2022-2023学年安徽省芜湖市八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年安徽省芜湖市八年级（下）期中数学试卷（1）一、选择题（本大题共10小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.若式子x+2在实数范围内有意义，则x的取值范围是(

)A.x>−2 B.x<−2 C.x≠−2 D.x≥−22.下列二次根式，不能与2合并的是(

)A.12 B.8 C.3.点O为矩形ABCD对角线AC与BD的交点，若AC=6，则OD的长为(

)A.1

B.2

C.3

D.64.下列式子中，为最简二次根式的是(

)A.44 B.5 C.15.在直角三角形中，两直角边的长分别为6和12，则斜边上中线的长为(

)A.33 B.35 C.6.在△ABC中，∠A，∠C的对边分别记为a，b，c，下列条件中，能判定△ABC是直角三角形的是(

)A.a2=(c−b)(c+b) B.a=1，b=2，c=3

C.∠A=∠C D.∠A：∠B：∠C=3：47.将一个有45°角的三角尺的直角顶点C放在一张宽为3cm的纸带边沿上，另一个顶点A在纸带的另一边沿上，测得三角尺的一边AC与纸带的一边所在的直线成30°角，如图，则三角尺的最长边的长为(

)A.6 B.3C.42 8.数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等(如图所示)”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证，则下列说法不一定成立的是(

)A.S△ABC=S△ADC B.S△AEF=9.如图，在△ABC中，∠BAC=120°，点D为BC的中点，E是AC上的一点，且AB+AE=EC.若DE=2，则AB的长是(

)A.23 B.C.33 10.如图，正方形ABCD中，点E、F、H分别是AB、BC、CD的中点，CE、DF交于G，连接AG、HG.下列结论：①CE⊥DF；②AG=DG；③∠CHG=∠DAG；④2HG=AD.正确的有(

)A.1个

B.2个

C.3个

D.4个二、填空题（本大题共4小题，共20分）11.“对顶角相等”这个命题的逆命题是______．12.如图所示，在四边形ABCD中，∠1=∠2，请添加一个条件使四边形ABCD是平行四边形．可添加的条件是______.(只填一个即可)13.已知实数−1<a<3，化简|a+1|+(a−214.刘徽是我国魏晋时期伟大的数学家，他在《九章算术注》中指出：“勾、股幂合为弦幂，明矣.”也就是说，图1中直角三角形的三边a、b、c存在a2+b2=c2的关系.他在书中构造了一些基本图形来解决问题.如图2，分别将以a为边长的正方形和b为边长的正方形置于以c为边长的大正方形的左下角和右上角，则图中阴影部分面积等于

(用含字母a的代数式表示)；若(c−a)(c−b)=18，则a+b−c=三、解答题（本大题共8小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.(本小题10.0分)

如图，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EC的长．16.(本小题8.0分)

计算：

(1)218−2117.(本小题8.0分)

如图，在菱形ABCD中，CE=CF，求证：AE=AF．18.(本小题8.0分)

已知x=5+2，求代数式x19.(本小题8.0分)

如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点．

(1)在图1中以格点为顶点画△ABC，使△ABC的三边长分别为3、4、5；

(2)在图2中以格点为顶点画△DEF，使△DEF的三边长分别为5、10、20.(本小题10.0分)

阅读材料：

分析探索题：细心观察如图，认真分析各式，然后解答问题．

OA22=(2)2+4=8，S1=2；

QA32=(8)2+4=12，S2=282=8=2221.(本小题12.0分)

如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且∠OBC=∠OCB．

(1)求证：四边形ABCD为矩形；

(2)过B作BE⊥AO于E，∠CBE=3∠ABE，BE=2，求AE的长．

22.(本小题12.0分)

如图，在平行四边形ABCD中，点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，AE=CG，AH=CF，且EG平分∠HEF．

(1)求证：△AEH≌△CGF．

(2)若∠EFG=90°.求证：四边形EFGH是正方形．23.(本小题14.0分)

综合与实践

【问题情境】

数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在正方形ABCD中，E是BC的中点，AE⊥EP，EP与正方形的外角∠DCG的平分线交于P点．试猜想AE与EP的数量关系，并加以证明；

【思考尝试】

(1)同学们发现，取AB的中点F，连接EF可以解决这个问题．请在图1中补全图形，解答老师提出的问题．

【实践探究】

(2)希望小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图2，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点(点E，B不重合)，△AEP是等腰直角三角形，∠AEP=90°，连接CP，可以求出∠DCP的大小，请你思考并解答这个问题．

【拓展迁移】

(3)突击小组深入研究希望小组提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点(点E，B不重合)，△AEP是等腰直角三角形，∠AEP=90°，连接DP.知道正方形的边长时，可以求出△ADP周长的最小值．当AB=4时，请你求出△ADP周长的最小值．

答案和解析1.【答案】D

解：根据题意得：x+2≥0，解得x≥−2．

故选：D．

根据二次根式的定义可知被开方数必须为非负数，即可求解．

主要考查了二次根式的意义和性质．

概念：式子a(a≥0)叫二次根式．

2.【答案】C

解：A、12=22，能与2合并；

B、8=22，能与2合并；

C、12=23，不能与23.【答案】C

解：∵四边形ABCD为矩形，

∴OA=OB=OC=OD，AC=BD，

∵AC=6，

∴OD=3．

故选：C．

利用矩形的对角线相等可以解决问题．

本题主要考查了矩形的对角线相等，比较简单．

4.【答案】B

解：A、44=4×11=211，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；

B、5是最简二次根式，符合题意；

C、15=55，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；5.【答案】B

解：∵两直角边的长分别为6和12，

∴斜边=122+62=65，

∴斜边上的中线=16.【答案】A

解：A.∵a2=(c−b)(c+b)，

∴a2=c2−b2，

∴a2+b2=c2，

∴△ABC是直角三角形，故本选项符合题意；

B.∵12+22=1+4=5，32=9，

∴12+22≠32，

∴△ABC不是直角三角形，故本选项不符合题意；

C.∵∠A=∠C，

∴△ABC是等腰三角形，不一定是直角三角形，故本选项不符合题意；

D.∵∠A：∠B：∠C=3：4：5，∠A+∠B+∠C=180°，7.【答案】D

解：如图作AH⊥CH．

在Rt△ACH中，∵AH=3，∠AHC=90°，∠ACH=30°，

∴AC=2AH=6，

在Rt△ABC中，AB=AC2+BC2=62+62=62．

故选D．8.【答案】D

解：∵四边形ABCD是矩形，AC为对角线，

∴△ABC面积=△ADC面积．

所以A选项内容正确，不符合题意；

根据作图过程可知四边形AEFN是矩形，AF为其对角线，

所以△AEF面积=△ANF面积．

所以B选项内容正确，不符合题意；

因为△ABC面积=△ADC面积，△AEF面积=△ANF面积，△FMC面积=△FGC面积，

所以△ABC面积−△AEF面积−△FMC面积=△ADC面积−△ANF面积−△FGC面积，

所以矩形NFGD面积=矩形EFMB面积，C选项内容正确，不符合题意；

因为△ANF面积=12NF×AN，矩形NFGD面积=NF×ND，

若△ANF面积=矩形NFGD面积，则AN=2ND，

而已知不一定AN=2ND，所以D选项内容错误，D符合题意．

故选：D．

根据矩形的性质：一条对角线分成的两个三角形面积相等，可知A和B选项内容正确，不符合题意；

根据△ABC面积=△ADC面积，△AEF面积=△ANF面积，△FMC面积=△FGC面积，阴影部分面积即可判断C选项；

因为△ANF面积=12NF×AN，矩形NFGD面积=NF×ND，若△ANF面积=矩形NFGD面积，则AN=2ND，而已知不一定AN=2ND，所以D9.【答案】B

解：延长CA至F，使AF=AB，连接BF，

∵AB+AE=CE，

∴FE=CE，

∵D为BC的中点，

∴BD=CD，

∴DE是△BCF的中位线，

∴BF=2DE=4，

∵∠BAC=120°，

∴∠BAF=60°，

又∵AB=AF，

∴△ABF是等边三角形，

∴AB=BF=4，

故选：B．

延长CA至F，使AF=AB，连接BF，证出DE是△BCF的中位线，得出BF=2DE=4，证明△ABF是等边三角形，由等边三角形的性质可得出答案．

本题主要考查等边三角形的判定与性质，三角形外角的性质，三角形中位线，证明DE是△BDF的中位线是解题的关键．

10.【答案】C

解：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠BCD=90°，

∵点E、F、H分别是AB、BC、CD的中点，

∴BE=CF，

在△BCE与△CDF中，

BE=CF∠B=∠DCFBC=CD，

∴△BCE≌△CDF(SAS)，

∴∠ECB=∠CDF，

∵∠BCE+∠ECD=90°，

∴∠ECD+∠CDF=90°，

∴∠CGD=90°，

∴CE⊥DF；故①正确；

在Rt△CGD中，H是CD边的中点，

∴HG=12CD=12AD，

即2HG=AD；故④正确；

连接AH，如图所示：

同理可得：AH⊥DF，

∵HG=HD=12CD，

∴DK=GK，

∴AH垂直平分DG，

∴AG=AD；

若AG=DG，则△ADG是等边三角形，

则∠ADG=60°，∠CDF=30°，

而CF=12CD≠12DF，

∴∠CDF≠30°，

∴∠ADG≠60°，

∴AG≠DG，故②错误；

∴∠DAG=2∠DAH，

同理：△ADH≌△DCF，

∴∠DAH=∠CDF，

∵GH=DH，

∴∠HDG=∠HGD，

∴∠GHC=∠HDG+∠HGD=2∠CDF，

∴∠CHG=∠DAG；故③正确；

正确的结论有3个，

故选：C．

连接AH，由四边形ABCD是正方形与点E、F、H分别是AB、BC、CD的中点，易证得△BCE≌△CDF与△ADH≌△DCF11.【答案】如果两个角相等，那么它们是对顶角

解：“对顶角相等”的条件是：两个角是对顶角，结论是：这两个角相等，

所以逆命题是：如果两个角相等，那么它们是对顶角．

故答案为：如果两个角相等，那么它们是对顶角．

本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题．把一个命题的题设和结论互换即可得到其逆命题据此解答即可．

12.【答案】AB=CD(答案不唯一)

解：添加AB=CD，

∵∠1=∠2，

∴AB//CD，

又∵AB=CD，

∴四边形ABCD是平行四边形，

故答案为：AB=CD(答案不唯一)．

根据平行四边形的判定定理进行解答．

此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．

13.【答案】3

解：∵−1<a<3，

∴a+1>0，a−2<0，

∴原式=a+1+2−a=3，

故答案为：3．

根据绝对值的意义及二次根式的性质进行化简．

本题考查绝对值及二次根式的化简，理解绝对值的意义及二次根式的性质14.【答案】a2

6解：图中阴影部分面积等于c2−b2=a2+b2−b2=a2，

如图所示：

AB=c−b，AC=c−a，DE=a−(c−b)=a+b−c，

∵(c−a)(c−b)=c2−bc−ca+ab=18，

∴AB⋅AC=18，即S矩形ACDB=18，

∵S阴影=2S矩形ACDB+a2−(a+b−c)2=a2，

∴(a+b−c)2=36，15.【答案】解：∵四边形ABCD为矩形，

∴DC=AB=8，AD=BC=10，∠B=∠D=∠C=90°，

∵折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处

∴AF=AD=10，DE=EF，

在Rt△ABF中，BF=AF2−AB2=102−82=6，

∴FC=BC−BF=4，

设EC=x，则DE=8−x，EF=8−x，

在Rt△EFC【解析】根据矩形的性质得DC=AB=8，AD=BC=10，∠B=∠D=∠C=90°，再根据折叠的性质得AF=AD=10，DE=EF，在Rt△ABF中，利用勾股定理计算出BF=6，则FC=4，设EC=x，则DE=EF=8−x，在Rt△EFC中，根据勾股定理得x2+4216.【答案】解：(1)原式=62−2+2

=62；

(2)【解析】(1)先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；

(2)先根据零指数幂的意义和完全平方公式计算，然后合并即可．

本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、零指数幂是解决问题的关键．

17.【答案】证明：∵四边形ABCD为菱形，

∴AD=AB=CD=CB，∠B=∠D．

又∵CE=CF，

∴CD−CE=CB−CF，

即DE=BF．

在△ADE和△ABF中

AD=AB∠D=∠BDE=CF

∴△ADE≌△ABF(SAS)．

∴AE=AF【解析】由四边形ABCD为菱形，可得AD=AB=CD=CB，∠B=∠D.又因为CE=CF，所以CD−CE=CB−CF，即DE=BF.可证△ADE≌△ABF，所以AE=AF．

此题主要考查了菱形的性质以及全等三角形的判断和性质形，能够灵活运用菱形知识解决有关问题是解题的关键．

18.【答案】解：x=5+2，

∴x2−4x=x(x−4)=(5+2)(5−2)，

【解析】首先对式子x2−4x进行因式分解，然后代入x的值可得到答案．

本题考查了因式分解的应用；解题中代入x19.【答案】解：(1)如图1所示；

(2)如图2所示．

【解析】(1)、(2)根据勾股定理画出图形即可．

本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．

20.【答案】2n

解：(1)∵S1=21，

S2=22，

S3=23，

……

∴Sn=2n，

故答案为：2n；

(2)OA22=(2)2+4=8=4×2，

QA32=(8)21.【答案】(1)证明：∵∠OBC=∠OCB，

∴OB=OC，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OC=OA=12AC，OB=OD=12BD，

∴AC=BD，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴四边形ABCD是矩形；

(2)解：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ABC=90°，

∵∠CBE=3∠ABE，

∴∠ABE=14×90°=22.5°，

在EB上取一点H，使得EH=AE，

∴△AEH是等腰直角三角形，∠AHE=45°，

∴∠HAB=45°−22.5°=22.5°=∠ABH，

∴AH=BH，

设AE=EH=x，则AH=BH=2x，

∵BE=2，【解析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定，矩形的判定与性质，注意：对角线相等的平行四边形是矩形，等角对等边，学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题．

(1)根据等角对等边得出OB=OC，根据平行四边形性质求出OC=OA=12AC，OB=OD=12BD，推出AC=BD，根据矩形的判定推出即可．

(2)根据矩形的性质和∠CBE=3∠ABE，得出∠ABE=22.5°，在EB上取一点H，使得EH=AE，易证AH=BH22.【答案】证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠A=∠C．

在△AEH与△CGF中，

AE=CG∠A=∠CAH=CF，

∴△AEH≌△CGF(SAS)；

(2)∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD=BC，AB=CD，∠B=∠D．

∵AE=CG，AH=CF，

∴EB=DG，HD=BF．

∴△BEF≌△DGH(SAS)，

∴EF=HG．

又∵△AEH≌△CGF，

∴EH=GF．

∴四边形HEFG为平行四边形．

∴EH//FG，

∴∠HEG=∠FGE．

∵EG平分∠HEF，

∴∠HEG=∠FEG，

∴∠FGE=∠FEG，

∴EF=GF，

又∵∠EFG=90°，

∴平行四边形EFGH是正方形．

∴四边形EFGH是菱形．【解析】(1)根据全等三角形的判定定理SAS证得结论；

(2)先证明四边形EFGH是平行四边形，再证明有一组邻边相等，然后结合∠EFG=90°，即可证得该平行四边形是正方形．

本题考查了正方形的判定，判定一个四边形是正方形的方法有：

①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；

②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角．

③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定．

也考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，难度适中．

23.【答案】解：(1)AE=EP，

理由如下：取AB的中点F，连接EF，

∵F、E分别为AB、