最小值；(2)当时，求证：（其中为自然对数的底数）；(3)若，求证：．例17．（2023·河南信阳·高二校联考阶段练习）已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求函数的最小值，并证明：当时，．（其中e为自然对数的底数）例18．（2023·山西晋中·高二校考阶段练习）已知函数（其中为自然对数的底数）．(1)若，求函数的单调区间；(2)若，求证：，．变式15．（2023·广东广州·高三广州大学附属中学校考阶段练习）已知函数（其中且为常数，为自然对数的底数，．(1)若函数的极值点只有一个，求实数的取值范围；(2)当时，若（其中恒成立，求的最小值的最大值．变式16．（2023·全国·高三