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文档简介
2022-2023学年安徽省芜湖市八年级(下)期中数学试卷(1)一、选择题(本大题共10小题,共40分。在每小题列出的选项中,选出符合题目的一项)1.若式子x+2在实数范围内有意义,则x的取值范围是(
)A.x>−2 B.x<−2 C.x≠−2 D.x≥−22.下列二次根式,不能与2合并的是(
)A.12 B.8 C.3.点O为矩形ABCD对角线AC与BD的交点,若AC=6,则OD的长为(
)A.1
B.2
C.3
D.64.下列式子中,为最简二次根式的是(
)A.44 B.5 C.15.在直角三角形中,两直角边的长分别为6和12,则斜边上中线的长为(
)A.33 B.35 C.6.在△ABC中,∠A,∠C的对边分别记为a,b,c,下列条件中,能判定△ABC是直角三角形的是(
)A.a2=(c−b)(c+b) B.a=1,b=2,c=3
C.∠A=∠C D.∠A:∠B:∠C=3:47.将一个有45°角的三角尺的直角顶点C放在一张宽为3cm的纸带边沿上,另一个顶点A在纸带的另一边沿上,测得三角尺的一边AC与纸带的一边所在的直线成30°角,如图,则三角尺的最长边的长为(
)A.6 B.3C.42 8.数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线,则所容两长方形面积相等(如图所示)”这一推论,他从这一推论出发,利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证,则下列说法不一定成立的是(
)A.S△ABC=S△ADC B.S△AEF=9.如图,在△ABC中,∠BAC=120°,点D为BC的中点,E是AC上的一点,且AB+AE=EC.若DE=2,则AB的长是(
)A.23 B.C.33 10.如图,正方形ABCD中,点E、F、H分别是AB、BC、CD的中点,CE、DF交于G,连接AG、HG.下列结论:①CE⊥DF;②AG=DG;③∠CHG=∠DAG;④2HG=AD.正确的有(
)A.1个
B.2个
C.3个
D.4个二、填空题(本大题共4小题,共20分)11.“对顶角相等”这个命题的逆命题是______.12.如图所示,在四边形ABCD中,∠1=∠2,请添加一个条件使四边形ABCD是平行四边形.可添加的条件是______.(只填一个即可)13.已知实数−1<a<3,化简|a+1|+(a−214.刘徽是我国魏晋时期伟大的数学家,他在《九章算术注》中指出:“勾、股幂合为弦幂,明矣.”也就是说,图1中直角三角形的三边a、b、c存在a2+b2=c2的关系.他在书中构造了一些基本图形来解决问题.如图2,分别将以a为边长的正方形和b为边长的正方形置于以c为边长的大正方形的左下角和右上角,则图中阴影部分面积等于
(用含字母a的代数式表示);若(c−a)(c−b)=18,则a+b−c=三、解答题(本大题共8小题,共80分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)15.(本小题10.0分)
如图,折叠矩形的一边AD,使点D落在BC边的点F处,已知AB=8cm,BC=10cm,求EC的长.16.(本小题8.0分)
计算:
(1)218−2117.(本小题8.0分)
如图,在菱形ABCD中,CE=CF,求证:AE=AF.18.(本小题8.0分)
已知x=5+2,求代数式x19.(本小题8.0分)
如图,在4×4的正方形网格中,每个小正方形的边长均为1,每个小正方形的顶点叫做格点.
(1)在图1中以格点为顶点画△ABC,使△ABC的三边长分别为3、4、5;
(2)在图2中以格点为顶点画△DEF,使△DEF的三边长分别为5、10、20.(本小题10.0分)
阅读材料:
分析探索题:细心观察如图,认真分析各式,然后解答问题.
OA22=(2)2+4=8,S1=2;
QA32=(8)2+4=12,S2=282=8=2221.(本小题12.0分)
如图,▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O,且∠OBC=∠OCB.
(1)求证:四边形ABCD为矩形;
(2)过B作BE⊥AO于E,∠CBE=3∠ABE,BE=2,求AE的长.
22.(本小题12.0分)
如图,在平行四边形ABCD中,点E,F,G,H分别在边AB,BC,CD,DA上,AE=CG,AH=CF,且EG平分∠HEF.
(1)求证:△AEH≌△CGF.
(2)若∠EFG=90°.求证:四边形EFGH是正方形.23.(本小题14.0分)
综合与实践
【问题情境】
数学活动课上,老师出示了一个问题:如图1,在正方形ABCD中,E是BC的中点,AE⊥EP,EP与正方形的外角∠DCG的平分线交于P点.试猜想AE与EP的数量关系,并加以证明;
【思考尝试】
(1)同学们发现,取AB的中点F,连接EF可以解决这个问题.请在图1中补全图形,解答老师提出的问题.
【实践探究】
(2)希望小组受此问题启发,逆向思考这个题目,并提出新的问题:如图2,在正方形ABCD中,E为BC边上一动点(点E,B不重合),△AEP是等腰直角三角形,∠AEP=90°,连接CP,可以求出∠DCP的大小,请你思考并解答这个问题.
【拓展迁移】
(3)突击小组深入研究希望小组提出的这个问题,发现并提出新的探究点:如图3,在正方形ABCD中,E为BC边上一动点(点E,B不重合),△AEP是等腰直角三角形,∠AEP=90°,连接DP.知道正方形的边长时,可以求出△ADP周长的最小值.当AB=4时,请你求出△ADP周长的最小值.
答案和解析1.【答案】D
解:根据题意得:x+2≥0,解得x≥−2.
故选:D.
根据二次根式的定义可知被开方数必须为非负数,即可求解.
主要考查了二次根式的意义和性质.
概念:式子a(a≥0)叫二次根式.
2.【答案】C
解:A、12=22,能与2合并;
B、8=22,能与2合并;
C、12=23,不能与23.【答案】C
解:∵四边形ABCD为矩形,
∴OA=OB=OC=OD,AC=BD,
∵AC=6,
∴OD=3.
故选:C.
利用矩形的对角线相等可以解决问题.
本题主要考查了矩形的对角线相等,比较简单.
4.【答案】B
解:A、44=4×11=211,被开方数中含能开得尽方的因数,不是最简二次根式,不符合题意;
B、5是最简二次根式,符合题意;
C、15=55,被开方数含分母,不是最简二次根式,不符合题意;5.【答案】B
解:∵两直角边的长分别为6和12,
∴斜边=122+62=65,
∴斜边上的中线=16.【答案】A
解:A.∵a2=(c−b)(c+b),
∴a2=c2−b2,
∴a2+b2=c2,
∴△ABC是直角三角形,故本选项符合题意;
B.∵12+22=1+4=5,32=9,
∴12+22≠32,
∴△ABC不是直角三角形,故本选项不符合题意;
C.∵∠A=∠C,
∴△ABC是等腰三角形,不一定是直角三角形,故本选项不符合题意;
D.∵∠A:∠B:∠C=3:4:5,∠A+∠B+∠C=180°,7.【答案】D
解:如图作AH⊥CH.
在Rt△ACH中,∵AH=3,∠AHC=90°,∠ACH=30°,
∴AC=2AH=6,
在Rt△ABC中,AB=AC2+BC2=62+62=62.
故选D.8.【答案】D
解:∵四边形ABCD是矩形,AC为对角线,
∴△ABC面积=△ADC面积.
所以A选项内容正确,不符合题意;
根据作图过程可知四边形AEFN是矩形,AF为其对角线,
所以△AEF面积=△ANF面积.
所以B选项内容正确,不符合题意;
因为△ABC面积=△ADC面积,△AEF面积=△ANF面积,△FMC面积=△FGC面积,
所以△ABC面积−△AEF面积−△FMC面积=△ADC面积−△ANF面积−△FGC面积,
所以矩形NFGD面积=矩形EFMB面积,C选项内容正确,不符合题意;
因为△ANF面积=12NF×AN,矩形NFGD面积=NF×ND,
若△ANF面积=矩形NFGD面积,则AN=2ND,
而已知不一定AN=2ND,所以D选项内容错误,D符合题意.
故选:D.
根据矩形的性质:一条对角线分成的两个三角形面积相等,可知A和B选项内容正确,不符合题意;
根据△ABC面积=△ADC面积,△AEF面积=△ANF面积,△FMC面积=△FGC面积,阴影部分面积即可判断C选项;
因为△ANF面积=12NF×AN,矩形NFGD面积=NF×ND,若△ANF面积=矩形NFGD面积,则AN=2ND,而已知不一定AN=2ND,所以D9.【答案】B
解:延长CA至F,使AF=AB,连接BF,
∵AB+AE=CE,
∴FE=CE,
∵D为BC的中点,
∴BD=CD,
∴DE是△BCF的中位线,
∴BF=2DE=4,
∵∠BAC=120°,
∴∠BAF=60°,
又∵AB=AF,
∴△ABF是等边三角形,
∴AB=BF=4,
故选:B.
延长CA至F,使AF=AB,连接BF,证出DE是△BCF的中位线,得出BF=2DE=4,证明△ABF是等边三角形,由等边三角形的性质可得出答案.
本题主要考查等边三角形的判定与性质,三角形外角的性质,三角形中位线,证明DE是△BDF的中位线是解题的关键.
10.【答案】C
解:∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC=CD=AD,∠B=∠BCD=90°,
∵点E、F、H分别是AB、BC、CD的中点,
∴BE=CF,
在△BCE与△CDF中,
BE=CF∠B=∠DCFBC=CD,
∴△BCE≌△CDF(SAS),
∴∠ECB=∠CDF,
∵∠BCE+∠ECD=90°,
∴∠ECD+∠CDF=90°,
∴∠CGD=90°,
∴CE⊥DF;故①正确;
在Rt△CGD中,H是CD边的中点,
∴HG=12CD=12AD,
即2HG=AD;故④正确;
连接AH,如图所示:
同理可得:AH⊥DF,
∵HG=HD=12CD,
∴DK=GK,
∴AH垂直平分DG,
∴AG=AD;
若AG=DG,则△ADG是等边三角形,
则∠ADG=60°,∠CDF=30°,
而CF=12CD≠12DF,
∴∠CDF≠30°,
∴∠ADG≠60°,
∴AG≠DG,故②错误;
∴∠DAG=2∠DAH,
同理:△ADH≌△DCF,
∴∠DAH=∠CDF,
∵GH=DH,
∴∠HDG=∠HGD,
∴∠GHC=∠HDG+∠HGD=2∠CDF,
∴∠CHG=∠DAG;故③正确;
正确的结论有3个,
故选:C.
连接AH,由四边形ABCD是正方形与点E、F、H分别是AB、BC、CD的中点,易证得△BCE≌△CDF与△ADH≌△DCF11.【答案】如果两个角相等,那么它们是对顶角
解:“对顶角相等”的条件是:两个角是对顶角,结论是:这两个角相等,
所以逆命题是:如果两个角相等,那么它们是对顶角.
故答案为:如果两个角相等,那么它们是对顶角.
本题考查了互逆命题的知识,两个命题中,如果第一个命题的条件是第二个命题的结论,而第一个命题的结论又是第二个命题的条件,那么这两个命题叫做互逆命题,其中一个命题称为另一个命题的逆命题.把一个命题的题设和结论互换即可得到其逆命题据此解答即可.
12.【答案】AB=CD(答案不唯一)
解:添加AB=CD,
∵∠1=∠2,
∴AB//CD,
又∵AB=CD,
∴四边形ABCD是平行四边形,
故答案为:AB=CD(答案不唯一).
根据平行四边形的判定定理进行解答.
此题主要考查了平行四边形的判定,关键是掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
13.【答案】3
解:∵−1<a<3,
∴a+1>0,a−2<0,
∴原式=a+1+2−a=3,
故答案为:3.
根据绝对值的意义及二次根式的性质进行化简.
本题考查绝对值及二次根式的化简,理解绝对值的意义及二次根式的性质14.【答案】a2
6解:图中阴影部分面积等于c2−b2=a2+b2−b2=a2,
如图所示:
AB=c−b,AC=c−a,DE=a−(c−b)=a+b−c,
∵(c−a)(c−b)=c2−bc−ca+ab=18,
∴AB⋅AC=18,即S矩形ACDB=18,
∵S阴影=2S矩形ACDB+a2−(a+b−c)2=a2,
∴(a+b−c)2=36,15.【答案】解:∵四边形ABCD为矩形,
∴DC=AB=8,AD=BC=10,∠B=∠D=∠C=90°,
∵折叠矩形的一边AD,使点D落在BC边的点F处
∴AF=AD=10,DE=EF,
在Rt△ABF中,BF=AF2−AB2=102−82=6,
∴FC=BC−BF=4,
设EC=x,则DE=8−x,EF=8−x,
在Rt△EFC【解析】根据矩形的性质得DC=AB=8,AD=BC=10,∠B=∠D=∠C=90°,再根据折叠的性质得AF=AD=10,DE=EF,在Rt△ABF中,利用勾股定理计算出BF=6,则FC=4,设EC=x,则DE=EF=8−x,在Rt△EFC中,根据勾股定理得x2+4216.【答案】解:(1)原式=62−2+2
=62;
(2)【解析】(1)先把二次根式化为最简二次根式,然后合并即可;
(2)先根据零指数幂的意义和完全平方公式计算,然后合并即可.
本题考查了二次根式的混合运算,熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、零指数幂是解决问题的关键.
17.【答案】证明:∵四边形ABCD为菱形,
∴AD=AB=CD=CB,∠B=∠D.
又∵CE=CF,
∴CD−CE=CB−CF,
即DE=BF.
在△ADE和△ABF中
AD=AB∠D=∠BDE=CF
∴△ADE≌△ABF(SAS).
∴AE=AF【解析】由四边形ABCD为菱形,可得AD=AB=CD=CB,∠B=∠D.又因为CE=CF,所以CD−CE=CB−CF,即DE=BF.可证△ADE≌△ABF,所以AE=AF.
此题主要考查了菱形的性质以及全等三角形的判断和性质形,能够灵活运用菱形知识解决有关问题是解题的关键.
18.【答案】解:x=5+2,
∴x2−4x=x(x−4)=(5+2)(5−2),
【解析】首先对式子x2−4x进行因式分解,然后代入x的值可得到答案.
本题考查了因式分解的应用;解题中代入x19.【答案】解:(1)如图1所示;
(2)如图2所示.
【解析】(1)、(2)根据勾股定理画出图形即可.
本题考查的是勾股定理,熟知在任何一个直角三角形中,两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键.
20.【答案】2n
解:(1)∵S1=21,
S2=22,
S3=23,
……
∴Sn=2n,
故答案为:2n;
(2)OA22=(2)2+4=8=4×2,
QA32=(8)21.【答案】(1)证明:∵∠OBC=∠OCB,
∴OB=OC,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OC=OA=12AC,OB=OD=12BD,
∴AC=BD,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴四边形ABCD是矩形;
(2)解:∵四边形ABCD是矩形,
∴∠ABC=90°,
∵∠CBE=3∠ABE,
∴∠ABE=14×90°=22.5°,
在EB上取一点H,使得EH=AE,
∴△AEH是等腰直角三角形,∠AHE=45°,
∴∠HAB=45°−22.5°=22.5°=∠ABH,
∴AH=BH,
设AE=EH=x,则AH=BH=2x,
∵BE=2,【解析】本题考查了平行四边形的性质,等腰三角形的判定,矩形的判定与性质,注意:对角线相等的平行四边形是矩形,等角对等边,学会添加常用辅助线,构造特殊三角形解决问题.
(1)根据等角对等边得出OB=OC,根据平行四边形性质求出OC=OA=12AC,OB=OD=12BD,推出AC=BD,根据矩形的判定推出即可.
(2)根据矩形的性质和∠CBE=3∠ABE,得出∠ABE=22.5°,在EB上取一点H,使得EH=AE,易证AH=BH22.【答案】证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠A=∠C.
在△AEH与△CGF中,
AE=CG∠A=∠CAH=CF,
∴△AEH≌△CGF(SAS);
(2)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,AB=CD,∠B=∠D.
∵AE=CG,AH=CF,
∴EB=DG,HD=BF.
∴△BEF≌△DGH(SAS),
∴EF=HG.
又∵△AEH≌△CGF,
∴EH=GF.
∴四边形HEFG为平行四边形.
∴EH//FG,
∴∠HEG=∠FGE.
∵EG平分∠HEF,
∴∠HEG=∠FEG,
∴∠FGE=∠FEG,
∴EF=GF,
又∵∠EFG=90°,
∴平行四边形EFGH是正方形.
∴四边形EFGH是菱形.【解析】(1)根据全等三角形的判定定理SAS证得结论;
(2)先证明四边形EFGH是平行四边形,再证明有一组邻边相等,然后结合∠EFG=90°,即可证得该平行四边形是正方形.
本题考查了正方形的判定,判定一个四边形是正方形的方法有:
①先判定四边形是矩形,再判定这个矩形有一组邻边相等;
②先判定四边形是菱形,再判定这个菱形有一个角为直角.
③还可以先判定四边形是平行四边形,再用1或2进行判定.
也考查了平行四边形的性质,全等三角形的判定与性质,难度适中.
23.【答案】解:(1)AE=EP,
理由如下:取AB的中点F,连接EF,
∵F、E分别为AB、
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